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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末真题汇编复习【2024新教材】
解答题典型必刷练50题（培优题）
（解析版）
同学你好，该份练习结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年江苏省各市近两年常考易错真题，典型常规题等重点题目！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合成绩中等及偏上的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）利用加减消法即可得解；
（2）先对第二个方程进行整理和变形，然后再利用加减消元法即可．
【完整解答】（1）解：，
由得：，
由得：，解得，
将代入①中得：，解得，
综上所述，方程组的解为．
（2）解：
由得：③，
由得：，解得，
将代入②中得：，解得，
综上所述，方程组的解为．
2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0
【思路引导】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可．
【完整解答】解：（1）
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得
该不等式组得解集为，
非正整数解为，0．
3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）解方程（组）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路引导】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
（1）先移项，再合并同类项，最后把的系数化为1即可；
（2）先方程两边同时乘以6去分母得到，然后再去括号、移项、合并同类项，最后把的系数化为1即可；
（3）利用代入消元法，由①得，把③代入②，解得，再把代入③，解得即可；
（4）利用加减消元法，得，得，再由，得到，进而代入解出，即可．
【完整解答】（1）解：
（2）解：
（3）解：
由①得，，
把③代入②，得，
解得，
把代入③，得，
故原方程的解为．
（4）解：
，得，
，得，
，得，解得：，
把代入②，得，
把代入④，得，
故原方程的解为．
4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；
公式②：
图1对应公式_________；图2对应公式_________．
【解决问题】
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
已知，求的值．
【能力拓展】
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
【答案】（1）②，①；（2）；（3）
【思路引导】本题考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是；
（2）先求出，得出，再根据即可得出答案；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，再得出求出，进而可得出答案．
【完整解答】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是，
故答案为：②；①；
（2），
，
，
．
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，
则根据题意，得，
，
，
．
5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】数轴见解析，
【思路引导】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可．
【完整解答】解：，
解不等式：
，
解不等式：
，
在数轴上表示为：
不等式组的解集为．
6．（24-25八年级上·湖北随州·期末）完全平方公式经过适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．
解：，，
，．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若，则_____；
(2)若，求的值；
(3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形计算，即可求解．
（2）根据，求出，，再根据完全平方公式的变形计算即可；
（3）设，根据完全平方公式的变形计算可得的面积．
【完整解答】（1）解：∵，
∴
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）设，
∴，，
∴，
∴；
∴，
∴．
7．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为改善人居环境，加快推进“四个城市”建设．某地对居民生活垃圾处理情况进行了调查，发现该地每天共需处理生活垃圾930吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位处理完．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理6吨生活垃圾，求每个A型点位和每个B型点位每天处理生活垃圾各多少吨？（请用二元一次方程组的知识解答）
【答案】每个A型点位和每个B型点位每天处理生活垃圾分别为45吨，39吨
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意，建立方程组是解题的关键．
设每个A型点位和每个B型点位每天处理生活垃圾分别为吨，根据“每天共需处理生活垃圾930吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位处理完和一个A型点位比一个B型点位每天多处理6吨生活垃圾”建立方程组求解．
【完整解答】解：设每个A型点位和每个B型点位每天处理生活垃圾分别为吨，
由题意得：，
解得：，
答：每个A型点位和每个B型点位每天处理生活垃圾分别为45吨，39吨．
8．（24-25八年级上·广西玉林·期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求值．
拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示）
【答案】问题呈现：； ．
数学思考：（1）的值为．
（2）的值为4052．拓展运用：．
【思路引导】本题考查了整式的混合运算--化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答；
数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；
拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【完整解答】解：图1：；图2：．
数学思考：
（1）∵，，
∴
，
∴的值为．
（2）设，，
∴．
∵，
∴．
．
∴的值为4052．
拓展运用：
设，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
．
9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）．
(1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）．
(2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？
【答案】(1)该住宅的面积
(2)购买地砖至少需要花费4500元
【思路引导】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键．
（1）根据图形列式计算即可；
（2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可．
【完整解答】（1）解： 即该住宅的面积；
（2）解：由图形可知，卫生间的面积为，
卫生间的地面面积为，
，
，
卧室1的面积为，
卧室2的面积为，
卧室以外的面积为，
（元）．
答：购买地砖至少需要花费4500元．
10．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式．
【解决问题】
（1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号）
①；②；③．
（2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式．
【创新设计】
（3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式．
【答案】（1）①②③；（2）；（3）图见解析，写出的关于的等式是：
【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可；
（2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案；
（3）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案．
【完整解答】解：（1）图2中，大正方形的边长，因此①正确；
图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确；
由拼图可知，，所以，即，因此③正确；
故答案为：①②③；
（2），理由如下：
图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为，
因此有，即；
（3）画图：如图所示（画图不唯一），
根据拼图，可得关于，的等式是：．
11．（24-25八年级上·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则 ；
②若，则 ．
(3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【思路引导】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解；
本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为．
12．（24-25八年级上·河北沧州·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求的最小值．
解：原式
，，
当时，原式取得最小值是1，
请你仿照以上方法求出的最小值．
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知的三边，，满足，求的周长．
【答案】（1）；（2）12
【思路引导】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．
（1）利用配方法得出最小值即可；
（2）利用非负数的性质得出、、的值，进一步求得周长即可．
【完整解答】解：（1）
，
当时，原式取得最小值是．
（2），
，
，，，
，．，
的周长．
13．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析，，
(2)画图见解析，点
(3)
【思路引导】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，平移作图，数形结合是解题的关键．
（1）由题意可得：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，并写出点，的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（3）利用割补法求解即可．
【完整解答】（1）解：如图所示，即为所求，，；
（2）如图所示，即为所求，点；
（3）．
14．（24-25八年级上·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算．
(1)已知，求的值；
(2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值．
【答案】(1)1
(2)45
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的应用；
（1）原式利用完全平方公式变形，然后根据非负数的性质求出x，y的值即可；
（2）根据完全平方公式确定出常数项，然后得出a、m、n、k的值，再进一步计算即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（2）由题意得：，
∴，，，，
∴．
15．（24-25七年级上·云南临沧·期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动：
甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球；
乙商店：所有商品一律打八折．
某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）．
(1)若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？
(2)若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用．
【答案】(1)该学校购买了10盒乒乓球
(2)去乙商店购买划算，更省钱方案的费用为1176元
【思路引导】本题考查了一元一次方程得应用及求代数式的值，正确找出等量关系列方程是解题的关键，
（1）根据两家商店购买所需商品的费用一样列方程求解即可；
（2）分别求出甲、乙两个商店购买费用可求得哪个商店更划算，根据在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球得到更省钱的方案。
【完整解答】（1）解：由题意得，在甲商店购买的费用为（元）；
在乙商店购买的费用为（元）.
∵费用一样，
∴，
解得，.
∴该学校购买了10盒乒乓球.
（2）解：由（1）可得，全部在甲商店购买，费用为：（元）；
全部在乙商店购买，费用为：（元）；
∵，
∴去乙商店购买划算.
更省钱方案：在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球.费用如下：（元）.
∴更省钱方案的费用为1176元.
16．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值
【答案】(1)
(2)1
【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，求解代数式的值；
（1）把方程组中不含、的两个方程联立，再解方程组求解即可；
（2）把（1）中方程的解代入含、的两个方程组成方程组求解的值，再计算即可．
【完整解答】（1）解：把方程组中不含、的两个方程联立得，
，
①②得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为，
（2）解：把方程组中含、的两个方程联立得，
，
把代入得，，
③+④得，，
∴，
∴．
17．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值．
【答案】
【思路引导】本题考查二元一次方程组错解复原问题，熟练掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．将解代入没有抄错的方程，得到关于的二元一次方程组，再进行求解即可．
【完整解答】解：将代入方程，将代入方程，
可得，解得．
18．（24-25八年级上·福建漳州·期末）【问题提出】
当多项式是某一个多项式的平方时，实数a，b
【问题探究】
当，，时，，发现：；
当，，时，，发现：；
…
【问题解决】
（1）当时，猜想a，b，c之间的数量关系；
【拓展运用】
（2）若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式；
（3）若多项式是某一个多项式的平方，求出n的值
【答案】（1），见解析；（2）、或；（3）3
【思路引导】本题考查规律探索问题，完全平方公式，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
（1）由题干中的例子总结规律，然后进行证明即可；
（2）由题意，分单项式的次数为1或单项式的次数为4两种情况分类讨论，再根据得到的规律求得对应的单项式即可；
（3）根据总结的规律列得方程，解方程即可．
【完整解答】解：（1）a，b，c之间的关系为，证明如下：
∵，
∴，，，
∴，，
∴；
（2）分以下两种情况：
①当单项式的次数为1时，此时，，
则，
解得：或，
此时单项式为或；
②当单项式的次数为4时，此时，，
则，
解得：，
此时单项式为；
综上所述，满足条件的单项式有、或；
（3）已知多项式是某一个多项式的平方，
则，，，
那么，
解得：．
19．（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践
从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．
(1)上述操作可以得到一个公式：__________；
(2)利用你得到的公式，计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【思路引导】（）求出图、阴影部分面积即可求解；
（）利用（）中公式即可求解；
（）利用（）中公式即可求解；
本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键．
【完整解答】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为，
则述操作可以得到一个公式：，
故答案为：；
（2）解：由（）得：
；
（3）解：原式
．
20．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴
∴，
即，
得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，
试确定的取值范围；
试确定的取值范围
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值．
【答案】(1)(1)；
(2)
【思路引导】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键．
（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；
由得，进而求得，即，即可求得的取值范围；
（）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解；
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，
即，
∴，
∴的取值范围是；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的取值范围是，
∴，
解得：．
21．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有．
【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③
（1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ；
【解决问题】
（2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值；
【拓展应用】
（3）已知，为实数，，求的值．
【答案】（1）
（2），
（3）2
【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用代数式表示图③中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可；
（2）根据等式的性质将的两边都除以即可得到的值；再根据代入计算即可；
（3）设，，则，，由题意可得，，由代入计算即可．
【完整解答】解：（1）图③中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个空白的小长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2），，两边都除以得，
，
；
（3）设，，则，，
，，
．
22．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）解方程组：
（2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务.
解方程组 解：①，得，③ 第一步 ②，得，④ 第二步 ④③，得， 第三步 解得， 第四步 将代入②，得 第五步 所以，原方程组的解为 第六步
任务：
①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________；
②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________；
③直接写出该方程组的正确解：_____________.
【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等；②三；方程④③时，的结果算成了“”；③．
【思路引导】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题的关键．
（1）根据加减消元法进行计算即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；
②观察计算步骤找到问题即可；
③根据加减消元法进行计算即可．
【完整解答】解：（1），
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等；
②三；方程④③时，的结果算成了“”；
③，
解：①，得，③，
②，得，④，
④③，得，
解得，，
将代入②，得，
所以，原方程组的解为；
23．（21-22七年级下·四川成都·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
(1)若是一个完全平方式，求常数k的值：
(2)若，且，求的值：
(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)10
(3)128
【思路引导】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出；
（2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出；
（3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可．
【完整解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是完全平方式，
∴，
∴；
（2）∵
∴，
去括号得：，
合并同类项得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
【考点评析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．
24．（24-25七年级上·山东济南·期末）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）；
①
②
③
④
(2)若关于，的代数式为对称式，则的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
【答案】(1)①②④
(2)
(3)
【思路引导】本题是新定义问题，主要考查的是整式的运算和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据对称式的含义即可做出判断；
（2）根据对称式的含义即可求解；
（3）由（2）可得，再根据，通过，即可求解得到的值；
【完整解答】（1）解：①，
∵，
∴是对称式；
②，
∵，
∴是对称式；
③，
∵，
∴不是对称式；
④，
∵，
∴是对称式；
综上所述：对称式有①②④，
故答案为：①②④；
（2）解：∵是对称式，
∴，，
即，
解得：，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，即可化简为：，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：；
25．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
(2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该4S店共有几种购进方案？
(3)若该4S店销售1辆型汽车可获利0.7万元，销售1辆型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)汽车进价为万元，汽车进价为万元
(2)方案一：购买汽车辆，汽车辆；方案二：购买汽车辆，汽车辆；方案三：购买汽车辆，汽车辆；
(3)购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系是解题的关键．
（1）设汽车进价为万元，汽车进价为万元，列二元一次方程，即可解答；
（2）设购买汽车辆，汽车辆，则可得，根据都为正整数即可解答；
（3）根据题意算出每种方案利润比较即可．
【完整解答】（1）解：设汽车进价为万元，汽车进价为万元，
根据题意可得，
解得，
答：汽车进价为万元，汽车进价为万元；
（2）解：设购买汽车辆，汽车辆，
则可得，
整理可得，
为正整数，
，且为的倍数，
或或，
则或或，
方案一：购买汽车辆，汽车辆；
方案二：购买汽车辆，汽车辆；
方案三：购买汽车辆，汽车辆；
（3）解：方案一：购买汽车辆，汽车辆，
此时利润为万元；
方案二：购买汽车辆，汽车辆；
此时利润为万元；
方案三：购买汽车辆，汽车辆；
此时利润为万元，
故选择方案三：购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元．
26．（16-17七年级下·重庆·阶段练习）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，
．
又，
．
．
又，
．　①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是 ；
(2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法、理解阅读材料是解题的关键．
（1）仿照阅读材料求出的取值范围；
（2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出的取值范围．
【完整解答】（1）解：，
．
又，
．
．
又，
．　①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：解方程组得，，
，
，
，，
，，
解得，，
则，
．
27．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算：
(1)已知，试用含m，n的代数式表示；
(2)已知，试用含m，n的代数式表示；
(3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键．
（1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可；
（2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解；
（3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解．
【完整解答】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴
．
28．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图1，直线与交于点O，且；
(1)若点B在点O的正东方向上，点D在点O的北偏东方向上，则点C在点O的 方向上；
(2)判断与的数量关系并说明理由；
(3)如图2，是的平分线，设（）．
①求的度数（用含的代数式表示）；
②直线由如图2位置开始，绕O点以每的速度顺时针旋转t秒（旋转角度始终小于），请你直接写出的度数（用含、t的代数式表示）．
【答案】(1)南偏西
(2)，理由见解析
(3)①②或或
【思路引导】本题主要考查了列代数式，正确理解对顶角以及角平分线的定义是本题解题的关键．
（1）根据方向角的对称性质求解即可；
（2）根据对顶角相等以及角的和差求解即可；
（3）①由（2）可得，再根据平角的定义求解，再根据角平分线的定义求即可；
②用表示出，分情况讨论，当时，代入①所得代数式即可，当时，重新求解的代数式，根据①中和的关系求解即可，当旋转角大于等于时，先求出，从而得到，再根据角平分线的定义求解即可．
【完整解答】（1）解：点D在点O的北偏东方向上，
在点的南偏西方向上；
故答案为∶南偏西；
（2）解：，理由如下：
∵直线与交于点，且，
∵，
∴
；
（3）解：①由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴
；
∵是的平分线，
∴
；
②当点在直线下方时，
当点在直线上时，
当点在直线上方时，
理由：∵，
∴，
∴；
设旋转后得到，则是的平分线，
1．如图1，当点在下方，
则
∵是的平分线
∴
2．当点在上时，
∵是的平分线
∴；
3．如图2，当点在上方时，
则
∵是的平分线
∴
综上所述，或或．
29．（24-25八年级上·河南焦作·期末）数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：．
(1)由图2可以得到：_______．
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查多项式乘法与几何图形的面积：
（1）根据面积公式和分割法两种方法表示出大正方形的面积，即可得出等式；
（2）利用（1）中结论变形求值即可．
【完整解答】（1）解：由图可知，大正方形的面积为：；
故答案为：．
（2）由（1）可知：，
∵，，
∴，
∴．
30．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．
请应用上述公式完成下列各题：
(1)已知，，求的值；
(2)计算：．
【答案】(1)3
(2)5050
【思路引导】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键
（1）利用平方差公式得出，代入求值即可；
（2）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值．
【完整解答】（1）解：由，得．
，，
．
（2）解：
．
31．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得．①
去括号，得．②
移项，得．③
合并同类项，得．④
两边都除以，得．⑤
【答案】①，过程见解析
【思路引导】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可．
【完整解答】解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
32．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的关系式为：
图1：______；
图2：______；
图3：______．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若，，则______；
②若，，则______；
（2）若，，则求
拓展延伸：
如图4，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为6，，求正方形的边长．
【答案】问题呈现：图1：图2：图3：
（1）①13②4（2）或
拓展延伸：正方形的边长为4
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键，
问题呈现：用代数式表示各个图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；
（1）①利用代入计算即可；②利用代入计算即可；
（2）利用代入法进行计算即可；
拓展延伸：由题意得到，，进而求出结果即可．
【完整解答】解：问题呈现：
图1中大正方形的边长为，
∴面积为(，两个正方形的面积分别为，两个长方形的面积为，
∴，
故答案为：；
图2中大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，
∴，即，
故答案为：；
图3中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∴中间正方形的边长为，
∴面积为(，4个空白长方形的面积为，
∴，
故答案为：；
（1）解：①，，
，
故答案为：；
②，，
，即，
，
故答案为：；
（2）解：，即，
，解得或，
当时，，
当时，，
或，
拓展延伸：设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，
即，，
解得或(舍去)，即正方形的边长为4．
33．（24-25八年级上·福建福州·期末）将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题．
例如：，，求的值．
解：因为，，所以，，
所以，得
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)若，求的值；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACED和正方形BCFG，若，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)74；
(2)；
(3)
【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算-化简求值，掌握完全平方公式的结构特征，整式的混合运算-化简求值的方法是关键．
（1）根据完全平方公式计算；
（2）设，，得到，，根据完全平方公式计算；
（3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，得到，，根据完全平方公式求出ab，再根据三角形面积公式计算即可．
【完整解答】（1）解：，，
，，
，得，
故答案为：74；
（2）解：设，，
则，，
，
即；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
则，，
，即，
解得：，
34．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步
解决下列问题：
(1)上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法；
(2)小星同学第______步开始出现错误；
(3)求该方程组的正确解．
【答案】(1)加减消元
(2)二
(3)
【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
（1）根据加减消元法的定义“当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法”即可得；
（2）根据即可得；
（3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【完整解答】（1）解：上述这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，
故答案为：加减消元．
（2）解：小星同学第二步开始出现错误，即计算时出现错误，
故答案为：二．
（3）解：，
，得③，
，得，
解得：，
将代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解为．
35．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
(2)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决问题：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16
【思路引导】本题考查了矩形的拼图，正方形的性质和判定，分割法求图形的面积，公式的应用，熟练掌握图形的性质和特点，明确两幅图中空白区域面积的计算方法及它们面积相等是解题的关键.
（1）图2的阴影部分的正方形的边长等于小长方形长减去宽；
（2）图2大正方形边长为，面积为，阴影小正方形的边长为，面积， 4个长方形的面积和为，大正方形面积等于小正方形面积加4个小长方形面积；
（3）根据（2）中结论有，把代入计算即得．
【完整解答】（1）解：图2的阴影部分的正方形的边长；
故答案为：；
（2）解：∵图2整体上是边长为的正方形，
∴面积为，
∵中间阴影小正方形的边长为，
∴面积，
∵空白4个长方形的面积和为，
∴有；
（3）解：∵，
∴，
即，
∴．
36．（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践
【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为；
【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形；
步骤：沿虚线用剪刀剪开；
步骤：按如图所示拼成一个大正方形．
【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）；
观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ；
【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积．
【答案】（）；；
（）．
【思路引导】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
（）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长；
根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系；
（）设，，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积．
【完整解答】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：，
故答案为：；
∵图2中大正方形的边长为：，
∴图中大正方形的面积为：，
∵图中阴影部分正方形的边长为：，
∴图中阴影部分正方形的面积为：，
由拼图可知：，
故答案为：；
（）设，，
∵，
∴，
∵和是等腰直角三角形，且，
∴，，
∵，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
∴．
37．（24-25八年级上·福建泉州·期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
【答案】（1）4；；（2）；（3）
【思路引导】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键．
（1）①根据已知条件即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案；
（2）当时，，当时，，进而得出答案；
（3）先找到规律，再变形，进而得出答案．
【完整解答】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4；
②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数之和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
，
则展开式中所有项的系数和为．
故答案为：4；
（2） ，
当时，，
当时，，
．
（3）由题意可得：，，，
，
，
．
38．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们已经学方差公式，下面我们来推导一个更一般的公式——等幂差公式，并应用等幂差公式解决问题．
等幂差公式的推导：
我们从简单的情况开始思考，对于，可以这样构造：
先让加上，，式子的值不变，即，
然后进行分组可得：，
进一步提取公因式：，
最后得到：．
按照这样的思路，对于（且n为正整数），可以类似的构造：
令，
分组可得：，
提取公因式：，
所以，这就是等幂差公式．
解决问题：
(1)因式分解：；
(2)若，，求的值；
(3)将一个小球从10米高的地方用力扔下，小球每次落地后会反弹起来，而且每次反弹的高度是前一次下落高度的．现在请你计算，从开始下落到第10次小球着地，这个小球总共经过的路程是多少米？（结果精确到个位，已知，，，）
【答案】(1)
(2)144
(3)49米
【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用、近似数和有效数字及多项式乘多项式，熟知多项式乘多项式法则及正确表示出小球经过的总路程是解题的关键．
（1）根据题中所给方法进行因式分解即可；
（2）根据题意可得出，再用替换y得出，再结合整体思想即可；
（3）根据题意，表示出小球经过的总路程，再对其进行计算即可．
【完整解答】（1）解：因为，
则令得，
；
（2）解：因为，
则用替换y得，，
因为，，
所以；
（3）解：从开始下落到第10次小球着地，
小球总共经过的路程是：
，
令，
则，
两式相减得，，
,
又因为，，
所以，
所以小球总共经过的路程是：（米）．
39．（24-25七年级上·云南昆明·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，如图，M，N分别在边，，点A落在点F处；将沿折叠，均是折痕．
(1)如图1，若，；求的度数
(2)如图2，若点E，F，G在同一直线上；求的度数
(3)如图3，若射线在的内部，图中的3个角：，和，其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“幸运线”．设，射线是的“幸运线”，求的度数（用含x的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数是或或
【思路引导】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的定义、角的和差等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠可得到，，进而利用平角的定义求解即可；
（2）由折叠易知，，进而推出即可；
（3）由“幸运线”定义分类讨论，分别计算求解即可．
【完整解答】（1）解：由折叠可得，，，
∴，，
∴；
（2）解： 由折叠可得，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∴；
（3）解：依题意：①当 时，如图，
∴；
②当时，如图，
∴
，
∴，
③当 时，如图，
∴
，
∴；
∴综上所述： 的度数是或或．
40．（24-25八年级上·广东广州·期末）【阅读材料】若满足，求的值．
解：设，．则，．
．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若满足，则的值为 　　．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
（1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答．
【完整解答】解：（1）设，，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）设，，
，
，
，
，
，
的值为2.5；
（3）正方形的边长为，，，
，，
设，，
，
长方形的面积是24，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
41．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决）
【答案】大和尚有人，小和尚有人
【思路引导】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键；
根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程组解答即可．
【完整解答】（方法一）
解：设大和尚有人，小和尚有人，
根据题意得：，
解这个方程组，得．
答：大和尚有人，小和尚有人．
（方法二）设大和尚有人，
根据题意得：
解得；
；
答：大和尚有人，小和尚有人；
42．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
【答案】个客人，个盘子
【思路引导】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键．
【完整解答】解：设有个客人，个盘子．
根据题意，得 ，
解得 ，
答∶有个客人，个盘子．
43．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”．
(1)若点，则点的坐标为______；
(2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______．
(3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，，
(3)点的坐标为
【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，点的坐标变化规律，熟练掌握平移后点的坐标变化规律是解题的关键．
（1）根据“关联点”的定义进行计算即可．
（2）令点的坐标为，再根据“关联点”的定义建立关于，的方程进行计算即可；先用，表示出的坐标，再结合点在轴上，得出其横坐标为即可解决问题．
（3）令点的坐标为，再用，表示出点的坐标，再表示出点向右平移个单位后的坐标，最后根据此点与重合，建立关于，的等式即可解决问题．
【完整解答】（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为，
且，，
所以点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：令点的坐标为，
根据题意可得，
解得，
所以点的坐标为．
由点坐标为可知，
点的坐标为．
因为点在轴上，
所以，
即，的关系式为．
故答案为：，，．
（3）解：令点的坐标为，
则点的坐标为，
将点向右平移个单位后，所得点的坐标为，
因为此点与重合，
所以，
解得，
所以点的坐标为．
44．（24-25八年级上·山东日照·期末）在第14章《整式的乘法与因式分解》中我们学习了这样两个公式：

聪明的小红同学发现，以上两个公式可以灵活变形应用，请阅读下列材料，
若满足，求的值．
设，则，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，则________（直接写出答案）；
(2)若满足，求的值；
(3)已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边作正方形．
①___________，___________；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)12
(2)
(3)①； ②28
【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）设，则，再把变形为，再整体代入计算即可；
（2）方法同（1）；
（3）①根据题意列出代数式即可；
②根据题意得阴影部分的面积，设，则，同理可得，从而可得结论．
【完整解答】（1）解：设，则，
所以；
故答案为：12；
（2）解：设，则，
所以．
（3）解：①，
故答案为：；
②长方形的面积是48
，
阴影部分的面积．
设，则，
，
，
又，
，
．
即阴影部分的面积是28．
45．（24-25八年级上·广东云浮·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．如图1，甲卡片是边长为（）的正方形，乙卡片是宽为1、长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形．小河分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3所示，其面积分别为，．
(1)请用含a的式子分别表示，______，______．（结果需化简）
(2)比较与的大小，并说明理由．
(3)现有一正方形，其周长与图2中的长方形周长相等．试探究：该正方形的面积S与图2中长方形的面积的差是否是一个常数？
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
(3)该正方形的面积与图2中长方形的面积的差是一个常数．
【思路引导】本题考查整式的运算，完全平方公式，掌握数形结合的思想，是解题的关键：
（1）利用分割法表示出即可；
（2）作差法比较大小即可；
（3）根据题意，先求出正方形的边长，再求出面积，作差后进行判断即可．
【完整解答】（1）解：由图可知，甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为1，
∴，．
故答案为：；
（2）∵．
理由：．
∵，
∴，
∴．
（3）图2中长方形的周长为．
∵正方形的周长与图2中长方形的周长相等，
∴正方形的周长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积．
∵，
∴该正方形的面积与图2中长方形的面积的差是一个常数．
46．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元．
(1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元．
(2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案．
【答案】(1)平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元．
(2)购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个．
【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式组．
设每本纪念册元，每件纪念品元，根据订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元，列方程组求解即可；
设订购了本纪念册，份校庆纪念品，根据订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据为整数求解即可．
【完整解答】（1）解：设每本纪念册元，每件纪念品元，
根据题意可得：。
整理得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解为，
答：平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元；
（2）解：设订购了本纪念册，份校庆纪念品，
根据题意可得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
又为整数，
或或，
当时，，
当时，，
当时，，
订购方案有：
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个．
47．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）．
(1)求每辆，车型各有多少个座位？
(2)要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？
【答案】(1)每辆型车有个座位，每辆型车有个座位
(2)有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．
（1）设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，根据“若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租辆型车，辆型车，根据租用的两种客车的总载客量是人，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为非负整数，即可得出结论．
【完整解答】（1）解：设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，
根据题意得：，
解得：，
答：每辆型车有个座位，每辆型车有个座位；
（2）解：设租辆型车，辆型车，
根据题意得：，
∴，
又∵，为非负整数，
∴或或，
∴有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车．
48．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表：
包装 包装
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？
(2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动：
方案一：打“九折”销售；
方案二：总价“满元减元”，
请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由．
【答案】(1)该特产品店购进包装的苹果50件，包装的苹果件
(2)王先生选择方案二购买更优惠，理由见解析
【思路引导】（）设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，根据题意列出方程组即可求解；
（）求出产品销售活动前购买所需费用，再分别求出销售活动后两种方案购买所需费用，比较即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【完整解答】（1）解：设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，
根据题意得，，
解得，
答：该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件；
（2）解：王先生选择方案二买更优惠，理由如下：
（元），
选择方案一购买所需费用为（元），
选择方案二购买所需费用为（元），
，
王先生选择方案二购买更优惠．
49．（24-25七年级上·广东梅州·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处．
(1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数；
(2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数；
(3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
（1）由折叠的性质得到，，根据，，即可求解；
（2）由折叠的性质得到，，根据，，，根据即可求解；
（3）由折叠的性质得到，，由，可得，根据，即可求解．
【完整解答】（1）解：由折叠的性质，得到，，
，
；
（2）由折叠的性质，得到，，
，，
，，
；
（3），
，
由折叠的性质，得到，，
，
的度数为．2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末真题汇编复习【2024新教材】
解答题典型必刷练50题（培优题）
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1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组：
(1) (2)
2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
解不等式组：，并求它的非正整数解．
3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）解方程（组）：
(1)； (2)；
； (4)．
4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；
公式②：
图1对应公式_________；图2对应公式_________．
【解决问题】
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
已知，求的值．
【能力拓展】
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
6．（24-25八年级上·湖北随州·期末）完全平方公式经过适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值．
解：，，
，．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若，则_____；
(2)若，求的值；
(3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和为，求的面积．
7．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为改善人居环境，加快推进“四个城市”建设．某地对居民生活垃圾处理情况进行了调查，发现该地每天共需处理生活垃圾930吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位处理完．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理6吨生活垃圾，求每个A型点位和每个B型点位每天处理生活垃圾各多少吨？（请用二元一次方程组的知识解答）
8．（24-25八年级上·广西玉林·期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求值．
拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示）
9．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）．
(1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）．
(2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？
10．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式．
【解决问题】
（1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号）
①；②；③．
（2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式．
【创新设计】
如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式．
11．（24-25八年级上·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则 ；
②若，则 ．
(3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
12．（24-25八年级上·河北沧州·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求的最小值．
解：原式
，，
当时，原式取得最小值是1，
请你仿照以上方法求出的最小值．
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知的三边，，满足，求的周长．
13．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
14．（24-25八年级上·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算．
(1)已知，求的值；
(2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值．
15．（24-25七年级上·云南临沧·期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动：
甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球；
乙商店：所有商品一律打八折．
某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）．
(1)若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？
(2)若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用．
16．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值
17．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值．
18．（24-25八年级上·福建漳州·期末）【问题提出】
当多项式是某一个多项式的平方时，实数a，b
【问题探究】
当，，时，，发现：；
当，，时，，发现：；
…
【问题解决】
（1）当时，猜想a，b，c之间的数量关系；
【拓展运用】
（2）若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式；
（3）若多项式是某一个多项式的平方，求出n的值
19．（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践
从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．
(1)上述操作可以得到一个公式：__________；
(2)利用你得到的公式，计算：；
(3)计算：．
20．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴
∴，
即，
得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，
试确定的取值范围；
试确定的取值范围
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值．
21．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有．
【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③
（1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ；
【解决问题】
（2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值；
【拓展应用】
（3）已知，为实数，，求的值．
22．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）解方程组：
（2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务.
解方程组 解：①，得，③ 第一步 ②，得，④ 第二步 ④③，得， 第三步 解得， 第四步 将代入②，得 第五步 所以，原方程组的解为 第六步
任务：
①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________；
②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________；
③直接写出该方程组的正确解：_____________.
23．（21-22七年级下·四川成都·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
(1)若是一个完全平方式，求常数k的值：
(2)若，且，求的值：
(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积．
24．（24-25七年级上·山东济南·期末）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）；
①②③④
(2)若关于，的代数式为对称式，则的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
25．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
(2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该4S店共有几种购进方案？
(3)若该4S店销售1辆型汽车可获利0.7万元，销售1辆型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
26．（16-17七年级下·重庆·阶段练习）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，
．
又，
．
．
又，
．　①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是 ；
(2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
27．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算：
(1)已知，试用含m，n的代数式表示；
(2)已知，试用含m，n的代数式表示；
(3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来．
28．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图1，直线与交于点O，且；
(1)若点B在点O的正东方向上，点D在点O的北偏东方向上，则点C在点O的 方向上；
(2)判断与的数量关系并说明理由；
(3)如图2，是的平分线，设（）．
①求的度数（用含的代数式表示）；
②直线由如图2位置开始，绕O点以每的速度顺时针旋转t秒（旋转角度始终小于），请你直接写出的度数（用含、t的代数式表示）．
29．（24-25八年级上·河南焦作·期末）数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：．
(1)由图2可以得到：_______．
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值．
30．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．
请应用上述公式完成下列各题：
(1)已知，，求的值；
(2)计算：．
31．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得．①
去括号，得．②
移项，得．③
合并同类项，得．④
两边都除以，得．⑤
32．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的关系式为：
图1：______；
图2：______；
图3：______．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若，，则______；
②若，，则______；
（2）若，，则求
拓展延伸：
如图4，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为6，，求正方形的边长．
33．（24-25八年级上·福建福州·期末）将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题．
例如：，，求的值．
解：因为，，所以，，
所以，得
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)若，求的值；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACED和正方形BCFG，若，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积．
34．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步
解决下列问题：
(1)上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法；
(2)小星同学第______步开始出现错误；
(3)求该方程组的正确解．
35．（24-25八年级上·广东汕头·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
(2)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决问题：若，求的值．
36．（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践
【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为；
【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形；
步骤：沿虚线用剪刀剪开；
步骤：按如图所示拼成一个大正方形．
【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）；
观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ；
【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积．
37．（24-25八年级上·福建泉州·期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求的值．
【拓展应用】
“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
38．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们已经学方差公式，下面我们来推导一个更一般的公式——等幂差公式，并应用等幂差公式解决问题．
等幂差公式的推导：
我们从简单的情况开始思考，对于，可以这样构造：
先让加上，，式子的值不变，即，
然后进行分组可得：，
进一步提取公因式：，
最后得到：．
按照这样的思路，对于（且n为正整数），可以类似的构造：
令，
分组可得：，
提取公因式：，
所以，这就是等幂差公式．
解决问题：
(1)因式分解：；
(2)若，，求的值；
(3)将一个小球从10米高的地方用力扔下，小球每次落地后会反弹起来，而且每次反弹的高度是前一次下落高度的．现在请你计算，从开始下落到第10次小球着地，这个小球总共经过的路程是多少米？（结果精确到个位，已知，，，）
39．（24-25七年级上·云南昆明·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，如图，M，N分别在边，，点A落在点F处；将沿折叠，均是折痕．
(1)如图1，若，；求的度数
(2)如图2，若点E，F，G在同一直线上；求的度数
(3)如图3，若射线在的内部，图中的3个角：，和，其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“幸运线”．设，射线是的“幸运线”，求的度数（用含x的代数式表示）．
40．（24-25八年级上·广东广州·期末）【阅读材料】若满足，求的值．
解：设，．则，．
．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若满足，则的值为 　　．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
（24-25八年级上·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决）
42．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
43．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”．
(1)若点，则点的坐标为______；
(2)若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______．
(3)若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标．
44．（24-25八年级上·山东日照·期末）在第14章《整式的乘法与因式分解》中我们学习了这样两个公式：

聪明的小红同学发现，以上两个公式可以灵活变形应用，请阅读下列材料，
若满足，求的值．
设，则，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，则________（直接写出答案）；
(2)若满足，求的值；
(3)已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边作正方形．
①___________，___________；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
45．（24-25八年级上·广东云浮·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．如图1，甲卡片是边长为（）的正方形，乙卡片是宽为1、长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形．小河分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3所示，其面积分别为，．
(1)请用含a的式子分别表示，______，______．（结果需化简）
(2)比较与的大小，并说明理由．
(3)现有一正方形，其周长与图2中的长方形周长相等．试探究：该正方形的面积S与图2中长方形的面积的差是否是一个常数？
46．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元．
(1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元．
(2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案．
47．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）．
(1)求每辆，车型各有多少个座位？
(2)要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？
48．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表：
包装 包装
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？
(2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动：
方案一：打“九折”销售；
方案二：总价“满元减元”，
请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由．
49．（24-25七年级上·广东梅州·期末）点，分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点落在点处，点落在点处．
(1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数；
(2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数；
(3)如图3，当点，落在的内部且点在外部时，若，求的度数（用含的代数式表示）．

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