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2024-2025学年山东省潍坊市高二下学期诊断性调研监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是和的等差中项，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量X~B(n,),若D(X)=2,则n=（）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
3.已知数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.己知函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
6.某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表：
愿意参加 不愿意参加 合计
男生
女生
合计
则的值为( )
附：，
A. B. C. D.
7.已知随机事件，，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式存在唯一的整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量的期望，则
B. 离散型随机变量的标准差越大，说明变量离散程度越小
C. 对应的正态曲线与轴围成图形的面积与参数，无关
D. 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大
10.已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 在是减函数
B. 在定义域上有两个极值点
C. 若，则函数有两个零点
D. 若在上的最大值为，则
11.设数列的前项和为，若满足：对任意的正整数，存在正整数，，使得，称数列是“数列”下列说法正确的是( )
A. 若，则为数列
B. 若，则为数列
C. 若，则为数列
D. 若，则存在两个数列，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列中，，，则 ．
13.若随机变量X~N(9,4),且P(x< a)=P(x>b-1),则a+b= .
14.已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作的切线，交轴于
在点处作的切线，交轴于
在点处作的切线，交轴于
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为 若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式
求的前项和．
16.本小题分
已知函数，曲线在处的切线斜率为．
求的值
求在区间上的最值．
17.本小题分
某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用小时其电量衰减情况，得到剩余电量库仑与使用时间小时的散点图，其中为正整数．
利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型给出判断即可，不必说明理由
在的条件下，
(ⅰ)求出剩余电量与使用时间的回归方程精确到
(ⅱ)当电池剩余电量低于库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用小时后，是否会报警提示，并说明理由．
参考数据：记．
参考公式：，．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若恒成立，求的取值范围
当时，证明：．
19.本小题分
某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡假设开始时有一个该微生物个体，称为第代，经过一次繁殖后产生第代，第代经过一次繁殖后产生第代，，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为和的概率均为，假设每个个体繁值过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数．
若，求的分布列和期望
证明：
定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且求．
参考公式：
参考答案
1.
2.C
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.19
14.
15.解：因为，，
所以，解得，，
所以的通项公式为
由知，，
所以，
所以的前项和为：
．
16.解：由，得，当时，，
根据题意，，解得．
，定义域为，求导得，令，解得，
，，，
比较得的最大值为，最小值为
17.解：由散点图的形状可知：更适宜作为回归模型．
对两边取自然对数得．
令，，，则．
因为，，，
所以．
因为，所以，，
因此剩余电量与使用时间的回归方程为．
(ⅱ)当时，，
因此该新型电池从满电状态使用小时后，会报警提示．
18.解：函数的定义域为，
，
当时，对于，，，所以，则在上单调递增；
当时，令，即，因为，所以，解得。
当时，，，，单调递增。
当时，，，，单调递减；
由可知，当时，在上单调递增，且时，，所以不恒成立。
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值，
要使恒成立，则，即，所以。
解不等式得，解不等式得。
综上，的取值范围是。
当时，证明，
当时，，要证，即证。
设，其定义域为。
可得。
因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增。
又，，
所以存在，使得，即，两边取对数可得。
当时，，单调递减当时，，单调递增。
所以在处取得最小值。
因为，所以，则。
所以，所以．
19.解：因为，而每一代都是：一个个体繁殖出个个体，另一个个体繁殖出个个体；
上一代的个个体都繁殖出个个体；上一代的个个体都繁殖出个个体，所以的可能取值为、、．
因为每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为和的概率均为，且每个个体繁值过程相互独立，
所以，，
因此的分布列为：
．
证明：因为，所以，因此由知：，
所以在的条件下，，以此类推，，所以结论成立．
因为，
所以设第代这个个体中有个个体繁殖出个个体，
则有个个体繁殖出个个体，
因此个个体．
因为每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为和的概率均为，且每个个体繁值过程相互独立，
所以，
因此
．
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