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期末专项培优 三元一次方程组及其解法
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　）
A．68 B．70 C．72 D．74
2．（2024秋 怀化期末）已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024秋 海门区校级月考）若x、y满足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，则代数式xy有可能值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2024春 东兴区校级期中）已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（　　）
A．25 B．24 C．33 D．34
5．（2024春 道县校级月考）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 渝北区校级开学）买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 　 　元．
7．（2024秋 两江新区校级月考）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 　 　次．
8．（2024 海淀区校级开学）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要　 　元．
9．（2024春 赛罕区校级期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元．如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 　 　元．
10．（2024春 涟水县月考）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文3a+b，2b+c，2c+d，2d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，10，8．当接收方收到密文13，9，24，20时，则解密得到的明文四个数字之和为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 鄞州区校级自主招生）求关于x，y，z，t的方程组的整数解．
12．（2024春 龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
13．（2024 岳阳县校级开学）一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
14．（2024秋 长沙月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
15．（2024春 浦东新区校级月考）解方程组：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　）
A．68 B．70 C．72 D．74
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解．
【解答】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人，
则：，
方程组可化为：
，
①+②+③得：4（x+y+z）＝280，
∴x+y+z＝70，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握整体思想是解题的关键．
2．（2024秋 怀化期末）已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】解三元一次方程组．
【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
3．（2024秋 海门区校级月考）若x、y满足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，则代数式xy有可能值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】解三元一次方程组；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】结合已知条件进行代数式求值，然后代入xy中确定其取值即可．
【解答】解：由题意可得，
解得，
则xy＝（2+m）（1﹣2m）
＝2﹣4m+m﹣2m2
＝﹣2m2﹣3m+2
＝﹣2（m）2，
∵6＞5＞43，
∴代数式xy有可能值为3，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，掌握代数式求值的方法是关键．
4．（2024春 东兴区校级期中）已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（　　）
A．25 B．24 C．33 D．34
【考点】三元一次方程组的应用．
【答案】A
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c＝16；据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，则d＝8，又a+d＝8+1+a＝10，则a＝1；综上可知，a﹣1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9．
【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba＝10769；
则b+c＝16；又据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，
则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，
可得：d＝8，
又∵a+d＝8+1+a＝10，
∴a＝1，
综上可知，a＝1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，完成本题的关键是通过两数的和先求出b+c＝16之后，再据所给条件求其它数就比较容易了．
5．（2024春 道县校级月考）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解三元一次方程组；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．
【解答】解：
①﹣③得，4x+3y＝2，
③×4+②得：7x+5y＝3，
∴三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是，
故选：A．
【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程组．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 渝北区校级开学）买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 　40　元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】40．
【分析】设练习本一本x元，笔 一支y元，橡皮一块z元，先根据题意列出三元一次方程组，利用等式的性质得x+y+z的值，最后求出5x+5y+5z的值．
【解答】解：设练习本一本x元，笔 一支y元，橡皮一块z元，
由题意，得，
②﹣①，得2x+2y+2z＝16．
∴x+y+z＝8．
∴5x+5y+5z
＝5（x+y+z）
＝5×8
＝40（元）．
故答案为：40．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握等式的性质是解决本题的关键．
7．（2024秋 两江新区校级月考）今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 　8　次．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】根据题意可知，设在甲机换了x次，乙机换了y次，丙机换了z次，在甲机上每换一次多1个，在乙机上每换一次多3个，在丙机上每换一次多9个，进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可．
【解答】解：设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次，
在甲机上每换一次多 1 个；
在乙机上每换一次多 3 个；
在丙机上每换一次多 9 个；
进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；
∴
由②﹣①，得：2y+8z＝68，
∴y+4z＝34，
∴y＝34﹣4z，
结合x+y+z＝12，能满足上面两式的值为：
∴x＝2，y＝2，z＝8；
即在丙机换了8次．
故答案为：8．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，找准等量关系，列出三元一次方程是解答本题的关键．
8．（2024 海淀区校级开学）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要　6　元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】6．
【分析】设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出x+y+z的值即可．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，
根据题意，得，
①×3﹣②×2得3（3x+7y+z）﹣2（4x+10y+z）＝20×3﹣27×2，
整理，得x+y+z＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
9．（2024春 赛罕区校级期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元．如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要 　180　元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设鸡的单价是x元，兔的单价是y元，鸭的单价是z元，根据“某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷4，即可求出结论．
【解答】解：设鸡的单价是x元，兔的单价是y元，鸭的单价是z元，
根据题意得：，
（①+②）÷4得：x+y+z＝180，
∴他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元．
故答案为：180．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
10．（2024春 涟水县月考）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文3a+b，2b+c，2c+d，2d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，10，8．当接收方收到密文13，9，24，20时，则解密得到的明文四个数字之和为 　22　．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】22．
【分析】根据接收方收到密文13，9，24，20，列出三元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴a+b+c+d＝4+1+7+10＝22，
即解密得到的明文四个数字之和为22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 鄞州区校级自主招生）求关于x，y，z，t的方程组的整数解．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】或或或．
【分析】先把方程组进行变形，化为完全平方形式，再两方程相加，化简得到（x2+2y2）（z2+2t2）＝11，利用方程的解是整数，得到结果．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
①+2×②得：x2z2+4y2t2﹣4xyzt+2x2t2+2y2z2+4xyzt＝11，
∴x2z2+4y2t2+2x2t2+2y2z2＝11，
∴（x2z2+2y2z2）+（4y2t2+2x2t2）＝11，
∴z2（x2+2y2）+2t2（x2+2y2）＝11，
∴（x2+2y2）（z2+2t2）＝11，
∵x，y，z，t均为整数，
∴或，
∴解得或或或．
【点评】本题考查了解一次方程组，认真观察原方程组的两方程，充分利用求方程组的整数解这一条件是解题的关键．
12．（2024春 龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）28．
【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键．
13．（2024 岳阳县校级开学）一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】数字问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．
由题意列方程组
②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7，
由①得x﹣z＝1⑤，
将y＝7代入③得 x+z＝7⑥，
⑤+⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3，
答：这个三位数是473．
【点评】解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
14．（2024秋 长沙月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）根据 原草量+每天生长的草量×放牧的天数＝每头牛每天吃草量×头数×天数
列出方程组，可解得x的值即为所求．
（2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛．
要使牧草才永远吃不完，则有 每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求．
【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）由题意得：
由②﹣①得 b＝12c ④
由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c ⑤
将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y12．
答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．
15．（2024春 浦东新区校级月考）解方程组：．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先消去y，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：，
①+②得3x+z＝1④，
（②+③）÷2得3x﹣2z＝﹣2⑤，
④与⑤组成方程组得，
解得，
把代入①得，0+3y+2＝3，
∴，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的步骤是解题的关键．
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