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2024-2025学年广东省佛山市 H7联盟高一下学期 5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知四棱锥有 条棱， 个顶点，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.若向量 = ( 3, )， = (7, )，且 ⊥ ，则
A. 7 + 3 = 0 B. 7 3 = 0 C. = 21 D. = 21
3.已知△ 的内角 ， ， 2 5的对边分别为 ， ， ，且 sin = 3， = 6，则 sin =
A. 5 B. 49 9 C.
3
5 D.
2
5
4.方程 2 + 4 = 0 的复数根为( )
A. 1 15 1 152± 2 B. 2 ± 2 C. 1 ± 15 D. 1 ± 15
5.已知点 ( 1, 1)， (2, 2)， (0,1)，则向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为( )
A. 5 , 2 55 5 B. ( 5, 2 5) C.
1
5 ,
2
5 D. (1,2)
6 26 .已知 为第二象限角，且 sin = 26 ，则 tan + 4 =
A. 32 B.
3 2 2
2 C. 3 D. 3
7.如图，圆锥 的高 = 1，侧面积 = 2 3 ， ， 是底面圆 上的两个动点，则△ 面积的最大值为
A. 3 B. 2 C. 1 D. 12
8.已知函数 ( ) = 2cos( + ) > 0, | | < 2 的图象经过点 1, 2 ， 2, 2 ， 1 2 的最小值为2，
且 ( ) + + 7 12 = 0，则 =
A. 6 B. 6 C.

12 D. 12
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知复数 1， 2满足 2 1 + 2 = 4 + ， 1 2 = 5 4 ，则
A. 1 = 3 B. 2在复平面内对应的点位于第一象限
C. 2 6 的虚部为 3 D. 1 2的共轭复数为 3 + 11
10.已知长方体同一顶点的 3 条棱长度分别为 2，3，4，现从该长方体的 12 条面对角线及 4 条体对角线中
选出 3 条线段(不考虑原位置关系)构造三角形，则构成的三角形可能为
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
11.已知非零向量 ， 的夹角为 ，且| | = |2 | = 2，则下列结论正确的是
A.若| | = 3 7，则 cos = 8 B.若 / /
，则| | = 2
C. 的取值范围为 0, 6 D.
的最大值为 12
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 6. 5 =__________．
13.如图，用斜二测画法画出的水平放置△ 的直观图为△ ′ ′ ′，且 ′ ′ = 2 2， ′ ′ = 3，
则 =__________．
14 .如图，已知正方形 的边长为 2.圆弧 是以 为直径的半圆弧．当 为圆弧 的中点时， 与

的夹角为 ；当 为圆弧 上的动点时， 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在平行四边形 中，点 在直线 上，延长 与 相交于点 ，且 = = = 2， = 2 2.
以 为轴，平行四边形 的四条边旋转一周形成的面围成一个几何体．
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(1)写出这个几何体的结构特征；
(2)求该几何体的体积；
(3)求该几何体的表面积．
16.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , 3 )， = (cos , sin )，且 / / ．
(1)求 ；
(2)若 = 2， = 3，求 边上的中线 的长．
17.(本小题 15 分)
如图，在四边形 中，3 = 4 ， = 4 ，设 = ， = ．
(1)用 ， 表示 ， ；
(2) 若 与 相交于点 ， = 4， = 2，∠ = 3，求 cos∠ ．
18.(本小题 17 分)
将函数 ( ) = sin 16 图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)，再将得到的图象上所有的点

向左平移6个单位长度，得到函数 ( )的图象．
(1)求 ( )的解析式及单调递增区间；
(2) ( ) , 求 在 12 2 上的值域；
(3)求函数 ( ) = 3 ( ) ( ) 1 在[0,4 ]上的零点之和．
19.(本小题 17 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 5 2 + 5 2 = 6sin sin + 5 2 ．
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(1)求 cos ；
(2)若 = 2 5，求△ 面积的最大值；
(3)若△ 的垂心为 ( 在△ 的内部)，直线 与 交于点 ，且 = 3，当 + 最大时，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13. 35
14. 2；0
15.解：(1)如图，由题意得 2 + 2 = 2，则 ⊥ .
这个几何体的结构特征是一个上底半径为 2，下底半径为 4，高为 2 的圆台内挖去一个底面半径为 2，高为
2 的圆锥．
(2) 1该几何体的体积为3 × 2 × (2
2 + 42 + 2 × 4) 13 × 2
2 × 2 = 16 ．
(3)由题意得 = = 2 2.，
则该几何体的表面积为 × (22 + 2 × 2 2 + 4 × 2 2) + × (42 22) + × 2 × 2 2 = (16 + 16 2) ．
16.解：(1)由题意得 sin = 3 cosA.
由正弦定理得 sin sin = 3sin cosA.
因为 ∈ (0, )，所以 sin ≠ 0，则 sin = 3cos ，
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得 tan = 3，得 = 3；
(2) 1由题意得 = 2
+ 1 2 ，则 2
= + ，
2 2 2
两边平方得 4 = + 2 + ，
得 4 2 = 2 + 2 + 2 cos∠ = 4 + 9 + 2 × 2 × 3 × 12 = 19，
= 19得 2 ，
所以 19边上的中线 的长为 2 ．
17.解：(1) 3 3由题意得 = + = + = + 4 4 ，
= = 1 4 =
1
4 ．
(2)如图，以 为原点， 所在直线为 轴，过点 所作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．
(0,0)， (1, 3)， (4, 3)， (1,0)
则 = (4, 3)， = (0, 3)，

得 cos∠ = cos < ， >= = 3 57| || | 19× 3 = 19 ．
18.解：(1) 由题意得 ( ) = sin[2( + 6 ) 6 ] = sin(2 +

6 ).

由 2 + 2 ≤ 2 +
≤ 6 2 + 2 ( ∈ )，

得 3 + ≤ ≤ 6 + ( ∈ )，

所以 ( )的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ]( ∈ )．
(2) ∈ [ , 7 由 12 2 ]，得 2 + 6 ∈ [0, 6 ].
由正弦函数的图象可知 ( ) max = sin 2 = 1．
因为 sin0 = 0 > sin 7 = 16 2，所以 ( )
1
min = 2．
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( ) [ , 1故 在 12 2 ]上的值域为[ 2 , 1]．

(3) ( ) = 3sin( 6 ) sin(2 + ) 1 = 3sin( ) sin(2 + ) 1 6 6 3 2
= 3sin( 6 ) cos(2 3 ) 1
= 2sin2( 6 ) + 3sin(

6 ) 2 = [2sin(

6 ) 1][sin(

6 ) + 2]．
由 ( ) = 0，得 sin( 6 ) =
1
2，得
5
6 = 6 + 2 或 6 + 2 ( ∈ )．
即 = 3 + 2 或 + 2 ( ∈ )．
7
因为 ∈ [0,4 ]，所以 = 3或 或 3或 3 ．
故 ( )在[0,4 ] + + 7 + 3 = 20 上的零点之和为3 3 3 ．
19. 6解：(1)由正弦定理得 5 2 + 5 2 = 6 + 5 2，即 2 + 2 2 = 5 ．
2
由余弦定理得 cos = +
2 2 3．
2 = 5
(2)由 cos = 3 45，得 sin = 5．
由(1) 6可得 2 + 2 = 20 + 5 ≥ 2 ，得 ≤ 25，当且仅当 = = 5 时，等号成立，
所以 1△ = 2 sin =
2
5 ≤ 10．
故△ 面积的最大值为 10．
(3)如图，设∠ = (0 < < )．
在△ 中， = sin = 3sin ．
在△ 中，由∠ + ∠ = 2，得 sin∠ = sin(
3
2 ∠ ) = cos∠ = 5．
在△ 中，sin∠ = sin( 2 + ) = cos ，
sin∠ 5
由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，得 = sin∠ = 3 cos × 3 = 5cos ，
所以 + = 5cos + 3sin = 34( 3 534 sin + 34 cos ) = 34sin( + )，
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其中 sin = 5 34

，cos = 3 34 .当 + = 2时， + 取得最大值，34 34
此时 cos = sin = 5 34，34 = 5cos =
25 34．
34
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