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第4讲　机械能守恒定律
如图所示是运动员投掷铅球的动作,忽略铅球所受空气的阻力。 (1)铅球在空中运动过程中,机械能是否守恒 (2)若铅球被抛出时速度大小一定,铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗 (3)在求解铅球落地的速度大小时,可以考虑应用什么规律
[footnoteRef:1] [1:
【答案】 机械能　mgh　地球　有关　无关　减小　增大　减小
弹性形变　减少　增加　动能　势能　保持不变　重力　弹力]
(多选)如图所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是(　　)
[A] 小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
[B] 小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能守恒
[C] 小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
[D] 小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,小球的机械能守恒
【答案】 BC
考点一　机械能守恒的判断
机械能是否守恒的判断方法
[例1] 【单物体机械能守恒的判断】 (2024·贵州毕节三模)一小朋友用弹力发射玩具斜向上发射弹力球,另一小朋友在与发射点等高处成功把球接住。不计空气阻力,弹力球在空中运动的过程(　　)
[A] 机械能守恒
[B] 在最高处动能为零
[C] 机械能先增加后减少
[D] 重力的瞬时功率不变
【答案】 A
【解析】 不计空气阻力,弹力球在空中运动的过程,只有重力做功,机械能守恒,保持不变,故A正确,C错误;弹力球在最高处,水平方向的速度不为零,故在最高处动能不为零,故B错误;重力的瞬时功率为P=mgvy,弹力球在空中运动的过程,竖直方向的速度先减小后增大,重力的瞬时功率先减小后增大,故D错误。
[例2] 【多物体机械能守恒的判断】 (多选)下列几种情况中(忽略空气阻力),系统的机械能守恒的是(　　)
[A] 图甲中与弹簧连接的小钢球向下摆动
[B] 图乙中运动员在蹦床上越跳越高
[C] 图丙中小车上放一木块,小车的左侧有弹簧与墙壁相连,小车在左右运动时(车轮与地面摩擦不计),木块相对于小车无滑动
[D] 图丁中轻杆两端质量不等的两球绕光滑O轴转动
【答案】 ACD
【解析】 题图甲中小钢球和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功,系统机械能守恒,A正确;题图乙中运动员越跳越高,表明他自身的力不断做功,不单是只有重力和弹力做功,系统机械能不守恒,B错误;题图丙中小车和木块间是静摩擦力,其总功为零,系统中只有弹簧的弹力做功,系统机械能守恒,C正确;题图丁中轻杆两端质量不等的两球绕光滑O轴转动,轻杆对两球做功的代数和为零,只有两球重力做功,系统机械能守恒,D正确。
[提升] 【连接体运动模型分析】 如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 斜劈对小球的弹力不做功
[B] 斜劈与小球组成的系统机械能守恒
[C] 斜劈的机械能守恒
[D] 小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
【答案】 B
【解析】 不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统没有机械能之外的其他形式的能产生,系统机械能守恒,可知小球减少的重力势能转化为小球和斜劈的动能,选项B正确,D错误;斜劈和小球之间的弹力与它们的位移并不垂直,故弹力对小球、斜劈均做功,斜劈的机械能不守恒,选项A、C错误。
(1)系统的机械能守恒时,其中的单个物体机械能一般不守恒。
(2)机械能守恒的条件绝不是合力做的功等于零,更不是合力等于零,而是看是否只有重力或系统内的弹力做功。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,机械能一般不守恒。
考点二　单物体机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律表达式
说明:单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
[例3] 【单物体单过程机械能守恒】 (2024·全国甲卷,17)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
[A] 在Q点最大 [B] 在Q点最小
[C] 先减小后增大 [D] 先增大后减小
【答案】 C
【解析】 设大圆环半径为R,小环所在位置与圆心的连线和竖直方向夹角为θ,大圆环对小环的作用力刚好为零时,受力分析如图所示,由牛顿第二定律得mgcos θ=m,根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)=mv2,联立解得cos θ=,根据牛顿第三定律,综合上述分析可知小环运动到Q点时对大圆环的作用力不是最小,B错误;设大圆环对小环的作用力大小为F,大圆环对小环的作用力刚好为零时小环处于A点,到达A点前,由牛顿第二定律得mgcos θ1-F1=m,根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ1)=m,联立解得F1=(3cos θ1-2)mg,θ1增大,F1减小;从A点到Q点,由牛顿第二定律有mgcos θ2+F2=m,根据机械能守恒定律有mgR(1-cos θ2)=m,联立解得F2=(2-3cos θ2)mg,θ2增大,F2增大;从Q到最低点的过程中,由牛顿第二定律有F3-mgcos θ3=m,根据机械能守恒定律有mgR(1+cos θ3)=m,联立解得F3=(2+3cos θ3)mg,θ3减小,F3增大,根据牛顿第三定律可知,Q点不是小环对大圆环作用力最大的点,小环自顶端下滑至底部过程中对大圆环的作用力先减小后增大,C正确,A、D错误。
[例4] 【单物体多过程机械能守恒】 (2024·福建泉州模拟)滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”,如图是模拟的滑板组合滑行轨道,该轨道由足够长的斜直轨道、凹形圆弧轨道和半径R=1.6 m的凸形圆弧轨道组成,这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接,其中M点为凹形圆弧轨道的最低点,N点在凸形圆弧轨道的圆心O点正上方,O点与M点处在同一水平面上,一质量为m=1 kg可看作质点的滑板,从斜直轨道上的P点无初速度滑下,经过M点滑向N点,最终落在地面的K点。P点距M点所在水平面的高度h=1.8 m,不计一切阻力,g取 10 m/s2。
(1)滑板滑到M点时的速度多大
(2)滑板滑到N点时对轨道的压力多大
(3)滑出点N和落地点K的水平距离。
【答案】 (1)6 m/s　(2)7.5 N　(3) m
【解析】 (1)以地面为参考平面,对滑板从P到M过程,由机械能守恒定律,得mgh=m,
解得vM=6 m/s,
即滑板滑到M点时的速度大小为6 m/s。
(2)滑板从P到N的过程,由机械能守恒定律得mg(h-R)=m,
解得vN=2 m/s,
滑板在N点时,由重力和支持力的合力提供向心力,有mg-FN=m,
联立解得FN=7.5 N,
根据牛顿第三定律可知,滑板滑到N点时对轨道的压力大小为7.5 N。
(3)滑板从N点滑出后,在空中做平抛运动,可得xNK=vNt,R=gt2,
解得xNK= m。
考点三　多物体系统机械能守恒定律的应用
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况下不计空气阻力和一切摩擦,系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
2.几种实际情境的分析
(1)速率相等情境。
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情境。
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
②由v=ωr知,v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)。
两物体速度的关联实质:沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
[例5] 【共速率机械能守恒】 (2022·河北卷,9)(多选)如图,轻质定滑轮固定在天花板上,物体P和Q用不可伸长的轻绳相连,悬挂在定滑轮上,质量mQ>mP,t=0时刻将两物体由静止释放,物体Q的加速度大小为。T时刻轻绳突然断开,物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处于同一高度,取t=0时刻物体P所在水平面为零势能面,此时物体Q的机械能为E。重力加速度大小为g,不计摩擦和空气阻力,两物体均可视为质点。下列说法正确的是(　　)
[A] 物体P和Q的质量之比为1∶3
[B] 2T时刻物体Q的机械能为
[C] 2T时刻物体P重力的功率为
[D] 2T时刻物体P的速度大小为
【答案】 BCD
【解析】 开始释放时,对Q有mQg-FT=mQ·,对P有FT-mPg=mP·,解得FT=mQg,=,A错误;在T时刻,两物体的速度v1=,P上升的距离h1=×T2=,轻绳断后P能上升的高度h2==,可知开始时P、Q距离为h=h1+h2=,则开始时Q的机械能为E=mQgh=,0～T内绳子拉力对Q做负功,WT=-FTh1=-,则T时刻Q的机械能E′=E-=,此后物体Q的机械能守恒,则在2T时刻物体Q的机械能仍为,B正确;在2T时刻,物体P的速度v2=v1-gT=-,负号表示方向向下,此时物体P重力的功率PG=mPg|v2|=·==,C、D正确。
[例6] 【共角速度机械能守恒】 (2024·广西柳州三模)(多选)可视为质点的相同小球a、b分别被套在刚性轻杆上,其中a在轻杆中点位置,b在轻杆一端,两球相对于杆固定不动,轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。当装置在竖直平面内由水平位置静止释放,不计一切摩擦。轻杆转到图示位置时,下列说法正确的是(　　)
[A] b球加速度是a球加速度的两倍
[B] b球角速度是a球角速度的两倍
[C] a球机械能守恒,b球机械能不守恒
[D] 轻杆对a球做负功,对b球做正功
【答案】 AD
【解析】 两球绕同一轴转动,则角速度相等,根据a=ω2r,rb=2ra,可知b球加速度是a球加速度的两倍,选项A正确,B错误;两球组成的系统机械能守恒,但是a球和b球机械能都不守恒,选项C错误;当两球到达题图所示位置时,设a球的线速度为v,则b球的线速度为2v,设O、b之间的距离为2L,由系统机械能守恒可知mgLsin θ+mg·2Lsin θ=mv2+m(2v)2,解得v=,由动能定理,对a球,有Wa+mgLsin θ=mv2,解得Wa=-mgLsin θ,对b球,有Wb+2mgLsin θ=m(2v)2,解得Wb=mgLsin θ,即轻杆对a球做负功,对b球做正功,选项D正确。
[例7] 【关联速度机械能守恒】 (2024·四川成都二模)(多选)如图,半径为R的固定光滑圆轨道竖直放置,套在轨道上质量均为m的小球A和B(均可视为质点)用一根长为 R的轻杆连接。将A置于轨道最低点并由静止释放,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 小球A、B与轻杆组成的系统机械能守恒
[B] 小球A、B与轻杆组成的系统动量守恒
[C] 小球A、B等高时,A球的速率为
[D] 从释放到小球A、B等高的过程中,杆对B球做功为-0.5mgR
【答案】 AD
【解析】 小球A、B与轻杆组成的系统,只有动能和重力势能相互转化,故机械能守恒,故A正确;小球A、B与轻杆组成的系统,所受合力不为零,故动量不守恒,故B错误;由几何关系知,小球A、B等高时,小球A上升高度为(1-)R,小球B下降高度为R,根据杆连物体沿杆方向速度相等的关系知,此时小球A、B的速度大小关系有vAsin 45°=vBcos 45°,解得vA=vB,以圆轨道最低点所在水平面为重力势能的参考平面,初始时,系统的机械能E1=mgR,A、B等高时,有E2=2mg(1-)R+m×2,系统机械能守恒,故有E1=E2,联立解得vA=,故C错误;从释放到小球A、B等高的过程中,根据功能关系,杆对B球做功为W=m-mg·R=-0.5mgR,故D正确。
(满分:50分)
对点1.机械能守恒的判断
1.(4分)下列说法正确的是(　　)
[A] 如图甲所示物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中,物块的机械能守恒
[B] 如图乙所示外力作用拉直轻绳使小球静止于图示位置,现释放小球,从释放开始运动至最低点A的过程中,小球的机械能守恒
[C] 如图丙所示物体沿固定的光滑斜面向上做减速运动的过程中,物体的机械能守恒
[D] 如图丁所示不计一切阻力,已知mB>mA,从静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的重力势能等于A球增加的机械能
2.(4分)(2024·江苏连云港一模)如图所示为背越式跳高过程的动作分解图,下列说法正确的是(　　)
[A] 起跳时,地面对人的作用力大于人对地面的作用力
[B] 起跳速度越大,地面对人做功越多
[C] 起跳速度越大,人在最高点机械能越大
[D] 起跳速度越大,人在最高点重力的瞬时功率越大
对点2.单物体机械能守恒定律的应用
3.(4分)(2024·山东潍坊一模)如图所示,一半径为R的光滑大圆环竖直固定在水平面上,其上套一小环,a、b为圆环上关于竖直直径对称的两点,将a点下方圆环拆走,若小环从大圆环的最高点c由静止开始下滑,当小环滑到b点时,恰好对大圆环无作用力。已知重力加速度大小为g,若让小环从最高点c由静止下滑并从a点滑离。小环落地时的水平速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
对点3.多物体系统机械能守恒定律的应用
4.(4分)质量不计的直角支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B,支架的两直角边长度分别为L和 ,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示,开始时OA边水平。现将小球A由静止释放,重力加速度为g,则(　　)
[A] 小球A到达最低点时的速度大小为
[B] 当OA与水平方向夹角为37°时,小球A、B速度达到最大
[C] 小球B最大速度为
[D] 小球A到达最低点的过程中,杆对小球A所做的功为
5.(8分)(2024·河北衡水期末)如图所示,将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形轨道(圆心为O)并竖直固定,轨道半径为R,细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B,小球A的质量为m,直径略小于细管内径,用手托住重物B使小球A静止在Q点(OQ与竖直直径的夹角为53°);松手后,小球A运动至P点(OP与竖直直径的夹角为37°)时对细管恰无作用力。重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3,求:
(1)小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小FN;
(2)重物B的质量M。
6.(4分)(2024·江苏南京阶段练习)如图所示,竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小球,初始时静置于a点。一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点,右端与小球相连。直杆上还有b、c、d三点,且b与O在同一水平线上,Ob=l,Oa、Oc与Ob夹角均为37°,Od与Ob夹角为53°。现释放小球,小球从a点开始下滑,到达d点时速度为0,在此过程中弹簧始终处于弹性限度内,则下列说法正确的是(重力加速度为g,取sin 37°=0.6)(　　)
[A] 小球在b点时加速度最大
[B] 小球从a点下滑到d点的过程中,小球的机械能守恒
[C] 小球在c点的速度大小为
[D] 小球从c点下滑到d点的过程中,弹簧的弹性势能增加了mgl
7.(6分)(2024·广西柳州三模)(多选)如图所示,一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上,分别沿倾角为θ的两个固定斜面下滑,图甲中细线保持竖直,图乙中细线保持垂直斜面。在木板下滑的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 图甲中木板与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[B] 图甲中木板(包括支架)与小球组成的系统机械能守恒
[C] 图乙中木板与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[D] 图乙中木板(包括支架)与小球组成的系统机械能守恒
8.(4分)(2024·江苏五校考前模拟)在某工厂里,为防止发生意外爆炸,化学药品必须同时加入容器中。某同学设计了如图所示的装置,在轻质滑轮组上,用轻绳连接的三个物体a、b、c在外力作用下均保持静止。撤去外力后,a、b以相同加速度下落,同时落入容器P中。不计一切阻力,在a、b落入P前的运动过程中(　　)
[A] a、c位移大小之比为1∶2
[B] b、c加速度大小之比为1∶2
[C] a、c构成的系统机械能守恒
[D] c增加的机械能等于a减小的机械能的1.5倍
9.(12分)(2024·江苏苏州三模)如图所示,一半径为R的光滑硬质圆环固定在竖直平面内与光滑足够长的水平杆相连,在圆环最高点的竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C,质量为m的小球A穿在环上,且可以自由滑动,小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B,细线搭在滑轮上。现将小球A从环上最高点由静止释放,重力加速度为g,不计空气阻力,求:
(1)小球A到达D点时细线中的张力大小;
(2)小球A到达D点时小球B的速度大小;
(3)小球A运动一个周期小球B的路程。
(答案及解析)
对点1.机械能守恒的判断
1.(4分)下列说法正确的是(　　)
[A] 如图甲所示物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中,物块的机械能守恒
[B] 如图乙所示外力作用拉直轻绳使小球静止于图示位置,现释放小球,从释放开始运动至最低点A的过程中,小球的机械能守恒
[C] 如图丙所示物体沿固定的光滑斜面向上做减速运动的过程中,物体的机械能守恒
[D] 如图丁所示不计一切阻力,已知mB>mA,从静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的重力势能等于A球增加的机械能
【答案】 C
【解析】 题图甲中,物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中,弹簧对物块做功,物块的机械能不守恒,故A错误;题图乙中,释放小球后,小球先做自由落体运动后做圆周运动,从释放开始运动至最低点A的过程中,轻绳从松弛到张紧的过程小球的机械能会减少,其机械能不守恒,故B错误;题图丙中,物体沿固定的光滑斜面向上做减速运动的过程中,只有重力对物体做功,所以物体的机械能守恒,故C正确;题图丁中对于A球与B球组成的系统,只有重力做功,系统机械能守恒,所以B球减少的重力势能等于B球增加的动能与A球增加的机械能之和,故D错误。
2.(4分)(2024·江苏连云港一模)如图所示为背越式跳高过程的动作分解图,下列说法正确的是(　　)
[A] 起跳时,地面对人的作用力大于人对地面的作用力
[B] 起跳速度越大,地面对人做功越多
[C] 起跳速度越大,人在最高点机械能越大
[D] 起跳速度越大,人在最高点重力的瞬时功率越大
【答案】 C
【解析】 地面对人的作用力和人对地面的作用力是一对相互作用力,根据牛顿第三定律,相互作用力等大反向,故A错误;起跳过程中,脚和地面始终接触且相对静止,地面对脚底作用力的作用点无位移,故地面对人的作用力不做功,是人体的内力做功将生物能转化为动能,故B错误;起跳速度越大,则起跳时得到的动能越大,取地面为重力势能的参考平面,则起跳时的动能大小即为人的机械能大小,起跳后人的机械能守恒,所以,起跳速度越大,人在最高点机械能越大,故C正确;到达最高点时,因瞬时速度竖直方向的分速度为零,则重力的瞬时功率为零,故D错误。
对点2.单物体机械能守恒定律的应用
3.(4分)(2024·山东潍坊一模)如图所示,一半径为R的光滑大圆环竖直固定在水平面上,其上套一小环,a、b为圆环上关于竖直直径对称的两点,将a点下方圆环拆走,若小环从大圆环的最高点c由静止开始下滑,当小环滑到b点时,恰好对大圆环无作用力。已知重力加速度大小为g,若让小环从最高点c由静止下滑并从a点滑离。小环落地时的水平速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 根据题意,设b点与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ,如图所示,
从c到b由机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=m,在b点,由牛顿第二定律有mgcos θ=m,解得cos θ=,vb=,由对称性可知,小环从最高点c由静止下滑至a点的速度大小同为,小环从a点滑离,只受重力作用,水平方向做匀速运动,则小环落地时的水平速度大小为vx=vacos θ=,故B正确。
对点3.多物体系统机械能守恒定律的应用
4.(4分)质量不计的直角支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B,支架的两直角边长度分别为L和 ,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示,开始时OA边水平。现将小球A由静止释放,重力加速度为g,则(　　)
[A] 小球A到达最低点时的速度大小为
[B] 当OA与水平方向夹角为37°时,小球A、B速度达到最大
[C] 小球B最大速度为
[D] 小球A到达最低点的过程中,杆对小球A所做的功为
【答案】 C
【解析】 由题意得,小球A从静止至到达最低点的过程中,两球组成的系统机械能守恒,A、B两球角速度相等,故线速度大小之比等于运动半径之比,根据系统机械能守恒可得2mgL-3mg·=·2m+·3m()2,解得v1=2,对A由动能定理得2mgL+W=×2m,解得杆对小球A所做的功为W=-,选项A、D错误;当OA与水平方向的夹角为θ时,由系统机械能守恒可得2mgLsin θ-3mg·(1-cos θ)=×2mv2+×3m()2,可得v2=gL(4sin θ+3cos θ)-gL,由数学知识可知4sin θ+3cos θ=5sin(θ+37°),当θ=53°时小球A的速度v最大,此时vm=2,小球B最大速度为vBm=vm=,选项B错误,C正确。
5.(8分)(2024·河北衡水期末)如图所示,将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形轨道(圆心为O)并竖直固定,轨道半径为R,细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B,小球A的质量为m,直径略小于细管内径,用手托住重物B使小球A静止在Q点(OQ与竖直直径的夹角为53°);松手后,小球A运动至P点(OP与竖直直径的夹角为37°)时对细管恰无作用力。重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3,求:
(1)小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小FN;
(2)重物B的质量M。
【答案】 (1)0.6mg　(2)m
【解析】 (1)小球A静止在Q点时,根据平衡条件有FN1=mgcos 53°,
根据牛顿第三定律有FN1=FN,
解得FN=0.6mg。
(2)小球A从Q点到P点,根据系统机械能守恒有Mg·-mg·R(cos 37°+cos 53°)=(M+m)v2,
对小球A在P点时,由牛顿第三定律可知,细管对小球恰无作用力,仅由重力沿半径方向的分力提供向心力,根据牛顿第二定律有mgcos 37°=,
联立解得M=m。
6.(4分)(2024·江苏南京阶段练习)如图所示,竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的小球,初始时静置于a点。一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点,右端与小球相连。直杆上还有b、c、d三点,且b与O在同一水平线上,Ob=l,Oa、Oc与Ob夹角均为37°,Od与Ob夹角为53°。现释放小球,小球从a点开始下滑,到达d点时速度为0,在此过程中弹簧始终处于弹性限度内,则下列说法正确的是(重力加速度为g,取sin 37°=0.6)(　　)
[A] 小球在b点时加速度最大
[B] 小球从a点下滑到d点的过程中,小球的机械能守恒
[C] 小球在c点的速度大小为
[D] 小球从c点下滑到d点的过程中,弹簧的弹性势能增加了mgl
【答案】 C
【解析】 从a到b,弹簧对小球有沿弹簧向下的拉力,则小球的加速度大于g,到达b点时,弹簧弹力为零,小球的加速度等于g,所以小球在b点时加速度不是最大,故A错误;小球从a点下滑到d点的过程中,小球与弹簧组成的系统机械能守恒,但由于运动过程中弹簧的弹力对小球做功,小球的机械能不守恒,故B错误;从a点下滑到c点的过程中,对于小球与弹簧组成的系统,由机械能守恒定律得mg·2ltan 37°=m,可得滑块在c点的速度大小为vc=,故C正确;小球从c点下滑到d点的过程中,弹簧的弹性势能增加量等于小球的机械能减小量,即ΔEp=mgl(tan 53°-tan 37°)+m,所以ΔEp=mgl,故D错误。
7.(6分)(2024·广西柳州三模)(多选)如图所示,一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上,分别沿倾角为θ的两个固定斜面下滑,图甲中细线保持竖直,图乙中细线保持垂直斜面。在木板下滑的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 图甲中木板与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[B] 图甲中木板(包括支架)与小球组成的系统机械能守恒
[C] 图乙中木板与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[D] 图乙中木板(包括支架)与小球组成的系统机械能守恒
【答案】 AD
【解析】 题图甲中,因拉小球的细线呈竖直状态,所以小球受到重力和竖直向上的拉力,在水平方向没有分力,所以小球在水平方向没有加速度,对小球和木板整体,根据力的平衡条件得m总gsin θ=μm总gcos θ,解得μ=tan θ,小球沿斜面做匀速直线运动,由于木板与小球的运动状态相同,所以木板、小球组成的系统动能不变,重力势能减小,机械能不守恒,故A正确,B错误;题图乙中,因拉小球的细线与斜面垂直,所以小球受到重力和细线垂直于斜面向上的拉力,其合力沿斜面向下,所以小球的加速度也沿斜面向下,对小球运用牛顿第二定律沿斜面方向有m球gsin θ=m球a,解得a=gsin θ,由于木板与小球的运动状态相同,所以对木板、小球组成的整体,根据牛顿第二定律得m总gsin θ-μm总gcos θ=m总a,解得μ=0,故C错误;题图乙中,由于木板不受斜面的摩擦力,所以木板、小球组成的系统只有重力做功,则机械能守恒,故D正确。
8.(4分)(2024·江苏五校考前模拟)在某工厂里,为防止发生意外爆炸,化学药品必须同时加入容器中。某同学设计了如图所示的装置,在轻质滑轮组上,用轻绳连接的三个物体a、b、c在外力作用下均保持静止。撤去外力后,a、b以相同加速度下落,同时落入容器P中。不计一切阻力,在a、b落入P前的运动过程中(　　)
[A] a、c位移大小之比为1∶2
[B] b、c加速度大小之比为1∶2
[C] a、c构成的系统机械能守恒
[D] c增加的机械能等于a减小的机械能的1.5倍
【答案】 D
【解析】 由于a、b以相同加速度下落,同时落入容器P中,即a、b的位移相等,设其大小为x0,根据题图可知,当a、b同时下移x0时,a、b上方的轻绳的总长度增加3x0,即c位移大小为3x0,即a、c位移大小之比为1∶3,故A错误;根据位移公式有x=at2,解得a=,故b、c加速度大小之比为1∶3,故B错误;对物体a、b、c构成的系统分析可知,该系统只有重力做功,机械能守恒,系统内部轻绳对b做负功,则b的机械能减小,可知a、c构成的系统的机械能增大,故C错误;同一根轻绳弹力大小相等,设为FT,绳的弹力对a做负功,a的机械能减小,绳的弹力对c做正功,c的机械能增大,根据功能关系可知c增加的机械能与a减小的机械能大小分别为Ec=FT·3x0,Ea=2FTx0,解得=1.5,故D正确。
9.(12分)(2024·江苏苏州三模)如图所示,一半径为R的光滑硬质圆环固定在竖直平面内与光滑足够长的水平杆相连,在圆环最高点的竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C,质量为m的小球A穿在环上,且可以自由滑动,小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B,细线搭在滑轮上。现将小球A从环上最高点由静止释放,重力加速度为g,不计空气阻力,求:
(1)小球A到达D点时细线中的张力大小;
(2)小球A到达D点时小球B的速度大小;
(3)小球A运动一个周期小球B的路程。
【答案】 (1)0.5mg　(2)　(3)(10-4)R
【解析】 (1)对小球A,有F=ma,
对小球B,有mg-F=ma,
联立解得F=0.5mg。
(2)只有重力做功,系统机械能守恒,小球A到达D点时,B球回到原位置,有mgR=m+m,
此时两小球速度大小相等,有vA=vB,
联立解得vB=。
(3)小球A过D点后沿杆向左运动,小球B上升,到两者速度大小为零。假设小球B上升距离为x,由机械能守恒定律可知mgR=mgx,
解得x=R,
小球A恰好经过O、C连线与圆环的交点处时,由几何关系知,此时B下降的高度
hB=R-(R-R)=(2-)R,
由于系统机械能守恒,系统做周期性运动,在小球A再次回到最高点的过程中,小球B的路程为s=2(2hB+x),
解得s=(10-4)R。
(
第
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高中总复习·物理
第4讲　
机械能守恒定律
情境导思
如图所示是运动员投掷铅球的动作,忽略铅球所受空气的阻力。
(1)铅球在空中运动过程中,机械能是否守恒
(2)若铅球被抛出时速度大小一定,铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗
(3)在求解铅球落地的速度大小时,可以考虑应用什么规律
知识构建
机械能
mgh
地球
有关
无关
减小
增大
减小
知识构建
弹性形变
减少
增加
动能
势能
保持不变
重力
弹力
小题试做
(多选)如图所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
[B] 小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能守恒
[C] 小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
[D] 小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,小球的机械能守恒
BC
机械能是否守恒的判断方法
[例1] 【单物体机械能守恒的判断】 (2024·贵州毕节三模)一小朋友用弹力发射玩具斜向上发射弹力球,另一小朋友在与发射点等高处成功把球接住。不计空气阻力,弹力球在空中运动的过程(　　)
[A] 机械能守恒
[B] 在最高处动能为零
[C] 机械能先增加后减少
A
【解析】 不计空气阻力,弹力球在空中运动的过程,只有重力做功,机械能守恒,保持不变,故A正确,C错误;弹力球在最高处,水平方向的速度不为零,故在最高处动能不为零,故B错误;重力的瞬时功率为P=mgvy,弹力球在空中运动的过程,竖直方向的速度先减小后增大,重力的瞬时功率先减小后增大,故D错误。
[例2] 【多物体机械能守恒的判断】 (多选)下列几种情况中(忽略空气阻力),系统的机械能守恒的是(　 　)
[A] 图甲中与弹簧连接的小钢球向下摆动
[B] 图乙中运动员在蹦床上越跳越高
[C] 图丙中小车上放一木块,小车的左侧有弹簧与墙壁相连,小车在左右运动时(车轮与地面摩擦不计),木块相对于小车无滑动
[D] 图丁中轻杆两端质量不等的两球绕光滑O轴转动
ACD
【解析】 题图甲中小钢球和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功,系统机械能守恒,A正确;题图乙中运动员越跳越高,表明他自身的力不断做功,不单是只有重力和弹力做功,系统机械能不守恒,B错误;题图丙中小车和木块间是静摩擦力,其总功为零,系统中只有弹簧的弹力做功,系统机械能守恒,
C正确;题图丁中轻杆两端质量不等的两球绕光滑O轴转动,轻杆对两球做功的代数和为零,只有两球重力做功,系统机械能守恒,D正确。
[提升] 【连接体运动模型分析】 如图所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法正确的是(　 　)
[A] 斜劈对小球的弹力不做功
[B] 斜劈与小球组成的系统机械能守恒
[C] 斜劈的机械能守恒
[D] 小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
B
【解析】 不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统没有机械能之外的其他形式的能产生,系统机械能守恒,可知小球减少的重力势能转化为小球和斜劈的动能,选项B正确,D错误;斜劈和小球之间的弹力与它们的位移并不垂直,故弹力对小球、斜劈均做功,斜劈的机械能不守恒,选项A、C错误。
方法点拨
(1)系统的机械能守恒时,其中的单个物体机械能一般不守恒。
(2)机械能守恒的条件绝不是合力做的功等于零,更不是合力等于零,而是看是否只有重力或系统内的弹力做功。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,机械能一般不守恒。
1.机械能守恒定律表达式
说明:单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
[例3] 【单物体单过程机械能守恒】 (2024·全国甲卷,17)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
[A] 在Q点最大
[B] 在Q点最小
[C] 先减小后增大
[D] 先增大后减小
C
[例4] 【单物体多过程机械能守恒】 (2024·福建泉州模拟)滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”,如图是模拟的滑板组合滑行轨道,该轨道由足够长的斜直轨道、凹形圆弧轨道和半径R=1.6 m的凸形圆弧轨道组成,这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接,其中M点为凹形圆弧轨道的最低点,N点在凸形圆弧轨道的圆心O点正上方,O点与M点处在同一水平面上,一质量为m=1 kg可看作质点的滑板,从斜直轨道上的P点无初速度滑下,经过M点滑向N点,最终落在地面的K点。P点距M点所在水平面的高度h=1.8 m,不计一切阻力,g取 10 m/s2。
(1)滑板滑到M点时的速度多大
【答案】 (1)6 m/s
(2)滑板滑到N点时对轨道的压力多大
【答案】 (2)7.5 N
(3)滑出点N和落地点K的水平距离。
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况下不计空气阻力和一切摩擦,系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式。
2.几种实际情境的分析
(1)速率相等情境。
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情境。
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
②由v=ωr知,v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)。
两物体速度的关联实质:沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
BCD
AD
AD
1.(4分)下列说法正确的是(　　)
[A] 如图甲所示物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中,物块的机械能守恒
[B] 如图乙所示外力作用拉直轻绳使小球静止于图示位置,现释放小球,从释放开始运动至最低点A的过程中,小球的机械能守恒
[C] 如图丙所示物体沿固定的光滑斜面向上做减速运动的过程中,物体的机械能守恒
[D] 如图丁所示不计一切阻力,已知mB>mA,从静止释放B球到B球落地前的过程中,B球减少的重力势能等于A球增加的机械能
对点1.机械能守恒的判断
基础对点练
C
【解析】 题图甲中,物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中,弹簧对物块做功,物块的机械能不守恒,故A错误;题图乙中,释放小球后,小球先做自由落体运动后做圆周运动,从释放开始运动至最低点A的过程中,轻绳从松弛到张紧的过程小球的机械能会减少,其机械能不守恒,故B错误;题图丙中,物体沿固定的光滑斜面向上做减速运动的过程中,只有重力对物体做功,所以物体的机械能守恒,故C正确;题图丁中对于A球与B球组成的系统,只有重力做功,系统机械能守恒,所以B球减少的重力势能等于B球增加的动能与A球增加的机械能之和,故D错误。
2.(4分)(2024·江苏连云港一模)如图所示为背越式跳高过程的动作分解图,下列说法正确的是(　　)
[A] 起跳时,地面对人的作用力大于人对地面的作用力
[B] 起跳速度越大,地面对人做功越多
[C] 起跳速度越大,人在最高点机械能越大
[D] 起跳速度越大,人在最高点重力的瞬时功率越大
C
【解析】 地面对人的作用力和人对地面的作用力是一对相互作用力,根据牛顿第三定律,相互作用力等大反向,故A错误;起跳过程中,脚和地面始终接触且相对静止,地面对脚底作用力的作用点无位移,故地面对人的作用力不做功,是人体的内力做功将生物能转化为动能,故B错误;起跳速度越大,则起跳时得到的动能越大,取地面为重力势能的参考平面,则起跳时的动能大小即为人的机械能大小,起跳后人的机械能守恒,所以,起跳速度越大,人在最高点机械能越大,故C正确;到达最高点时,因瞬时速度竖直方向的分速度为零,则重力的瞬时功率为零,故D错误。
B
对点2.单物体机械能守恒定律的应用
对点3.多物体系统机械能守恒定律的应用
C
5.(8分)(2024·河北衡水期末)如图所示,将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形轨道(圆心为O)并竖直固定,轨道半径为R,细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B,小球A的质量为m,直径略小于细管内径,用手托住重物B使小球A静止在Q点(OQ与竖直直径的夹角为53°);松手后,小球A运动至P点(OP与竖直直径的夹角为37°)时对细管恰无作用力。重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3,求:
(1)小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小FN;
【答案】 (1)0.6mg　
【解析】 (1)小球A静止在Q点时,根据平衡条件有FN1=mgcos 53°,
根据牛顿第三定律有FN1=FN,
解得FN=0.6mg。
(2)重物B的质量M。
C
综合提升练
7.(6分)(2024·广西柳州三模)(多选)如图所示,一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上,分别沿倾角为θ的两个固定斜面下滑,图甲中细线保持竖直,图乙中细线保持垂直斜面。在木板下滑的过程中,下列说法正确的是(　 　)
[A] 图甲中木板与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[B] 图甲中木板(包括支架)与小球组成的系统机械能守恒
[C] 图乙中木板与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[D] 图乙中木板(包括支架)与小球组成的系统机械能守恒
AD
【解析】 题图甲中,因拉小球的细线呈竖直状态,所以小球受到重力和竖直向上的拉力,在水平方向没有分力,所以小球在水平方向没有加速度,对小球和木板整体,根据力的平衡条件得m总gsin θ=μm总gcos θ,解得μ=tan θ,小球沿斜面做匀速直线运动,由于木板与小球的运动状态相同,所以木板、小球组成的系统动能不变,重力势能减小,机械能不守恒,故A正
确,B错误;题图乙中,因拉小球的细线与斜面垂直,所以小球受到重力和细线垂直于斜面向上的拉力,其合力沿斜面向下,所以小球的加速度也沿斜面向下,对小球运用牛顿第二定律沿斜面方向有m球gsin θ=m球a,解得a=gsin θ,由于木板与小球的运动状态相同,所以对木板、小球组成的整体,根据牛顿第二定律得m总gsin θ-μm总gcos θ=m总a,解得μ=0,故C错误;题图乙中,由于木板不受斜面的摩擦力,所以木板、小球组成的系统只有重力做功,则机械能守恒,故D正确。
8.(4分)(2024·江苏五校考前模拟)在某工厂里,为防止发生意外爆炸,化学药品必须同时加入容器中。某同学设计了如图所示的装置,在轻质滑轮组上,用轻绳连接的三个物体a、b、c在外力作用下均保持静止。撤去外力后,a、b以相同加速度下落,同时落入容器P中。不计一切阻力,在a、b落入P前的运动过程中(　　)
[A] a、c位移大小之比为1∶2
[B] b、c加速度大小之比为1∶2
[C] a、c构成的系统机械能守恒
[D] c增加的机械能等于a减小的机械能的1.5倍
D
(1)小球A到达D点时细线中的张力大小;
【答案】 (1)0.5mg
【解析】 (1)对小球A,有F=ma,
对小球B,有mg-F=ma,
联立解得F=0.5mg。
(2)小球A到达D点时小球B的速度大小;
(3)小球A运动一个周期小球B的路程。

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