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期末专项培优 二元一次方程组的解法
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 花山区校级期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人0.5h后相遇；如果同向而行，两人2h后相遇；问甲从A地到B地需要（　　）h．
A． B． C．或 D．或
2．（2024秋 榆中县期末）若方程组的解互为相反数，则m的值是（　　）
A．﹣7 B．10 C．﹣10 D．﹣12
3．（2024秋 五华县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024秋 甘州区期末）方程组的解为，则☆，O分别为（　　）
A．9，﹣1 B．9，1 C．7，﹣1 D．5，1
5．（2024秋 长安区期末）小亮的妈妈用28元钱买了甲乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果多买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 怀化期末）对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则a﹣b＝　 　．
7．（2024秋 武侯区校级期中）已知x、y满足方程组，则3x+y的值为 　 　．
8．（2024秋 碑林区校级月考）对于x，y定义一种新运算x*y＝ax+by+1（a，b是非零常数）．例如0*0＝a×0+b×0+1＝1．若1*4＝3，2*（﹣1）＝0，则a+b＝ 　 　．
9．（2024秋 柯桥区期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 　 　天．
10．（2024秋 乌当区期末）解二元一次方程组的最优方法是　 　的方法．（选填“代入”或“加减”）
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期末）解方程组
（1）；
（2）．
12．（2024秋 贵州期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：①×3，得6x﹣3y＝12．③第一步
②﹣③，得﹣7y＝7，第二步
y＝﹣1．第三步
将y＝﹣1代入①，得x第四步
所以，原方程组的解为第五步
任务一：
填空：①这种求解二元一次方程组的方法叫做 　 　法，以上求解步骤中，第一步的依据 　 　．
②第 　 　步开始出现错误．
任务二：
请解该方程组 　 　．
13．（2024秋 大足区期末）某商场准备进货A、B两种小家电，已知小家电A每件进价300元，小家电B每件进价200元，计划共进货440件，且进货这两种小家电所需的成本之和为112000元．
（1）求A、B两种小家电分别计划进货多少件？
（2）经过洽谈：A、B两种小家电的进价每台都少m元，若仍用112000元投入进货，且分别用于A、B两种小家电的计划进货总金额均不变，则进货A、B两种小家电的数量相同，求m的值．
14．（2024秋 兴宁市期末）关于x，y的方程组．
（1）当m＝2时，解方程组；
（2）若方程组的解满足x+y＝7，求m的值．
15．（2024秋 西湖区校级期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．
（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？
期末专项培优 二元一次方程组的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 花山区校级期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人0.5h后相遇；如果同向而行，两人2h后相遇；问甲从A地到B地需要（　　）h．
A． B． C．或 D．或
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，
根据题意得，或，
解得或，
∴甲从A地到B地需要或．
答：甲从A地到B地需要或．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论．
2．（2024秋 榆中县期末）若方程组的解互为相反数，则m的值是（　　）
A．﹣7 B．10 C．﹣10 D．﹣12
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】C
【分析】根据解方程组的步骤，可得方程组的解，根据解方程组，可得方程组的解，根据方程组的解互为相反数，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解；
解得，
x、y互为相反数，
∴0，
m＝﹣10，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，先求出方程组的解，再求出m的值．
3．（2024秋 五华县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】把已知方程组中的两个方程相减得到x﹣y＝m+3，再根据关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝m+3，
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，
∴m+3＝5，
解得：m＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
4．（2024秋 甘州区期末）方程组的解为，则☆，O分别为（　　）
A．9，﹣1 B．9，1 C．7，﹣1 D．5，1
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】把x＝4代入x+y＝3，可确定O的值，再把x＝4，y＝﹣1代入可确定☆的值．
【解答】解：把x＝4代入x+y＝3，得y＝﹣1，
∴O表示的是﹣1，
把x＝4，y＝﹣1代入2x+y＝☆，得☆＝7，
即☆＝7，O＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确解答的关键．
5．（2024秋 长安区期末）小亮的妈妈用28元钱买了甲乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果多买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据关键语句“用28元钱买了甲乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果多买了2千克”找到等量关系列出方程即可．
【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
根据题意得：，
故选：C．
【点评】考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，难度不大．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 怀化期末）对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则a﹣b＝　﹣1　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a﹣b的值．
【解答】解：根据题意得：1*2＝a+2b﹣5＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣3a+3b﹣5＝﹣2，
整理得：，
①+②得：3b＝﹣3，即b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：a＝﹣2，
则a﹣b＝﹣2+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．（2024秋 武侯区校级期中）已知x、y满足方程组，则3x+y的值为 　8　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】让方程组中的两个方程直接相加即可求出答案．
【解答】解：，
①+②，得3x+y＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，两个方程直接相加是解题的关键．
8．（2024秋 碑林区校级月考）对于x，y定义一种新运算x*y＝ax+by+1（a，b是非零常数）．例如0*0＝a×0+b×0+1＝1．若1*4＝3，2*（﹣1）＝0，则a+b＝ 　　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据新运算法则得出，①+②即可得出a+b的值．
【解答】解：∵1*4＝3，2*（﹣1）＝0，
∴，
①+②，得3a+3b＝1，
∴a+b，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解新定义运算法则是解题的关键．
9．（2024秋 柯桥区期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 　16　天．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】16．
【分析】设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料，根据“这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之可用含c的代数式表示出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料，
根据题意得：，
解得：，
∴16（天），
∴这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃16天．
故答案为：16．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（2024秋 乌当区期末）解二元一次方程组的最优方法是　代入　的方法．（选填“代入”或“加减”）
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】代入．
【分析】根据“代入法”，“加减法”的意义进行判断即可．
【解答】解：解二元一次方程组的最优方法是代入法，
故答案为：代入．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期末）解方程组
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）先整理，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
把②代入①，得2（1﹣y）+4y＝5，
解得y＝1.5，
把y＝1.5代入②，得x＝﹣0.5，
所以方程组的解是；
（2），
整理得，
①﹣②，得2x＝﹣6，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入②，得y，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
12．（2024秋 贵州期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：①×3，得6x﹣3y＝12．③第一步
②﹣③，得﹣7y＝7，第二步
y＝﹣1．第三步
将y＝﹣1代入①，得x第四步
所以，原方程组的解为第五步
任务一：
填空：①这种求解二元一次方程组的方法叫做 　加减　法，以上求解步骤中，第一步的依据 　等式的性质　．
②第 　二　步开始出现错误．
任务二：
请解该方程组 　　．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】任务一：①加减，等式的性质；②二；
任务二：原方程组的解为．
【分析】任务一：①通过两个方程相减，消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
②第二步开始出现错误，具体错误是﹣3y﹣（﹣4y）应该等于﹣y；
任务二：解方程组即可．
【解答】解：任务一：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减法，求解步骤中，第一步的依据等式的性质，
故答案为：加减，等式的性质；
②第二步开始出现错误，具体错误是﹣3y﹣（﹣4y）应该等于﹣y，
故答案为：二；
任务二：①×3，得6x﹣3y＝12③，
②﹣③得﹣y＝7，
y＝﹣7，
将y＝﹣7代入①，x＝﹣1.5，
所以，原方程组的解为．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
13．（2024秋 大足区期末）某商场准备进货A、B两种小家电，已知小家电A每件进价300元，小家电B每件进价200元，计划共进货440件，且进货这两种小家电所需的成本之和为112000元．
（1）求A、B两种小家电分别计划进货多少件？
（2）经过洽谈：A、B两种小家电的进价每台都少m元，若仍用112000元投入进货，且分别用于A、B两种小家电的计划进货总金额均不变，则进货A、B两种小家电的数量相同，求m的值．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）小家电A计划进货240件，小家电B计划进货200件；
（2）75．
【分析】（1）设A、B两种饰品分别进货x件、y件，根据进货440件，且进货这两种小家电所需的成本之和为112000元列出方程组求解即可；
（2）根据题意，分别算出A、B的进货金额，根据A、B两种小家电的数量相同，列分式方程求解即可．
【解答】解：（1）设小家电A进货x件，小家电B进货y件，由题意可列方程组得：
，
解得：，
答：小家电A计划进货240件，小家电B计划进货200件．
（2）小家电A的总额为：240×300＝72000（元），
小家电B的总额为：200×200＝40000（元），
根据题意列方程得：
，
解得：m＝75，
经检验，m＝75是方程的解，且符合题意．
答：m的值是75．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式，列出方程或方程组．
14．（2024秋 兴宁市期末）关于x，y的方程组．
（1）当m＝2时，解方程组；
（2）若方程组的解满足x+y＝7，求m的值．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）m＝5．
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法进行计算即可；
（2）根据二元一次方程组的解法得出x+y，再根据x+7＝7得到，求出m的值即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，原方程组可变为，
①+②得，3x+3y＝9，
即x+y＝3③，
①﹣③得，x＝2，
把x＝2代入①得，4+y＝5，
解得y＝1，
所以原方程组的解为；
（2），
①+②得，3x+3y＝4m+1，
即x+y，
又∵x+y＝7，
∴，
解得m＝5．
【点评】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
15．（2024秋 西湖区校级期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．
（1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？
【考点】二元一次方程组的应用；列代数式；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元；
（2）该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元．
【分析】（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意得出W＝﹣2a+400，25≤a≤100，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设中级型汽车的进价为x万元，紧凑型汽车的进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元；
（2）设购进中级型汽车a辆，
由题意得：25≤a≤100，
∴W＝（26﹣24）a+（20﹣16）（100﹣a）＝﹣2a+400，
∵﹣2＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25，W取最大值，最大值为﹣2×25+400＝350，
∴100﹣25＝75（辆），
答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程或二元一次方程．
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