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期末专项培优 解一元一次不等式组
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 高州市期末）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 越城区校级期末）把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 诸暨市期末）不等式组的解是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
4．（2024秋 嵊州市期末）若不等式组的解为x＜a，则下列各式正确的是（　　）
A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b
5．（2024秋 鄞州区期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次pH检测值x的范围是（　　）
A．7.2≤x≤8.1 B．7.1≤x≤8.0 C．7.2≤x≤8.0 D．7.1≤x≤8.1
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 锦江区校级期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是　 　．
7．（2025 山东模拟）不等式组的所有整数解的和为　 　．
8．（2024秋 浦江县期末）不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　 　．
9．（2024秋 镇海区校级期末）若关于x的不等式组的整数解有且只有一个，则a的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 门头沟区期末）某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如表所示：
商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件）
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 　 　（写商场编号）；
（2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 　 　（写商场编号）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 柯城区期末）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．
12．（2024秋 钢城区期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
13．（2024秋 上城区期末）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
15．（2024秋 桥西区期中）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
期末专项培优 解一元一次不等式组
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 高州市期末）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式x﹣2＞0得：x＞2，
解不等式2x﹣6≥0得：x≥3，
在数轴上表示如图：
，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2024秋 越城区校级期末）把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤5，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键，
3．（2024秋 诸暨市期末）不等式组的解是（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同大取大，即可解答．
【解答】解：不等式组的解是x＞2，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
4．（2024秋 嵊州市期末）若不等式组的解为x＜a，则下列各式正确的是（　　）
A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同小取小，即可解答．
【解答】解：若不等式组的解为x＜a，则a≤b，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
5．（2024秋 鄞州区期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次pH检测值x的范围是（　　）
A．7.2≤x≤8.1 B．7.1≤x≤8.0 C．7.2≤x≤8.0 D．7.1≤x≤8.1
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据算术平均数的定义，不等式组的应用，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，可得，从而得出答案．
【解答】解：已知第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，
∴，
解得：7.2≤x≤8.1；
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是找准数量之间的关系，列出一元一次不等式．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 锦江区校级期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是　1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1．
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为9，可以确定不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根据解集确定a的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①得x＞a，
解不等式②得x≤4，
∵所有整数解的和是9，
∴不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，
∴1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1
故答案为：1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
7．（2025 山东模拟）不等式组的所有整数解的和为　7　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得．
【解答】解：，
解不等式组得2＜x≤4，
∴不等式组的整数解为：3、4，
∴其和为：3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解是解题的关键．
8．（2024秋 浦江县期末）不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　m≤3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m≤3．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解即可解决问题．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞3，
因为此不等式组的解集为x＞3，
所以m≤3．
故答案为：m≤3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
9．（2024秋 镇海区校级期末）若关于x的不等式组的整数解有且只有一个，则a的取值范围是 　0＜a　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】0＜a．
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组的整数解有且只有一个，即可得到一个关于a的不等式组，据此可解决问题．
【解答】解：解不等式2x+a≥0得，x；
解不等式x﹣2a＜0得，x＜2a，
所以．
当a＝0时，此不等式组无解，
所以a≠0，
则与2a异号，
所以此不等式组的整数解为0，
则且0＜2a≤1，
解得0＜a．
故答案为：0＜a．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
10．（2024秋 门头沟区期末）某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如表所示：
商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件）
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 　A，B，C （答案不唯一）　（写商场编号）；
（2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 　A，B，E　（写商场编号）．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）A，B，C （答案不唯一）；
（2）A，B，E．
【分析】（1）根据A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，进行计算即可判断；
（2）通过计算各小区得收益，进行比较即可．
【解答】解：（1）A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，需取快递数量5，
若前往A、B、C 小区，需送快递数量为15+10+8＝33＞30，需取快递数量为6+5+5＝16＞15，前往 A，B，C 小区满足条件，
故答案为：A，B，C （答案不唯一）；
（2）前往A小区收益为：15×1+6×2＝27（元），前往B小区收益为：10×1+5×2＝20（元），
前往C小区收益为：8×1+5×2＝18（元），
前往D小区收益为：4×1+7×2＝18（元），
前往E小区收益为：13×1+4×2＝21（元），
28＞21＞20＞18，15+10+13＞30，6+5+4＝15，
送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是：A，B，E．
故答案为：A，B，E．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，正确进行计算是解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 柯城区期末）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解为﹣1＜x≤2．
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（2024秋 钢城区期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】0、1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式3（2x﹣1）≤2x+1，得：x≤1，
解不等式3x得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的整数解为0、1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（2024秋 上城区期末）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2、﹣1、0、1、2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式2x﹣1≤x+1，得：x≤2，
解不等式3x﹣5＜2（2+3x），得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
∴不等式组的整数解为：﹣2、﹣1、0、1、2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）每副春联的进价8元，每对窗花的进价3元；
（2）购进80副春联时销售利润最大，最大利润为1220元．
【分析】（1）根据“购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元”列方程组求解；
（2）根据“利润＝单利润×数量”列出函数表达式，再根据函数的性质求解．
【解答】解：（1）设每副春联的进价x元，每对窗花的进价y元，
则，
解得：，
答：每副春联的进价8元，每对窗花的进价3元；
（2）设购进a副春联，销售为w元，
∴w＝（15﹣8）a+（6﹣3）（300﹣a）＝4a+900，
∵，
解得：50≤a≤80，
∵4＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝80时，w取最大值，为：4×80+900＝1220（元），
∴购进80副春联时销售利润最大，最大利润为1220元．
【点评】本题考查了一元一次不等式及方程组的应用，找到相等关系或不等关系三解题的关键．
15．（2024秋 桥西区期中）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　x≤1　；
（2）解不等式②，得　x≥﹣3　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　﹣3≤x≤1　．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x≤1；（2）x≥﹣3；（3）见解析；（4）﹣3≤x≤1．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；
（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．
【解答】解：（1）解不等式①得x≤1，
故答案为：x≤1；
（2）解不等式②得x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3；
（3）在数轴上表示如下：
（4）由数轴可得原不等式组的解集为﹣3≤x≤1，
故答案为：﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组，表示不等式解集是关键．
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