资源简介

期末专项培优 实践与探究
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 晋安区期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段AB上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即PA＝2PB或PB＝2PA，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数﹣2的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（　　）
A．2 B．1 C．2或 D．或1
2．（2024秋 源城区期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　）
A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2
C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2
3．（2024秋 花山区校级期末）如图是2025年1月份的日历表，用一个十字架框5个数，则这5个数的和可能是（　　）
A．24 B．30 C．55 D．75
4．（2024秋 谯城区期末）如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为50cm，则大长方形的面积是（　　）
A．90cm2 B．100cm2 C．120cm2 D．150cm2
5．（2024秋 兴宁市期末）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（　　）
A．5道 B．6道 C．7道 D．8道
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 阜宁县期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要　 　天．
7．（2024秋 蜀山区期末）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业，某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 5 8
B 2 6
已知农作物种植人员共26位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共50万元，问A种农作物的种植面积为 　 　公顷．
8．（2024秋 宁夏期末）一根内径为3cm的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了　 　cm．
9．（2024秋 南昌期末）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1400元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为5%，则可打 　 　折．
10．（2024秋 浦江县期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生　 　人．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 晋安区期末）列方程解应用题
某文具店计划购进A、B两种文具套装，这两种文具套装的进价和标价如表所示：
进价（元/套） 标价（元/套）
A种文具套装 10 16
B种文具套装 9 15
（1）若该文具店要花费480元同时购进两种文具套装共50套，求购进A种文具套装多少套？
（2）在（1）的条件下，为了促销，文具店老板决定把A种文具套装中15套按标价的九折出售，B种文具套装中a套按标价打八折出售．剩下的A，B种文具套装按各自标价出售、要使购进的这批文具套装在完全售出后达到50%的利润率，求a的值．
12．（2024秋 崇明区期末）一个铸造车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．已知一个螺栓的两头各套一个螺帽配成一套，那么应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使一天生产的螺栓和螺帽刚好配套？
13．（2024秋 增城区期末）某商场打出促销广告如表：
一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过600元 一次性购物超过600元
没有优惠 全部按九折优惠 其中600元按九折优惠，超过600元部分按八折优惠
（1）若顾客在该超市购买原价为700元的物品，实际付款多少元？
（2）若顾客在该超市购买原价为x元的物品，实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
（3）若某顾客分两次购物，第一次花费150元，第二次花费580元，若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
14．（2024秋 增城区期末）环形跑道一圈长400m，小明同学在跑道上练习骑自行车，平均每分钟骑350m；小军同学在跑道上练习跑步，起初平均每分钟跑250m．
（1）若两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？
（2）若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑1分钟后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑150m，经过多长时间首次相遇？
15．（2024秋 蒙城县期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发．
（1）小轿车出发多长时间后追上货车？
（2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？
期末专项培优 实践与探究
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D A D D D
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 晋安区期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段AB上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即PA＝2PB或PB＝2PA，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数﹣2的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（　　）
A．2 B．1 C．2或 D．或1
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】当运动时间为t秒时，点P表示的数为5﹣3t，点A表示的数为﹣2+t，点B表示的数为4+4t，根据点P恰好是点A，B的“2倍点”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为5﹣3t，点A表示的数为﹣2+t，点B表示的数为4+4t，
根据题意得：5﹣3t﹣（﹣2+t）＝2[4+4t﹣（5﹣3t）]或2[5﹣3t﹣（﹣2+t）]＝4+4t﹣（5﹣3t），
解得：t或t＝1，
∴t的值为或1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2024秋 源城区期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　）
A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2
C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设有牧童x人，则有竹竿（6x+14）根，也可表示为（8x﹣2）根，则6x+14＝8x﹣2，于是得到问题的答案．
【解答】解：设有牧童x人，
根据题意得6x+14＝8x﹣2，
故选：A．
【点评】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示竹竿的根数是解题的关键．
3．（2024秋 花山区校级期末）如图是2025年1月份的日历表，用一个十字架框5个数，则这5个数的和可能是（　　）
A．24 B．30 C．55 D．75
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设这五个数中最小的一个数为x，则其余的四个数为x+6，x+7，x+8，x+14，然后根据这五个数的和计算即可得到答案．
【解答】解：设最小的数为x，则其余的四个数为x+6，x+7，x+8，x+14，
∴这五个数的和计算和为：x+x+6+x+7+x+8+x+14＝5x+35，
∵由图可得x≠4，
∴x＝8时和为75符合题意，
故选：D．
【点评】本考查了列代数式，正确读懂题意是解题关键．
4．（2024秋 谯城区期末）如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为50cm，则大长方形的面积是（　　）
A．90cm2 B．100cm2 C．120cm2 D．150cm2
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设小长方形的宽为x cm，由图可得小长方形的长为2x cm，再根据大长方形的周长即可列方程求解．
【解答】解：设小长方形的宽为x cm，由图可得小长方形的长为2x cm，
∴2（2x+2x+x）＝50，
∴x＝5，
∴大长方形的宽为10cm，长为15cm，
∴10×15＝150（cm2）；
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键．
5．（2024秋 兴宁市期末）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（　　）
A．5道 B．6道 C．7道 D．8道
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设出答对的题数，利用答对的题数得分﹣不答或答错题的得分＝34分，列出方程进行求解．
【解答】解；设答对的题数为x道，
根据题意，得：5x﹣3（10﹣x）＝34，
解得：x＝8．
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 阜宁县期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要　3　天．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】3．
【分析】设甲队还需要x天，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲队还需要x天，
根据题意得：1，
解得：x＝3，
∴甲队还需要3天．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2024秋 蜀山区期末）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业，某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 5 8
B 2 6
已知农作物种植人员共26位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共50万元，问A种农作物的种植面积为 　4　公顷．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】4．
【分析】设A种农作物的种植面积为x公顷，则B种农作物的种植面积为公顷，根据种植两种农作物投入资金共50万元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设A种农作物的种植面积为x公顷，则B种农作物的种植面积为公顷，
根据题意得：8x+6 50，
解得：x＝4，
∴A种农作物的种植面积为4公顷．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2024秋 宁夏期末）一根内径为3cm的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了　12.8　cm．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，内径为3cm的圆柱形长试管中水柱少的体积等于内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯的体积，用此作为相等关系列方程可求解．
【解答】解：设试管中的水的高度下降了xcm；
根据题意有：π 1.52 x＝π 42×1.8；
解之得：x＝12.8．
故答案为：12.8．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．本题中的相等关系为：内径为3cm的圆柱形长试管中水柱少的体积等于内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯的体积．
9．（2024秋 南昌期末）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1400元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为5%，则可打 　6　折．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】6．
【分析】设可打x折，根据标价×折扣﹣进价＝利润得：1400800＝800×5%，即可解得答案．
【解答】解：设可打x折，
根据题意得：1400800＝800×5%，
解得x＝6，
∴可打6折；
故答案为：6．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
10．（2024秋 浦江县期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生　45　人．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】45．
【分析】根据题意假设这列队伍前面3x人，后面则有x人，利用他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样得出方程求解即可．
【解答】解：设这列队伍前面3x人，后面则有x人，前面的人数和后面的人数一样得：
3x﹣11＝x+11，
2x＝22，
x＝11，
这个班级共有学生3x+x+1＝4×11+1＝45．
故答案为：45．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 晋安区期末）列方程解应用题
某文具店计划购进A、B两种文具套装，这两种文具套装的进价和标价如表所示：
进价（元/套） 标价（元/套）
A种文具套装 10 16
B种文具套装 9 15
（1）若该文具店要花费480元同时购进两种文具套装共50套，求购进A种文具套装多少套？
（2）在（1）的条件下，为了促销，文具店老板决定把A种文具套装中15套按标价的九折出售，B种文具套装中a套按标价打八折出售．剩下的A，B种文具套装按各自标价出售、要使购进的这批文具套装在完全售出后达到50%的利润率，求a的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）30套；
（2）12．
【分析】（1）设购进A种文具套装x套，则购进B种文具套装（50﹣x）套，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每套文具的销售利润×销售数量，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种文具套装x套，则购进B种文具套装（50﹣x）套，
根据题意得：10x+9（50﹣x）＝480，
解得：x＝30．
答：购进A种文具套装30套；
（2）50﹣30＝20（套）．
根据题意得：（16﹣10）×（30﹣15）+（16×0.9﹣10）×15+（15×0.8﹣9）a+（20﹣a）（15﹣9）＝480×50%，
解得：a＝12．
答：a的值是12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2024秋 崇明区期末）一个铸造车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．已知一个螺栓的两头各套一个螺帽配成一套，那么应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使一天生产的螺栓和螺帽刚好配套？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】应该分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺帽，才能使一天生产的螺栓和螺帽刚好配套．
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则分配（28﹣x）名工人生产螺帽，根据生产螺帽的总数量是生产螺栓总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配（28﹣x）名工人生产螺帽，
根据题意得：2×12x＝18（28﹣x），
解得：x＝12，
∴28﹣x＝28﹣12＝16（名）．
答：应该分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺帽，才能使一天生产的螺栓和螺帽刚好配套．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．（2024秋 增城区期末）某商场打出促销广告如表：
一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过600元 一次性购物超过600元
没有优惠 全部按九折优惠 其中600元按九折优惠，超过600元部分按八折优惠
（1）若顾客在该超市购买原价为700元的物品，实际付款多少元？
（2）若顾客在该超市购买原价为x元的物品，实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
（3）若某顾客分两次购物，第一次花费150元，第二次花费580元，若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）620元；
（2）当0＜x≤200时，实际付款x元；当200＜x≤600时，实际付款0.9x元；当x＞600时，实际付款（0.8x+60）元；
（3）便宜30元．
【分析】（1）利用实际付款＝600×0.9+超出600元的部分×0.8，即可求出结论；
（2）分0＜x≤200，200＜x≤600及x＞600三种情况，用含x的代数式表示出实际付款额；
（3）由200×0.9＝180（元），180＞150，可得出第一次购买商品的原价为150元，设第二次购买商品的原价为y元，根据第二次花费580元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入0.8（150+y）+60中，可求出合并成一次购买所需费用，再用两次花费之和减去该值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵700＞600，
∴实际付款600×0.9+（700﹣600）×0.8＝620（元）．
答：实际付款620元；
（2）根据题意得：当0＜x≤200时，实际付款x元；
当200＜x≤600时，实际付款0.9x元；
当x＞600时，实际付款600×0.9+0.8（x﹣600）＝（0.8x+60）元；
（3）∵200×0.9＝180（元），180＞150，
∴第一次购买商品的原价为150元；
设第二次购买商品的原价为y元，
∵600×0.9＝540（元），540＜580，
∴y＞600．
根据题意得：0.8y+60＝580，
解得：y＝650，
∴0.8（150+y）+60＝0.8×（150+650）+60＝700（元），
∴150+580﹣700＝30（元）．
答：若合并成一次购买，比分两次购买便宜30元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2024秋 增城区期末）环形跑道一圈长400m，小明同学在跑道上练习骑自行车，平均每分钟骑350m；小军同学在跑道上练习跑步，起初平均每分钟跑250m．
（1）若两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？
（2）若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑1分钟后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑150m，经过多长时间首次相遇？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）分钟；
（2）分钟．
【分析】（1）设经过x分钟两人首次相遇，利用路程＝速度×时间，结合两人路程之和为400m，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y分钟两人首次相遇，利用路程＝速度×时间，结合两人路程之差为400m，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设经过x分钟两人首次相遇，
根据题意得：350x+250x＝400，
解得：x．
答：经过分钟两人首次相遇；
（2）设经过y分钟两人首次相遇，
根据题意得：350y﹣[250×1+150（y﹣1）]＝400，
解得：y．
答：经过分钟两人首次相遇．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2024秋 蒙城县期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发．
（1）小轿车出发多长时间后追上货车？
（2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距30km？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）2小时；
（2）1小时或3小时．
【分析】（1）设小轿车出发x小时后追上货车，根据小轿车追上货车时，小轿车和货车所行驶的路程相等；
（2）设小轿车行驶t小时后与货车相距30km，分两种情况：小轿车在追上货车之前，两车相距30km，小轿车在追上货车之后，两车相距30km，分别列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设小轿车出发x小时后追上货车，
∴90x＝60（x+1），
∴x＝2．
答：小轿车出发2小时后追上货车；
（2）设小轿车行驶t小时后与货车相距30km，
分情况讨论如下：
①小轿车在追上货车之前，两车相距30km，则：
90t﹣60t＝60﹣30，
∴t＝1；
②小轿车在追上货车之后，两车相距30km，则：
90t﹣60t＝60+30，
∴t＝3，
答：1小时或3小时后相距30km．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
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