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专题03：因数与倍数（专项训练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．以下各选项中（x为不等于0的自然数），计算结果一定是偶数的是（ ）。
A．2022＋x B．2022－x C．2022×x D．2022÷x
2．李医生每4天休息一天，张医生每6天休息一天，4月1日两人同时休息，到（ ）两人又同时休息。21*cnjy*com
A．4月12日 B．4月13日 C．4月20日
3．小学阶段学了很多有密切联系的知识，如图中的M、N可能是（ ）。
①M是平行四边形，N是长方形。
②M是分数，N是真分数。
③M是等腰三角形，N是等边三角形。
④M是奇数，N是质数。
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②
4．正方形的边长是质数，它的周长和面积一定是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
5．下面的话正确的有（ ）。
①假分数的倒数不一定是真分数。
②圆的半径扩大到原来的3倍，周长扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的6倍。
③1.3除以0.3的商是4，余数是1。
④两个奇数的和肯定不是奇数。
A．1句 B．2句 C．3句 D．4句
6．下面的说法中，正确的是（ ）。
A．3.4÷0.7，商是4，余数是6。
B．最大的负数是﹣1，最小的正数是0。
C．如果m÷n＝7，那么m是n的倍数。
D．在、、、中，全部都能化成有限小数。
二、填空题
7．的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。
8．哥德巴赫猜想：所有大于2的偶数，都可以表示两个质数的和。我们试试：10＝7＋3，14＝( )＋( )，18＝( )＋( )。
9．一个三位数，既是3的倍数同时又是5的倍数，这个三位数最小是( )，这个三位数最大是( )。
10．如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
11．分数单位是的最大真分数是( )，它至少再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。
12．如果a÷b＝5（a，b都是不为0的自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。
13．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的3的倍数是( )。
14．和都是自然数，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
15．根据a－b＝1（a、b是不为0的自然数），可知a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
16．上街新汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少再过( )分钟再次同时发车。
17．有两根绳子，一根长24米，另一根长30米，现在要把它们剪成长度相等的小段，且刚好剪完没有剩余，每小段最长是( )米，两根绳子一共可以剪( )段。
18．有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有( )个灯泡亮着。
三、判断题
19．1既不是质数也不是合数。( )
20．两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。( )
21．8和15没有公约数，所以8和15是互质数． ( )
22．一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽都是质数，那么这个长方形的面积是11平方厘米。( )【来源：21·世纪·教育·网】
23．非0自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( )
四、解答题
24．甲，乙、丙三个小朋友在操场绕环形跑道走路，绕一周甲要3分，乙要6分，丙要9分。三人同时，同地、同向出发，至少要行走 分，3人才能在出发地点相会。
25．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？
26．一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？2·1·c·n·j·y
27．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表：
人数 50人以内 51～99人 100人及以上
票价 30元/人 27元/人 25元/人
（例如：60人需要付门票费27×60＝1620元。）
导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3684元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3300元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？
28．如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。2-1-c-n-j-y
《专题03：因数与倍数（专项训练）-2025年小升初数学复习讲练测（通用版）》参考答案
1．C
【分析】根据偶数、奇数的意义：是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。
【详解】A．2022＋x，当x是奇数时，2022＋x的结果是奇数；
B．2022－x，当x是奇数时，2022－x的结果是奇数；
C．2022×x，2022是偶数，x不论是多少，它与x的乘积都是偶数；
D．2022÷x，当x＝2时，2022÷2＝1011，计算结果是奇数。
故答案为：C
【点睛】解题的关键是掌握奇数、偶数的意义。
2．B
【分析】李医生每4天休息一天，李医生休息时中间隔的天数是4的倍数，张医生每6天休息一天，张医生休息时中间隔的天数是6的倍数，两人下次同时休息经过的天数是4和6的最小公倍数，下次两人同时休息的时间＝原来两人同时休息的时间＋经过时间，据此解答。
【详解】4＝2×2，6＝2×3
4和6的最小公倍数：
2×2×3
＝4×3
＝12
也就是经过12天后，两人同时休息。
4月1日＋12天＝4月13日，
所以，到4月13日两人又同时休息。
故答案为：B
3．A
【分析】①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。21cnjy.com
②把整体平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示；分子比分母小的分数叫真分数。
③等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形：三条边都相等的三角形。
④整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
【详解】①根据长方形是特殊的平行四边形，可知M是平行四边形，N是长方形说法正确。
②根据分数分为真分数和假分数，所以M是分数，N是真分数说法正确。
③根据等边三角形是特殊的等腰三角形，所以M是等腰三角形，N是等边三角形说法正确。
④1是奇数，但不是质数，9、25是奇数，但9、25是合数，所以M是奇数，N是质数的说法错误。
图中的M、N可能是①②③。
故答案为：A
4．D
【分析】根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，由此可知，正方形的周长、面积的数值至少有三个因数，所以一定是合数，据此解答。www.21-cn-jy.com
【详解】由分析可知，它的周长和面积的数值一定是合数。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查质数与合数的意义，判断一个数是质数还是合数，就看这个数有多少个因数。
5．B
【分析】①分子比分母小的分数叫做真分数；真分数＜1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；假分数≥1。
乘积是1的两个数互为倒数。
②根据圆的周长公式C＝2πr，以及积的变化规律可知，圆的半径扩大到原来的3倍，则圆的周长扩大到原来的3倍；21·世纪*教育网
根据圆的面积公式S＝πr2，以及积的变化规律可知，圆的半径扩大到原来的3倍，则圆的面积扩大到原来的32＝9倍。21*cnjy*com
③计算1.3÷0.3时，根据除数是小数的小数除法计算法则，被除数和除数同时乘10，变成13÷3，商不变；商是4时，余数1要除以10才是1.3÷0.3的余数。【版权所有：21教育】
④整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。
【详解】①假分数的倒数可能是真分数，也可能是假分数，不一定是真分数，原说法正确。
②圆的半径扩大到原来的3倍，周长扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的32＝9倍，原说法错误。
③1.3÷0.3＝4……0.1
1.3除以0.3的商是4，余数是0.1，原说法错误。
④根据奇数＋奇数＝偶数，可知两个奇数的和是偶数，肯定不是奇数，原说法正确。
综上所述，说法正确的是①④，有2句。
故答案为：B
6．D
【分析】为表示两种相反意义的量，在正数前面加“－” 号的数称为负数；在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数；小数部分的位数有限的小数叫做有限小数；据此解答。21教育名师原创作品
【详解】A．3.4÷0.7，商是4，余数是0.6，原题干说法错误；
B．没有最大的负数，0既不是正数，也不是负数，原题干说法错误；
C．m÷n＝7，只有m、n是整数的情况下，那么m才是n的倍数，原题干说法错误；
D．化简后是，这几个分数的分母都只含有2或5的质因数，都能化为有限小数，原题干说法正确。
故答案为：D
【点睛】解答本题的关键是理解和掌握负数的概念，因数和倍数的特征及有限小数的相关概念。
7． 16
【分析】把单位“1”平均分成若干份取一份的数，叫做分数单位；分数的分子是几里面就有几个这样的分数单位，最小的质数是2，把2通分成分母是9的假分数，减去，得到的分数中，分子是几，就要加上几个这样的分数单位就是最小的质数。
【详解】的分数单位是；
最小的质数是2，2＝；
－＝
分子是16，即要再加上16个这样的分数单位就是最小的质数。
【点睛】本题的解题关键是理解掌握质数的概念以及分数单位的意义。
8． 11 3 11 7
【分析】20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，观察可得14＝3＋11或14＝7＋7；18＝5＋13，或18＝7＋11。www-2-1-cnjy-com
【详解】14＝3＋11
18＝5＋13（答案不唯一）
【点睛】此题考查了20以内的质数，结合题意解答即可。
9． 105 990
【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】一个三位数，既是3的倍数同时又是5的倍数，这个三位数最小是105，这个三位数最大是990。
【点睛】本题考查5，3倍数的特征，注意要熟练掌握。
10． 14 210
【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
【详解】a＝2×3×7
b＝2×5×7
a和b的最大公因数是：2×7＝14；
a和b的最小公倍数是：2×3×5×7＝210。
填空如下：
如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是（14），最小公倍数是（210）。
11． 9
【分析】真分数是指分子小于分母的数，据此写出分数单位是的最大真分数即可；最小的质数为2，用2减去这个真分数后，观察分数的分子部分，即可得出需要加上的分数单位的个数。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】分数单位是的最大真分数是；
2－
＝－
＝
即至少再加上9个这样的分数单位就是最小的质数。
【点睛】熟练掌握真分数、分数单位的意义以及质数的含义是解答本题的关键。
12． a b
【分析】如果a÷b＝5（a，b都是不为0的自然数），说明a是b的5倍，根据两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此解答。
【详解】a÷b＝5（a，b都是不为0的自然数）
a和b是倍数关系，且a＞b；
那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
【点睛】掌握当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数和最小公倍数的求法是解题的关键。
13． 531 130 105
【分析】组成最大的奇数，个位是奇数，选最小的1，另外几个数，把大数从高位排起，写出即可；
组成最小的偶数，个位是0，另外几个数，把小数从高位排起，写出即可；
组成最小的3的倍数，各位上的数加起来能被3整除，这样符合条件的就是105。
【详解】由分析可得：从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是531，最小的偶数是130，最小的3的倍数是105。21教育网
14． y x
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。
【详解】因为x和y都是自然数，x÷y＝3，（y≠0）
所以x和y成倍数关系，x是较大数，y是较小数，因此和的最大公因数是y，最小公倍数是x。
15． 1 ab
【分析】如果a－b＝1（a和b都是不为0的自然数），则说明这两个数是相邻的自然数，如5、6，那么这两个数是互质数，那么a和b的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的积，据此解答。21·cn·jy·com
【详解】如果a－b＝1（a和b都是不为0的自然数），则a和b互质，所以a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
【点睛】解答本题的关键是掌握相邻的两个自然数是互质数。
16．30
【分析】根据题意，第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次，那么三路汽车在同一时间发车以后，再次同时发车间隔的时间是5、10、6的最小公倍数，求出5、10、6的最小公倍数即可得解。
【详解】10＝2×5
6＝2×3
5、10、6的最小公倍数是：2×3×5＝30
三路汽车在同一时间发车以后，最少再过30分钟再次同时发车。
【点睛】本题考查最小公倍数的实际应用，利用求三个数的最小公倍数的方法解决问题。
17． 6 9
【分析】根据题意，可计算出24与30的最大公因数，即是每段绳子最长的长度，然后再用24除以最大公约数加上30除以最大公因数的商，即是一共剪成的段数，列式解答即可得到答案。【出处：21教育名师】
【详解】
所以24与30最大公因数是：
即每小段最长是6米。
（段）
每小段最长是（6）米，两根绳子一共可以剪（9）段。
18．5
【分析】2的倍数有2、4、6、8、10，3的倍数有3、6、9，4的倍数有4、8；开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态；编号1，没按开关，亮着，编号2、 3按了一次开关，不亮，编号4按了两次开关，亮着，编号5，没按开关，亮着，编号6，按了两次开关，不亮着，编号7，没按开关，不亮，编号8，按了两次，不亮，编号9、10按了一次开关，亮着。据此可知，一共有5个灯泡亮着；据此解答。
【详解】根据分析可知，第三次之后还有5个灯泡亮着。
【点睛】明确开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态是解答本题的关键。
19．√
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。21世纪教育网版权所有
【详解】1的因数是1，只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查质数与合数的意义，明确质数、合数是以因数的个数来区分的，质数只有2个因数，合数至少有3个因数。
20．×
【分析】两个数公有的因数叫做这两个数的公因数；其中最大的叫最大公因数。
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；其中最小的叫最小公倍数。
【详解】两数相同时，例如6和6，它们的最大公因数是6，最小公倍数也是6，此时两者相等。
两个数不相同时，例如：3和6，它们的最大公因数是3，最小公倍数是6，最小公倍数比最大公因数大。
所以，不同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。
故答案为：×
21．错误
【详解】8和15只有公约数1，所以8和15是互质数．
22．×
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，即12厘米；然后考虑哪两个数相加的和是12厘米，且这两个数都是质数，即可找出长方形的长与宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出这个长方形的面积，据此判断。
【详解】24÷2＝12（厘米）
12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5
其中7和5是质数，所以这个长方形的长是7厘米，宽是5厘米；
长方形的面积：7×5＝35（平方厘米）
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握质数的定义、长方形的周长、面积公式是解题的关键。
23．×
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，这一句是正确的；
但自然数1既不是质数也不是合数，所以第二句应说：非0自然数除以了1以外，不是质数就是合数。
原题说法错误。
故答案为：×
24．18
【分析】根据题意，求三人第一次在原出发地点相会是在出发后多少分钟，就是求3分钟、6分钟、9分钟的最小公倍数。
【详解】6＝2×3
9＝3×3
所以3、6、9的最小公倍数是：2×3×3＝18
【点睛】本题中相会的时间是几个小朋友分别用时的公倍数，“至少”又点明了是最小公倍数。
25．20厘米；12个
【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求80和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由此解答即可。
【详解】80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5
80和60的最大公因数是2×2×5＝20
即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。
（80×60）÷（20×20）
＝4800÷400
＝12（个）
答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。
26．12个
【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
（48÷12）×（36÷12）
＝4×3
＝12（个）
答：能分割12个相同的正方形。
【点睛】根据本题考查求最大公因数的方法：两个数的共有质因数的连乘积是最大公因数。
27．92人
【分析】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×50＝2500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×27＝2673（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3300元，超过了2673元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有132人。如果两个班级的人数都在50人以内，分别带团的总钱数是3684元，不是30的倍数，如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是27的倍数，显然3684不是27的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，132人应该付132×30＝3960（元），和总门票钱3684元对比，多了276元，也就是需要将276元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减3元，就是求276元里面有几个3元，用除法。则星星带的团有92人。
【详解】3300÷25＝132（人），
（132×30－3684）÷（30－27）
＝（3960－3684）÷3
＝276÷3
＝92（人）
答：星星带的团共有92人。
28．455立方厘米
【分析】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。
【详解】624＝2×2×2×2×3×13
长＞宽＞高
长是13厘米，
2×2×3＝12
12＝5＋7
宽为7厘米，高为5厘米，
13×7×5＝455（立方厘米）
答：这个长方体的体积是455立方厘米。
【点睛】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
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