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期末专项培优 与三角形有关的边和角
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8
2．（2024秋 武威期末）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　）
A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC
3．（2024秋 兴宁市期末）如图，把两块三角板拼在一起，则∠ABC等于（　　）
A．100° B．120° C．135° D．50°
4．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，△ABC中∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到点D，则∠CAD的度数是（　　）
A．50° B．70° C．80° D．110°
5．（2024秋 新兴县期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新兴县期末）若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 　 　．
7．（2024秋 阜宁县期末）如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠ACB＝75°15′，则∠ACD＝ 　 　°．
8．（2024秋 东莞市期末）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是 　 　．
9．（2024秋 滨江区期末）如图，两根竹竿AB和BD斜靠在墙CE上，量得∠CAB，∠CDB的度数分别为51°，34°，则这两根竹竿的夹角∠ABD的度数是　 　°．
10．（2024秋 东台市期末）如图，将一条对边互相平行的纸带与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 东莞市期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数．
12．（2024秋 仓山区期末）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E，连接EC．设∠B＝α，∠E＝β，若∠BAC＝α+2β，求证：CE平分∠ACD．
13．（2024秋 合川区期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O．
（1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数；
（2）若∠BAD＝30°，∠CBE＝50°，求∠ADC的度数．
14．（2024秋 东莞市期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
15．（2024秋 兰州期末）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°．求：∠B和∠F的度数．
期末专项培优 与三角形有关的边和角
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B B B B B
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、l+2＝3，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、3+4＞5，能构成三角形，故B符合题意；
C、2+4＝6，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、3+3＜8，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2．（2024秋 武威期末）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　）
A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
3．（2024秋 兴宁市期末）如图，把两块三角板拼在一起，则∠ABC等于（　　）
A．100° B．120° C．135° D．50°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用角的加法列式计算即可．
【解答】解：由图可知，把两块三角板拼在一起，则∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查的是角的和差运算，掌握三角板的特点是解题的关键．
4．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，△ABC中∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA到点D，则∠CAD的度数是（　　）
A．50° B．70° C．80° D．110°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可．
【解答】解：由题意可知：∠CAD是△ABC的一个外角，
∴根据三角形外角的性质，∠CAD＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是三角形外角性质的熟练掌握．
5．（2024秋 新兴县期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【考点】三角形内角和定理．
【专题】一次方程（组）及应用；三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理，进而可解决此题．
【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+7x＝180°．
∴x＝（）°．
∴7x＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及解一元一次方程，熟练掌握三角形内角和定理以及解一元一次方程是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新兴县期末）若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 　5cm＜c＜11cm　．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】5cm＜c＜11cm．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出答案．
【解答】解：因为△ABC的两边长为3cm，8cm，
所以8cm﹣3cm＜c＜8cm+3cm，
即5cm＜c＜11cm．
故答案为：5cm＜c＜11cm．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
7．（2024秋 阜宁县期末）如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠ACB＝75°15′，则∠ACD＝ 　104.75　°．
【考点】三角形内角和定理；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】104.75．
【分析】根据平角的定义和角的计算方法，可以计算出∠ACD的度数．
【解答】解：∠ACB＝75°15′，∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣75°15′＝104°45′＝104.75°，
故答案为：104.75．
【点评】本题考查角的计算、平角的定义，解答本题的关键是明确角的计算方法．
8．（2024秋 东莞市期末）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是 　4＜a＜8　．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的三边关系可以得到a的取值范围．
【解答】解：∵三角形两边长分别为2，6，该三角形第三边长为a，
∴6﹣2＜a＜6+2，
解得4＜a＜8，
故答案为：4＜a＜8．
【点评】本题主要查了三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系求出a的取值范围．
9．（2024秋 滨江区期末）如图，两根竹竿AB和BD斜靠在墙CE上，量得∠CAB，∠CDB的度数分别为51°，34°，则这两根竹竿的夹角∠ABD的度数是　17　°．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】运算能力．
【答案】17．
【分析】因为∠CAB是△ADB的外角，所以有∠ABD＝∠CAB﹣∠ADB，根据∠CAB、∠CDB的度数分别为51°、34°，求出两根竹竿的夹角∠ABD的度数．
【解答】解：∵∠CAB是△ADB的外角，
∴∠CAB＝∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD＝∠CAB﹣∠ADB＝51°﹣34°＝17°．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形外角定理，掌握三角形的外角定理是：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
10．（2024秋 东台市期末）如图，将一条对边互相平行的纸带与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　50°　．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】50°．
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 东莞市期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】130°．
【分析】利用三角形内角和定理分别求出∠A和∠ABE的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°．
∵BE和CD是△ABC的两条高线，
∴∠AEB＝∠BDO＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．（2024秋 仓山区期末）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E，连接EC．设∠B＝α，∠E＝β，若∠BAC＝α+2β，求证：CE平分∠ACD．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先利用∠BAC为△ACE的一个外角得到∠BAC＝β+∠ACE，由于∠BAC＝α+2β，则可得到∠ACE＝α+β，接着利用∠DCE为△BCE的一个外角得到∠DCE＝α+β，所以∠ACE＝∠DCE，从而得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠E+∠ACE＝β+∠ACE，
∵∠BAC＝α+2β，
∴∠ACE+β＝α+2β，
∴∠ACE＝α+β，
∵∠DCE＝∠B+∠E＝α+β，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴CE平分∠ACD．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和是180°进行角度的计算是解决问题的关键．也考查了三角形外角性质．
13．（2024秋 合川区期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O．
（1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数；
（2）若∠BAD＝30°，∠CBE＝50°，求∠ADC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）30°；
（2）110°．
【分析】（1）利用BE是高，可得∠BEA＝90°，求出∠DAE＝30°，再根据角平分线的定义求出∠BAE，即可求出∠ABE的度数；
（2）利用BE是高，可得∠BEC＝90°，得出∠C＝40°，根据角平分线的定义求出∠CAD，再利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数．
【解答】解：（1）由条件可知∠BEA＝90°，
又∵∠AOE＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AOE＝30°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝2∠DAE＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝30°
∴∠ABE的度数为30°．
（2）由条件可知∠BEC＝90°，
又∵∠CBE＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠CBE＝40°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝110°．
∴∠ADC的度数为110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
14．（2024秋 东莞市期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】54°．
【分析】根据高的定义求得∠ADB＝∠BDC＝90°，结合∠A＝70°可求出∠ABD的度数，然后根据三角形外角的性质求出∠DCE的度数，结合角平分线的定义求出∠DCB，可得∠DBC的度数，进而求出∠ABC的度数．
【解答】解：∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠A＝20°，
∵∠BEC＝∠BDC+∠DCE，且∠BEC＝118°，∠BDC＝90°，
∴∠DCE＝28°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCB＝2∠DCE＝56°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠DCB＝34°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝54°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
15．（2024秋 兰州期末）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°．求：∠B和∠F的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∵∠C＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
∴∠EDF＝∠B+∠1＝35°+40°＝75°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣75°＝15°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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