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第5讲　小专题:含弹簧的机械能守恒问题和非质点类机械能守恒问题
考点一　含弹簧的机械能守恒问题
1.含弹簧类系统
2.含弹簧的机械能守恒问题的突破点
(1)弹簧发生形变时会具有弹性势能,系统的总动能将发生变化,若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功,系统机械能守恒。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能有最大值。
(3)对同一弹簧,弹性势能的大小为Ep=kx2,弹性势能由弹簧的形变量决定,弹簧的伸长量和压缩量相等时,弹簧的弹性势能相等。
[例1] 【单物体与轻弹簧模型中的机械能守恒问题】(2023·全国甲卷,24)如图,光滑水平桌面上有一轻质弹簧,其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端,使弹簧的弹性势能为Ep。释放后,小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动,与弹簧分离后,从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间,其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等;垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后,弹起的最大高度为h,重力加速度大小为g,忽略空气阻力。求
(1)小球离开桌面时的速度大小;
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)从释放弹簧到小球离开桌面的过程中,小球与弹簧组成的系统机械能守恒,设小球离开桌面时的速度大小为v0,由机械能守恒定律有 Ep=m,
解得v0=。
(2)小球从桌面水平飞出后,做平抛运动的过程中,有vy=gt,其水平位移x=v0t,
小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动,设弹起时小球的竖直速度为,由运动学公式有=2gh,
小球落地前瞬间的竖直方向速度大小为vy,有=vy,
联立解得x=。
[例2] 【多物体与轻弹簧模型中的机械能守恒问题】(2024·甘肃一模)(多选)如图所示,固定在地面上的OAB为半径为R的四分之一圆环,圆心O的正上方R处有一定滑轮C,定滑轮C右侧有另一个定滑轮D,小球1套在圆环上并通过轻绳绕过两个定滑轮连接物体2,物体2又与一轻质弹簧连接在一起,轻质弹簧另一端固定在地面上。现有两种情况。情况1:小球1可在AB圆弧任意位置保持静止;情况2:小球1在A点时,轻绳刚好伸直但无张力,此时弹簧压缩量为R,现给小球1轻微的扰动,小球1沿AB圆弧运动到B点时速度为零,此时左边的绳沿着BC方向绷紧,物体2不会碰到滑轮。已知小球1质量为m1,物体2质量为m2,弹簧劲度系数为k,重力加速度为g,不计滑轮质量、大小和一切摩擦。下列说法正确的是(取sin 37°=0.6)(　　)
[A] 情况1中k=
[B] 情况1中k=
[C] 情况2中m1∶m2=4∶3
[D] 情况2中m1∶m2=3∶4
【答案】 BC
【解析】 情况1中,对小球1和物体2进行受力分析如图所示,
设轻绳张力为FT,弹簧弹力为F,定滑轮C与小球1之间的轻绳长度为x,根据相似三角形有=,若连接小球1的轻绳长度伸长Δx,弹簧长度也会变长Δx,则有ΔFT=Δx,ΔF=kΔx,因小球1可在AB圆弧任意位置保持静止,则需满足ΔFT=ΔF,解得k=,故A错误,B正确;情况2中,小球1、物体2、细绳和弹簧组成的系统机械能守恒,且初、末状态弹簧形变量均为R,弹簧的弹性势能相同,有m1gR=m2g·R,解得m1∶m2=4∶3,故C正确,D错误。
(1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体和弹簧的机械能都不守恒。
(2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题,符合一般的运动学解题规律,同时还要注意研究过程中弹簧形变量相等的情况。
考点二　非质点类机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到链条类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再看作质点来处理。
2.物体虽然不能当作质点来处理,但在只有重力做功的情况下,物体整体机械能守恒,一般情况下,可将物体分段处理,确定状态变化过程中两时刻的物体各部分的重心位置,根据初、末状态物体机械能守恒列式求解。
[例3] 【绳索、链条类物体的机械能守恒】 如图所示,总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上,用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放,直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦,重力加速度为g,在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 物块的机械能减少了mgl
[B] 物块的机械能减少了mgl
[C] 软绳的机械能增加了mgl
[D] 软绳的机械能增加了mgl
【答案】 A
【解析】 设软绳刚离开滑轮时的速度大小为v,对软绳和物块组成的系统,根据机械能守恒定律得mgl+mgl=×2mv2 ,解得v=,选滑轮位置所在平面为参考平面,则物块的机械能减少量为|ΔE|=-mg·-(-mgl+mv2),解得|ΔE|=mgl,整个系统机械能守恒,则软绳机械能增加了mgl,故A正确,B、C、D错误。
[例4] 【“液柱”类物体的机械能守恒】 如图所示,粗细均匀的U形管右端装有阀门K,关闭K后在管内装入总长为4L的水。此时左、右支管内水面高度差为L。打开阀门K后,左、右水面刚好相平时左管液面的速度是多大 (重力加速度为g,管的内部横截面很小,摩擦阻力忽略不计)
【答案】
【解析】 由于不考虑摩擦阻力,故整个水柱在流动过程中机械能守恒。从初始状态到左、右支管内水面相平为止,相当于长为L的水柱的重心高度由降为,由机械能守恒定律可知,其减少的重力势能转化为整个水柱的动能,设单位长度水柱的质量为m,则有Lmg(-)=×4Lmv2,解得v=。
(1)非质点类物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。
(2)在确定物体重力势能的变化量时要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
(3)分析非质点类物体的动能时,要看物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为mv2。
(满分:50分)
对点1.含弹簧的机械能守恒问题
1.(4分)(2024·北京海淀模拟)如图所示,将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点,当弹簧处于自由状态时,弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点,由静止释放小球,随即小球被弹簧竖直弹出,已知C点为AB的中点,则(　　)
[A] 从B到A过程中,小球的机械能守恒
[B] 从B到A过程中,小球的动能一直在增大
[C] 从B到A过程中,弹簧的弹性势能先增大后减小
[D] 从B到C过程弹簧弹力对小球做的功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做的功
2.(4分)(2024·江西模拟)如图所示,原长为l0的轻弹簧一端固定于O点,另一端连接一质量为m的小球,现使弹簧水平且为自然长度,将小球由静止释放,当小球到达O点正下方时,其动能恰好与弹簧的弹性势能相等,此时弹簧的伸长量为。已知轻弹簧的弹性势能Ep=kx2,式中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,小球可视为质点,不计空气阻力,重力加速度大小为g,则该轻弹簧的劲度系数为(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(4分)(2024·安徽安庆二模)如图所示,竖直轨道MA与四分之一圆弧轨道ABC平滑对接且在同一竖直面内,圆弧轨道圆心为O,OC连线竖直,OB连线与竖直方向夹角为θ=37°,紧靠MA的一轻质弹簧下端固定在水平面上,弹簧上放有一质量为m=2 kg的小球,现用外力将小球向下缓慢压至P点后无初速度释放,小球恰能过C点。已知P、A高度差为 0.8 m,圆弧轨道半径为1.0 m,不计轨道摩擦和空气阻力,小球的半径远小于圆弧轨道的半径,弹簧与小球不拴接,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则(　　)
[A] 小球离开弹簧时速度最大
[B] 刚释放小球时,弹簧弹性势能为36 J
[C] 若小球质量改为5.5 kg,仍从P点释放小球后,小球能沿轨道返回P点
[D] 若小球质量改为2.3 kg,仍从P点释放小球后,小球将从B点离开圆弧轨道
4.(6分)(2025·四川高考适应性考试)(多选)如图,原长为l0的轻弹簧竖直放置,一端固定于地面,另一端连接厚度不计、质量为m1的水平木板X。将质量为m2的物块Y放在X上,竖直下压Y,使X离地高度为l,此时弹簧的弹性势能为Ep,由静止释放,所有物体沿竖直方向运动。则(　　)
[A] 若X、Y恰能分离,则Ep=(m1+m2)g(l0-l)
[B] 若X、Y恰能分离,则Ep=(m1+m2)gl
[C] 若X、Y能分离,则Y的最大离地高度为 +(l0-l)
[D] 若X、Y能分离,则Y的最大离地高度为 +l
对点2.非质点类机械能守恒问题
5.(6分)(多选)如图所示,在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起,斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变),小球恰好将圆弧轨道铺满,从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走,N个小球由静止开始沿轨道运动,不计摩擦与空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] N个小球在运动过程中始终不会散开
[B] 第1个小球从A到B过程中机械能守恒
[C] 第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
[D] 第1个小球到达最低点的速度v<
6.(6分) (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上,筒内装水,底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2,如图所示。已知水的密度为ρ,重力加速度为g,不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开,到两筒水面高度相等的过程中(　　)
[A] 水柱的重力做正功
[B] 大气压力对水柱做负功
[C] 水柱的机械能守恒
[D] 水柱动能的改变量是ρgS(h1-h2)2
7.(9分)如图所示,两根轻绳连接小球P,右侧绳一端固定于A,左侧绳通过B点处光滑定滑轮连接一物体Q,物体Q、N通过一轻弹簧连接,Q、N质量均为m,整个系统处于静止状态时,小球P位于图示位置,两绳与水平方向夹角分别为37° 和53° ,此时物体N与地面间弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B等高的水平线上,两绳均拉直且无弹力,然后由静止释放小球P。已知图示小球P右侧绳长为L,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度为g。求:
(1)小球P的质量M;
(2)小球P再运动到图示位置时Q的速度大小v;
(3)小球P从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q做的功W。
8.(11分)甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接,甲与地面用轻弹簧连接,如图所示。物体乙与物体丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。已知物体乙与物体丙的质量均为m,物体甲的质量大于m,但是小于2m;弹簧的劲度系数为k。物体在运动过程中不会与滑轮相碰,且不计一切阻力,物体碰地后不反弹,当地的重力加速度为g。
(1)若已知物体甲的质量为1.5m,将乙与丙间的线剪断,求剪断瞬间乙物体加速度的大小,此时甲、乙之间轻绳拉力多大
(2)若将乙与丙间的线剪断,甲下降多大距离时它的速度最大
(3)若突然弹簧与物体甲脱离接触,要保证物体乙在运动过程中不会着地,求这种情形之下物体甲的质量的取值范围。
(答案及解析)
对点1.含弹簧的机械能守恒问题
1.(4分)(2024·北京海淀模拟)如图所示,将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点,当弹簧处于自由状态时,弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点,由静止释放小球,随即小球被弹簧竖直弹出,已知C点为AB的中点,则(　　)
[A] 从B到A过程中,小球的机械能守恒
[B] 从B到A过程中,小球的动能一直在增大
[C] 从B到A过程中,弹簧的弹性势能先增大后减小
[D] 从B到C过程弹簧弹力对小球做的功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做的功
【答案】 D
【解析】 从B到A过程中,小球除受重力外还受弹簧的弹力,且弹力对小球做正功,故小球的机械能不守恒,故A错误;从B到A过程中,弹簧弹力和重力平衡位置处动能最大,合力对小球先做正功后做负功,小球的动能先增大后减小,故B错误;从B到A过程中,弹簧的压缩量一直在减小,故弹簧的弹性势能一直减小,故C错误;因为从B到C过程弹簧的平均作用力大于从C到A过程弹簧的平均作用力,两过程位移大小相等,故从B到C过程弹簧弹力对小球做的功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做的功,故D正确。
2.(4分)(2024·江西模拟)如图所示,原长为l0的轻弹簧一端固定于O点,另一端连接一质量为m的小球,现使弹簧水平且为自然长度,将小球由静止释放,当小球到达O点正下方时,其动能恰好与弹簧的弹性势能相等,此时弹簧的伸长量为。已知轻弹簧的弹性势能Ep=kx2,式中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,小球可视为质点,不计空气阻力,重力加速度大小为g,则该轻弹簧的劲度系数为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 小球到达O点正下方时的动能和弹性势能相等,Ek=Ep,且由题意有Ep=k()2,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,有mg(l0+)=Ek+Ep,联立解得k=,故D正确。
3.(4分)(2024·安徽安庆二模)如图所示,竖直轨道MA与四分之一圆弧轨道ABC平滑对接且在同一竖直面内,圆弧轨道圆心为O,OC连线竖直,OB连线与竖直方向夹角为θ=37°,紧靠MA的一轻质弹簧下端固定在水平面上,弹簧上放有一质量为m=2 kg的小球,现用外力将小球向下缓慢压至P点后无初速度释放,小球恰能过C点。已知P、A高度差为 0.8 m,圆弧轨道半径为1.0 m,不计轨道摩擦和空气阻力,小球的半径远小于圆弧轨道的半径,弹簧与小球不拴接,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则(　　)
[A] 小球离开弹簧时速度最大
[B] 刚释放小球时,弹簧弹性势能为36 J
[C] 若小球质量改为5.5 kg,仍从P点释放小球后,小球能沿轨道返回P点
[D] 若小球质量改为2.3 kg,仍从P点释放小球后,小球将从B点离开圆弧轨道
【答案】 D
【解析】 释放小球后,小球上升到弹簧弹力大小等于小球重力位置时,小球速度最大,故A错误;小球恰能过C点,则有mg=m,可得vC=,由机械能守恒定律得弹簧的最大弹性势能为Ep=mg(h+R)+m=46 J,故B错误;小球质量为m1=5.5 kg>2 kg时,小球肯定到不了C点,而最大弹性势能Ep=46 J>m1gh=44 J,即小球到达A点时仍有速度,即能进入圆弧轨道,所以小球将在圆弧轨道A、C之间某点离开圆弧轨道做斜上抛运动,不能沿轨道返回P点,故C错误;设小球质量为m2时恰好从B点离开,则在B点有m2gcos 37°=m2,根据机械能守恒定律可得Ep=m2g(h+Rcos 37°)+m2,联立解得m2=2.3 kg,故D正确。
4.(6分)(2025·四川高考适应性考试)(多选)如图,原长为l0的轻弹簧竖直放置,一端固定于地面,另一端连接厚度不计、质量为m1的水平木板X。将质量为m2的物块Y放在X上,竖直下压Y,使X离地高度为l,此时弹簧的弹性势能为Ep,由静止释放,所有物体沿竖直方向运动。则(　　)
[A] 若X、Y恰能分离,则Ep=(m1+m2)g(l0-l)
[B] 若X、Y恰能分离,则Ep=(m1+m2)gl
[C] 若X、Y能分离,则Y的最大离地高度为 +(l0-l)
[D] 若X、Y能分离,则Y的最大离地高度为 +l
【答案】 AD
【解析】 将质量为m2的物块Y放在X上由静止释放,两物体一起向上加速,若X、Y恰能分离,则到达原长时速度刚好为零,则弹性势能刚好全部转化为系统的重力势能,由机械能守恒定律可知Ep=(m1+m2)g(l0-l),故A正确,B错误;若X、Y能分离,设两物体到达原长时速度为v,有Ep=(m1+m2)g(l0-l)+(m1+m2)v2,经过原长后两物体分离,物块Y的动能全部转化为重力势能,上升的高度为h,则有m2v2=m2gh,则Y的最大离地高度为H=l0+h=+l,故C错误,D正确。
对点2.非质点类机械能守恒问题
5.(6分)(多选)如图所示,在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起,斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变),小球恰好将圆弧轨道铺满,从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走,N个小球由静止开始沿轨道运动,不计摩擦与空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] N个小球在运动过程中始终不会散开
[B] 第1个小球从A到B过程中机械能守恒
[C] 第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
[D] 第1个小球到达最低点的速度v<
【答案】 AD
【解析】 在圆弧轨道下滑的过程中,水平面上的小球要做匀速运动,而曲面上的小球要做加速运动,则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用,所以小球之间始终相互挤压,冲上斜面后,后面的小球把前面的小球往上压,所以小球之间始终相互挤压,故N个小球在运动过程中始终不会散开,A正确;第一个小球在下落过程中受到挤压,所以有外力对小球做功,小球的机械能不守恒,B错误;由于小球在下落过程中速度发生变化,相互间的挤压力发生变化,所以第N个小球不可能做匀加速运动,C错误;当小球整体的重心下降时,根据机械能守恒定律得mv2=mg·,解得v=,但小球整体在AB段时,重心低于,所以第1个小球到达最低点的速度v<,D正确。
6.(6分) (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上,筒内装水,底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2,如图所示。已知水的密度为ρ,重力加速度为g,不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开,到两筒水面高度相等的过程中(　　)
[A] 水柱的重力做正功
[B] 大气压力对水柱做负功
[C] 水柱的机械能守恒
[D] 水柱动能的改变量是ρgS(h1-h2)2
【答案】 ACD
【解析】 把连接两筒的阀门K打开,到两筒水面高度相等的过程,等效于把左筒高的水柱移至右筒,如图中的阴影部分所示,该部分水重心下降,重力做正功,故A正确;大气压力对左筒水柱做正功,对右筒水柱做负功,抵消为零,故B错误;由上述分析知,只有重力做功,故水柱的机械能守恒,由机械能守恒定律得ΔEk=-Ep=WG=Δmg·=ρgS·=ρgS(h1-h2)2,故C、D正确。
7.(9分)如图所示,两根轻绳连接小球P,右侧绳一端固定于A,左侧绳通过B点处光滑定滑轮连接一物体Q,物体Q、N通过一轻弹簧连接,Q、N质量均为m,整个系统处于静止状态时,小球P位于图示位置,两绳与水平方向夹角分别为37° 和53° ,此时物体N与地面间弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B等高的水平线上,两绳均拉直且无弹力,然后由静止释放小球P。已知图示小球P右侧绳长为L,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度为g。求:
(1)小球P的质量M;
(2)小球P再运动到图示位置时Q的速度大小v;
(3)小球P从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q做的功W。
【答案】 (1)m　(2)2　(3)mgL
【解析】 (1)整个系统处于静止状态时,小球P受力如图所示,
根据平衡条件有FTB=Mgcos 37°,
弹簧处于伸长状态,设物体Q所受弹簧弹力大小为FT,有mg+FT=FTB,
对物体N有FT=mg,
联立解得M=m。
(2)小球P从释放到运动到题图所示位置的过程中,小球P、物体Q、N及弹簧组成的系统,只有重力、弹力做功,系统机械能守恒,由题意知,小球P开始释放前,轻绳对物体Q无拉力,小球P到达题图所示位置时,物体N对地面无压力,可知两位置弹簧形变量相同,弹簧弹性势能相等,根据系统机械能守恒,有MgLsin 37°-mgh=mv2+Mv2,
根据几何关系有h=Ltan 37°+L -,
联立解得v=2。
(3)由于整个过程弹簧弹力对Q做功为零,则对物体Q由动能定理有-mgh+W=mv2-0,
联立解得W=mgL。
8.(11分)甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接,甲与地面用轻弹簧连接,如图所示。物体乙与物体丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。已知物体乙与物体丙的质量均为m,物体甲的质量大于m,但是小于2m;弹簧的劲度系数为k。物体在运动过程中不会与滑轮相碰,且不计一切阻力,物体碰地后不反弹,当地的重力加速度为g。
(1)若已知物体甲的质量为1.5m,将乙与丙间的线剪断,求剪断瞬间乙物体加速度的大小,此时甲、乙之间轻绳拉力多大
(2)若将乙与丙间的线剪断,甲下降多大距离时它的速度最大
(3)若突然弹簧与物体甲脱离接触,要保证物体乙在运动过程中不会着地,求这种情形之下物体甲的质量的取值范围。
【答案】 (1)0.4g　1.4mg　(2)
(3)m【解析】 (1)将乙与丙间的线剪断瞬间,对甲、乙整体根据牛顿第二定律有
mg=(1.5m+m)a,
解得a=0.4g,
对乙进行受力分析有FT-mg=ma,
则FT=1.4mg。
(2)设物体甲质量为M,开始时弹簧处于伸长状态,其伸长量为x1,有kx1=(2m-M)g,
解得x1=g,
剪断轻线后,甲的加速度为零时,速度达到最大,设此时弹簧压缩量为x2,有kx2=(M-m)g,
解得x2=g,
所以甲速度最大时,下降的距离x=x1+x2=。
(3)设丙距离地面为L,丙刚好落地时,甲、乙的速度为v,对于甲、乙、丙三物体组成的系统机械能守恒,有2mgL-MgL=(M+2m)v2,
若乙恰好能着地,此时甲、乙物体速度为零,对甲、乙两物体组成的系统,其机械能守恒,有
MgL-mgL=(M+m)v2,
联立解得M=m,
由题意知,物体甲的质量M<2m,所以m(
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高中总复习·物理
第5讲　
第5讲　小专题:含弹簧的机械能守恒问题和非质点类机械能守恒问题
1.含弹簧类系统
2.含弹簧的机械能守恒问题的突破点
(1)弹簧发生形变时会具有弹性势能,系统的总动能将发生变化,若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功,系统机械能守恒。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能有最大值。
(1)小球离开桌面时的速度大小;
规范答题
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
规范答题
BC
规律总结
(1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体和弹簧的机械能都不守恒。
(2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题,符合一般的运动学解题规律,同时还要注意研究过程中弹簧形变量相等的情况。
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到链条类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再看作质点来处理。
2.物体虽然不能当作质点来处理,但在只有重力做功的情况下,物体整体机械能守恒,一般情况下,可将物体分段处理,确定状态变化过程中两时刻的物体各部分的重心位置,根据初、末状态物体机械能守恒列式求解。
[例3] 【绳索、链条类物体的机械能守恒】 如图所示,总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上,用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放,直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦,重力加速度为g,在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中,下列说法正确的是(　　)
A
[例4] 【“液柱”类物体的机械能守恒】 如图所示,粗细均匀的U形管右端装有阀门K,关闭K后在管内装入总长为4L的水。此时左、右支管内水面高度差为L。打开阀门K后,左、右水面刚好相平时左管液面的速度是多大 (重力加速度为g,管的内部横截面很小,摩擦阻力忽略不计)
规律总结
(1)非质点类物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。
(2)在确定物体重力势能的变化量时要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。
1.(4分)(2024·北京海淀模拟)如图所示,将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点,当弹簧处于自由状态时,弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点,由静止释放小球,随即小球被弹簧竖直弹出,已知C点为AB的中点,则(　　)
[A] 从B到A过程中,小球的机械能守恒
[B] 从B到A过程中,小球的动能一直在增大
[C] 从B到A过程中,弹簧的弹性势能先增大后减小
[D] 从B到C过程弹簧弹力对小球做的功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做的功
对点1.含弹簧的机械能守恒问题
基础对点练
D
【解析】 从B到A过程中,小球除受重力外还受弹簧的弹力,且弹力对小球做正功,故小球的机械能不守恒,故A错误;从B到A过程中,弹簧弹力和重力平衡位置处动能最大,合力对小球先做正功后做负功,小球的动能先增大后减小,故B错误;从B到A过程中,弹簧的压缩量一直在减小,故弹簧的弹性势能一直减小,故C错误;因为从B到C过程弹簧的平均作用力大于从C到A过程弹簧的平均作用力,两过程位移大小相等,故从B到C过程弹簧弹力对小球做的功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做的功,故D正确。
D
3.(4分)(2024·安徽安庆二模)如图所示,竖直轨道MA与四分之一圆弧轨道ABC平滑对接且在同一竖直面内,圆弧轨道圆心为O,OC连线竖直,OB连线与竖直方向夹角为θ=37°,紧靠MA的一轻质弹簧下端固定在水平面上,弹簧上放有一质量为m=2 kg的小球,现用外力将小球向下缓慢压至P点后无初速度释放,小球恰能过C点。已知P、A高度差为 0.8 m,圆弧轨道半径为1.0 m,不计轨道摩擦和空气阻力,小球的半径远小于圆弧轨道的半径,弹簧与小球不拴接,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则(　　)
[A] 小球离开弹簧时速度最大
[B] 刚释放小球时,弹簧弹性势能为36 J
[C] 若小球质量改为5.5 kg,仍从P点释放小球后,小球能沿轨道返回P点
[D] 若小球质量改为2.3 kg,仍从P点释放小球后,小球将从B点离开圆弧轨道
D
4.(6分)(2025·四川高考适应性考试)(多选)如图,原长为l0的轻弹簧竖直放置,一端固定于地面,另一端连接厚度不计、质量为m1的水平木板X。将质量为m2的物块Y放在X上,竖直下压Y,使X离地高度为l,此时弹簧的弹性势能为Ep,由静止释放,所有物体沿竖直方向运动。则(　　 )
AD
5.(6分)(多选)如图所示,在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起,斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变),小球恰好将圆弧轨道铺满,从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走,N个小球由静止开始沿轨道运动,不计摩擦与空气阻力,下列说法正确的是(　 　)
[A] N个小球在运动过程中始终不会散开
[B] 第1个小球从A到B过程中机械能守恒
[C] 第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
AD
对点2.非质点类机械能守恒问题
6.(6分) (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上,筒内装水,底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2,如图所示。已知水的密度为ρ,重力加速度为g,不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开,到两筒水面高度相等的过程中(　 　)
[A] 水柱的重力做正功
[B] 大气压力对水柱做负功
[C] 水柱的机械能守恒
ACD
综合提升练
7.(9分)如图所示,两根轻绳连接小球P,右侧绳一端固定于A,左侧绳通过B点处光滑定滑轮连接一物体Q,物体Q、N通过一轻弹簧连接,Q、N质量均为m,整个系统处于静止状态时,小球P位于图示位置,两绳与水平方向夹角分别为37° 和53° ,此时物体N与地面间弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B等高的水平线上,两绳均拉直且无弹力,然后由静止释放小球P。已知图示小球P右侧绳长为L,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度为g。求:
(1)小球P的质量M;
(2)小球P再运动到图示位置时Q的速度大小v;
(3)小球P从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q做的功W。
8.(11分)甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接,甲与地面用轻弹簧连接,如图所示。物体乙与物体丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。已知物体乙与物体丙的质量均为m,物体甲的质量大于m,但是小于2m;弹簧的劲度系数为k。物体在运动过程中不会与滑轮相碰,且不计一切阻力,物体碰地后不反弹,当地的重力加速度为g。
(1)若已知物体甲的质量为1.5m,将乙与丙间的线剪断,求剪断瞬间乙物体加速度的大小,此时甲、乙之间轻绳拉力多大
【答案】 (1)0.4g　1.4mg
【解析】 (1)将乙与丙间的线剪断瞬间,对甲、乙整体根据牛顿第二定律有mg=(1.5m+m)a,
解得a=0.4g,
对乙进行受力分析有FT-mg=ma,
则FT=1.4mg。
(2)若将乙与丙间的线剪断,甲下降多大距离时它的速度最大
(3)若突然弹簧与物体甲脱离接触,要保证物体乙在运动过程中不会着地,求这种情形之下物体甲的质量的取值范围。

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