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2024-2025 学年湖北省重点高中智学联盟高二下学期 5 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ln(2 ) ′(1) ，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 1 C. 12 D. 2
2.若 3 +3 11 = 11 ( ∈ )，则 5 =( )
A. 5 B. 20 C. 60 D. 120
3.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 2， 6 > 0， 7 < 0，则{ }的公差 的取值范围为( )
A. ( 2, 43 ) B. (
4
3 , 2) C. ( 2,
3
4 ) D. (
4
3 , 1)
4.咸宁马拉松活动中，将 5 名志愿者分配到 4 个服务点参加志愿工作，每人只去 1 个服务点，每个服务点
至少安排 1 人，则不同的安排方法共有( )
A. 60 种 B. 120 种 C. 240 种 D. 360 种
5.我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这 12 种动物按顺序轮流代表各年的
生肖年号.已知 2025 年是蛇年，那么(1111 + 2)年后是( )
A.羊年 B.马年 C.龙年 D.兔年
6.(2 + 1 2)
4展开式中 2项系数为( )
A. 32 B. 64 C. 96 D. 128
7 .已知数列{ +1 }满足 1 = 10， +1 = 2，则 的最小值为( )
A. 11 202 B. 3 C. 7 D. 4 2 + 1
8.已知曲线 = 2与 = 2 + 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围( )
A. ( 2, + ∞) B. [ 2, + ∞) C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.集合{ , , , , }的子集共有 32 个
B.若把英文“ ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 59 种
C. 3 封信投入 5 个信箱，不同方法数有35种
D. 6 个三好学生名额分给 3 个班，每个班至少一个名额，不同方法数有 10 种
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10.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算
法》.杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是( )
A.第 20 行中最大的数是第 11 个数
B.第 20 行中从左到右第 18 个数与第 19 个数之比为 6: 1
C.记第 20 行的第 个数为 ，则20 =1 2
1 = 320
D.第四斜行的数：1，4，10，20， ，，构成数列{ }，则数列{ }的前 项和为 4 +3
11.已知定义在 上的奇函数 ( )连续，函数 ( )的导函数为 ′( ).当 > 0 时， ′( )( + )
( )( ) > ′( )，其中 为自然对数的底数，则( )
A.当 < 0 时， ( ) > 0 B. ( )在 上有且只有 1 个零点
C. (1) > ( 1) D. ( )在 上为增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从 1，2， ，10 中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为 ．
13.欧拉函数 ( )( ∈ )的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如 = 9 时，
满足的为 1，2，4，5，7，8，则 (9) = 6.数列{ }满足 = (3 )，则{ }的前 项和 = ．
14 ( ) = + ln ( ) =
3
( ) = ( )+ ( )+| ( ) ( )|.已知函数 ， 9，设 2 .若 ( ) ≥ 在(0, + ∞)上恒成
立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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2025 年这个寒假，国产 助手 在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索“反映了其探索深
度学习的决心。在测试 时，如果输入问题没有语法错误 的回答被采纳的概率为 80%，当
出现语法错误时， 的回答被采纳的概率为 50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为 10%．
(1)求 的回答被采纳的概率;
(2)现已知 的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)讨论函数 = ( )的单调性;
(2)当 = 1 时，曲线 = ( )在点(1,1)处的切线与曲线 = 2 + (2 + 3) + 1( ≠ 0)只有一个公共点，
求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ ).
(1)求数列{ }的通项公式;
2, 为奇数,(2)若 = ，设数列{ }的前 项和为 ，求 2 ．
2 + 8, 为偶数,
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 1)( + 2)( + 3) ( + )，其中 为正整数．
(1)当 = 2 时，求 2( )在 上极值点;
′ (0)
(2)当 1 ≤ ≤ = 100 时，记数列 = ′ ，有限数列{ }是首项为 1，公差为 2 的等差数列.求数 (0) ′ (0)
列{ }的前 100 项和(化成最简形式)．
19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 1 +2，数列 = ( +1)2 +1．
(1)若 ( ) ≥ 0 在 ≥ 0 上恒成立，则实数 的取值范围;
(2)求数列{ }的前 项和 ;
(3)已知数列{ }满足： 1 = 1， +1 = (1 + ) ，证明： < ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 130
13.3 1
14.[ 1 , + ∞)
15.解：(1)记事件 : 中输入的语法无错误;事件 : 中输入的语法有错误;事件 :
的回答被采纳．
依题意： ( ) = 0.9， ( ) = 0.1， ( | ) = 0.8， ( | ) = 0.5，
所以 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.9 × 0.8 + 0.1 × 0.5 = 0.77；
(2) ( | ) = ( ) = ( ) ( | ) 0.9×0.8 72 ( ) ( ) ( | )+ ( ) ( | ) = 0.9×0.8+0.1×0.5 = 77．
16. (1) ( ) (0, + ∞) ′( ) = 1 = 1 解： 的定义域为 ， ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增;
当 > 0 1 1时，令 ′( ) > 0，得 ∈ (0, );令 ′( ) < 0，得 ∈ ( , + ∞)，
故 ( ) (0, 1 ) 1在 上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
综上，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增;
当 > 0 时， ( ) (0, 1在 )
1
上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
(2)由 ( ) = ln + ，可得 ′( ) = 1 + 1. ′(1) = 2．
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所以 ( ) = ln + 在点(1,1)处的切线为 1 = 2( 1)，即 = 2 1
因为切线 = 2 1 与曲线 = 2 + (2 + 3) + 1( ≠ 0)只有一个公共点，
= 2 1 1
所以由 2 = 2 + (2 + 3) + 1消去 得 + (2 + 1) + 2 = 0( ≠ 0)，由 = 0 得 = 2
1
综上，实数 的值为2 ;
17.解：(1)设等差数列 的首项为 1，公差为 ．
因为 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ )，
4 1 + 6 = 4(2 1 + ) = 2 所以 1 1 + (2 1) = 2[ 1 + ( 1) ] + 1
，化简得 = 1 + 1
，
所以 1 = 1， = 2，所以数列{ }的通项公式为 = 2 17
(2)由 = 2 1，
2 3, 为奇数,
得 =
4 + 6, 为偶数,
则 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 ) = [ 1 + 3 + + (4 5)] + [14 + 22 + +
(8 + 6)] = ( 1+4 5) + (14+8 +6) = 6 22 2 + 7
18.解：(1) 2( ) = ( + 1)( + 2) = 3 + 3 2 + 2 ，
令 2′( ) = 3 2 + 6 + 2 = 0
3
，解之得， = 1 ± 3
当 ∈ ( ∞, 1 33 )时， 2′( ) > 0， 2( )单调递增;
当 ∈ ( 1 33 , 1 +
3
3 )时， 2′( ) < 0， 2( )单调递减;
3
当 ∈ ( 1 + 3 , + ∞)时， 2′( ) > 0， 2( )单调递增;
故 2( )的极大值点为 1
3 3
3 ，极小值点为 1 + 3
(2) ′( ) = ′[( + 1)( + 2)( + 3) ( + )] + [( + 1)( + 2)( + 3) ( + )]′
故 ′(0) = (0 + 1)(0 + 2)(0 + 3) (0 + ) = !
= !则 !( )! = = 100，
又{ }是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故 = 2 1
则 = (2 1) 100，其中 1 ≤ ≤ 100
= 1 2 31 1 + 2 2 + 3 3 + + 100 100 = 1 100 + 3 100 + 5 100 + + 199 100100
则考虑 = 1 = 1 0100 + 1 1 + 3 2 + 5 3 100100 100 100 + + 199 100
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则 = 199 0100 + 197 1 2 3 100100 + 195 100 + 193 100 + + ( 1) 100
则 2 = 198 0100 + 198 1 2 3 100100 + 198 100 + 198 100 + + 198 100
2 = 198( 0 + 1 + 2 3 100 100100 100 100 + 100 + + 100) = 198 × 2
故 = 99 × 2100
故 = + 1001 1 2 2 + 3 3 + + 100 100 = + 1 = 99 × 2 + 1
19.解：(1) ( ) = 1， ′( ) = ，
① ≤ 1， ′( ) ≥ 0， ( )在 ∈ [0, + ∞)上单调递增， ( ) ≥ (0) = 0 恒成立；
② > 1， ′( ) = 0， = ln > 0，当 ∈ (0, ln )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ (ln , + ∞)时， ′( ) > 0 ( )单调递增，
( ) ≥ (ln ) = ln 1 ≥ 0， ( ) = ln 1， ′( ) = ln < 0， ( ) < (1) = 0 矛盾，
所以 ≤ 1；
(2) +2 1 1注意到： = ( +1)2 +1 = ·2 ( +1)·2 +1，
= 1 + 2 + 3 + +
1 1 1 1 1 1 1
= ( 1×21 2×22 ) + ( 2×22 3×23 ) + ( 3×23 4×24 ) + + ( ×2
1 1 1 1 1
( +1)×2 +1 ) = 1×21 ( +1)×2 +1 = 2 ( +1)·2 +1；
+2
(3)由(1) +2知， + 1 ≤ ，故 1 + ( +1)2 +1 ( +1)2 +1 ≤ ，
+2
+1 = 1 + +2 ≤ ( +1)2 +1 ( +1)2 +1 = ，

故 =
1 2 1 2 1 1
1
≤ = ， 2 1
1 1 1
即 ≤ 2
·2 < 2 = ．
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