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江苏省南京市 2025年初中学业水平考试数学名师预测卷 02 y x a 1
2
a 2
④当函数 2a 1的“ a方内点”恰有 3个时，符合条件的 a的值也有 3个．其中正确的序
2 2
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
号为（ ）
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
项是符合题目要求的） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．）
7．因式分解： a3 4a ．
1．下列各数中，负数的是（ ）
x
5 4 3 8．若 在实数范围内有意义，则实数
x的取值范围是 ．
A． B． C．0 D． x 3
2 9．已知a．下列运算正确的是（ ） ，b是关于 x
2
的一元二次方程 x2 5x 2 0的两个实数根，则 a 2 a 1 b 的值为 ．
3
A． 10 2 8 B． a2·a a2 a5 C． a4 a7 D． (a b)2 a2 b2 10．定义：若点C把线段 AB分成两部分，且满足较长线段是较短线段的 2倍，则称点C为线段 AB的青
1 铜分割点．已知点C是线段 AB的青铜分割点，且 AB 4，则 AC ．3．估计 48 12的运算结果应在（ ）
3 3 1
11．代数式 和代数式 的值相等，则 x ．
A．4到 5之间 B．5到 6之间 C．6到 7之间 D．7到 8之间 5x 1 2x
12．某种 LED灯能提供 4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度 I（单位：勒克斯）
4．如图，四边形 ABCD，已知 AB BC 6, AD CD 4，且点D在VABC外部，则 B,D之间的距离可能 4000
与房间面积S（单位：平方米）满足关系式 I ．若要求房间的光照强度 I 不低于 200勒克斯，则房
是（ ） S
间的最大面积为 平方米．
A．4 B． 4.4 C．9 D．11 BC 1
13．如图，四边形 ABCD是平行四边形， AC为对角线， BE AC于点 E，CF∥ BE， ，则
DF 2
S△BCE : S△ACF 的值为 ．
第 4题 第 5题
5．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为 SI，SII ，SIII ．给
第 13题 第 14题
出以下结论： 14．如图，在Rt△ABC中， A 90 ， AB 6， AC 8．按以下步骤作图：①以点 A为圆心，适当长为
①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是150 ；③ SIII 2 SI SII ． 1半径画弧，分别交 AB， AC于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在
2
其中正确的是（ ） BAC内交于点 E；③作射线 AE交 BC于点 D；④以点 A为圆心， AC长为半径画弧，交 AB的延长线于
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 点 H，连接DH ，则△BDH的周长为 ．
6．定义：在平面直角坐标系 xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于 a(a 0)，到另一条坐标轴的距 15．如图是由全等的含60 角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点 A，B，C在格点
离不大于 a的点叫做该函数图象的“ a方内点”．
上，则 tan ACB的值为 ．
对于下列四个结论：
①点 (1, 2)是一次函数 y 2x图象的“2方内点”；
②函数 y
3
图象上不存在“2方内点”；
x
1
③若直线 y kx k 1的“ 2 方内点”有两个，则 2 k 0；2
(2)从这 4个盒子中随机选取 2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的 2个盒子里都是九连环的概率、
22．（8分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多
彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校 2400
名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数
第 15题
据绘制了如图所示的统计图：
16．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直
角坐标系中，点 A 3,1 ，B 0,2 ，点C在线段 AB上运动，过C点作与 x轴平行的直线 l， l与抛物线
y x2 4x b始终有交点． 设直线 l与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为n，若 n
满足 0 n 15，则b的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
2x 1 x 2

17．（7分）解不等式组 x 1 1 2x ．
2 3 根据以上信息，解答下列问题：
1 2 x 1
1
18．（7分）先化简，再求值： 2 ，其中 x ． (1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中m的值是______； x 1 x 2x 1 2 1
19．（8分）在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y kx b k 0 的图象由函数 y 2x的图象向下平移 1个 (2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
单位得到． (3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于 15元的学生人数．
(1)求该一次函数的解析式； 23．（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P恰好看到一
(2)对于 x的每一个值，函数 y mx n的值都大于一次函数 y kx b k 0 的值且小于 y 2x的值，直接
颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 BQ 4m，仰角为 ；淇淇向前走了3m后到达点 D，透过点 P恰好
写出 m和 n的取值范围．
看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 BQ的距离 AB CD 1.6m ，点 P到 BQ
20．（8分）如图，VABC内接于 O，BC是 O的直径，D是劣弧 AB的中点，连接CD、OD，过点 A作
PQ 2.6m
O OD P 的距离 ， AC的延长线交
PQ于点 E．（注：图中所有点均在同一平面）
的切线交 的延长线于点 ．
(1)求证： P B； (1)求 的大小及 tan 的值；
(2)连接 AD，当 AP AB时，求证：四边形 ACOD是菱形． (2)求CP的长及 sin APC的值．
21．（8分）七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将 1个七巧板，2个九连环和 1个鲁 24．（8分）如图 1，矩形 ABCD中， AB 4 3， BC 4，动点 E，F分别从点 B，D同时出发，以每秒 1
班锁分别装在 4个不透明的盒子中（每个盒子装 1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．
个单位长度的速度沿 BA，DC向终点 A，C运动，过点 A作直线 EF的垂线，垂足为 G．
(1)从这 4个盒子中随机选取 1个盒子，选中鲁班锁的概率是_______；
(1)当DF FG时， AD与 AG的数量关系为_______； 【问题情境】
(2)如图 2，若 AG平分 DAB，运动时间为 t秒，求 EF的长及 t的值； 如图 1，将矩形纸片 ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点 B落在射线 BD上，点 B的对应点记
(3)当运动时间 t 3时，直接写出 AG的长． 为 B ，折痕与边 AD， BC分别交于点 E，F ．
(1)【活动猜想】
25．（8分）如图抛物线 y x2 bx c与 x轴交于点 A 1,0 和点 B，与 y轴交于点C 0, 4 ，其顶点为 D．
如图 2，当点 B 与点D重合时，那么四边形 BEDF是哪种特殊的四边形？请说明理由．
(1)求抛物线的表达式及顶点 D的坐标；
(2)【问题解决】
(2)在 y轴上是否存在一点 M，使得 BDM 的周长最小．若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理
在矩形纸片 ABCD中，若边 AB 2， BC 2 3．
由；
①请判断 A B 与对角线 AC的位置关系并仅就图 3给出证明；
(3)若点 E在以点 P 3,0 为圆心，1为半径的 P上，连接 AE，以 AE为边在 AE的下方作等边三角形 AEF，
②当 B D 1时，请求出此时 AE的长度．
连接 BF．求 BF的取值范围．
(3)【拓展提升】
如图 4，在正方形 ABCD中，AB 4 2，对角线 AC，BD相交于点O．点 E是对角线 AC上一点，连接 BE，
过点 E作 EF BE，分别交 BD，CD于点 F，G，连接 BG交 AC于点H，将 EGH沿 EG翻折，点H的
对应点 P恰好落在 BD上，得到△EPG．若点G为CD的中点，则△PFG的面积为________．
26．（8分）如图是由小正方形组成的6 9网格，每个小正方形的顶点叫做格点，VABC的三个顶点都是格
点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
1
(1)在图 1中，先画将线段 BA绕点 A逆时针旋转90 后的线段DA，再在 AC上画点 E，使 tan ABE ；
2
(2)在图 2中，先画将线段CB绕点 C顺时针旋转2 ACB后的线段CF，再画 FH∥AB交 AC于点 H．
27．（10分）综合与实践
折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题：江苏省南京市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷02
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准 考证号： 贴条形码区
注意事项
1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
错误填涂 [×] [√] [／]
(请用 2B 铅笔填涂)
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
7．_______________ 12.
8．_________________ 13.
9．________________ 14.
10．__________________ 15.
11._______________ 16.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、（本大题共 11 个小题，共 88 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7 分）
18. （7 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19. （8 分）
（1）
（2）
20.（8 分）
（1）
（2）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21.（8 分）
（1）
（2）
22.（8 分）
（1） ； ；
（2） ； ；
（3）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23. （8 分）
（1）
（2）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （8 分）
（1）
（2）
（3）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
25.（8 分）
（1）
（2）
（3）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
26.（8 分）
（1）
（2）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQmt4gi4gESACB4KA01gCkmQkIGiLcokgUCUuAxKQBFABCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
27.（10 分）
（1）
（2）
①
②
（3） ；
请在请各在题各目题的目答的题答区题域区内域作内答作，答超，出超黑出色黑矩色形矩边形框边限框定限区定域区的域答的案答无案效无！效 ！
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江苏省南京市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的运算结果应在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
4．如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（ ）
A．4 B． C．9 D．11
第4题 第5题
5．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上不存在“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．因式分解： ．
8．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
10．定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ．
11．代数式和代数式的值相等，则 ．
12．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米．
13．如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ．
第13题 第14题
14．如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ．
15．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为 ．
第15题
16．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组．
18．（7分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围．
20．（8分）如图，内接于，是的直径，D是劣弧的中点，连接，过点A作的切线交的延长线于点P．
(1)求证：；
(2)连接，当时，求证：四边形是菱形．
21．（8分）七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．
(1)从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是_______；
(2)从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、
22．（8分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中的值是______；
(2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
23．（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的长及的值．
24．（8分）如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G．
(1)当时，与的数量关系为_______；
(2)如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值；
(3)当运动时间时，直接写出的长．
25．（8分）如图抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
26．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使；
(2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H．
27．（10分）综合与实践
折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题：
【问题情境】
如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
(1)【活动猜想】
如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由．
(2)【问题解决】
在矩形纸片中，若边，．
①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明；
②当时，请求出此时的长度．
(3)【拓展提升】
如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________．中小学教育资源及组卷应用平台
江苏省南京市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】正负数的定义、有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值
【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念．
先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案．
【详解】解：A. ，该选项结果为正数，不符合题意；
B. ，该选项结果为负数，符合题意；
C.0既不是正数，也不是负数，不符合题意；
D. ，该选项结果为正数，不符合题意．
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算
【分析】本题考查二次根式的减法，同底数幂乘法运算，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算进行判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原式错误，故此选项不符合题意；
D、，原式错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．估计的运算结果应在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】D
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算、不等式的性质
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握并明确．由题意知，，然后根据不等式的性质进行求解判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴的运算结果在7到8之间，
故选：D．
4．如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（ ）
A．4 B． C．9 D．11
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键．
如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点O
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
点在外部，即，
∴，
故选：C ．
5．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、正多边形和圆的综合
【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确．
【详解】解：如图所示：

∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；
∴，，
∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；
∵六边形是正六边形，
∴，，，，
∴，和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∴，故③说法正确；
故选．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．
6．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上不存在“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值、y=ax +bx+c的图象与性质、求反比例函数值
【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2，
故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确；
②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误；
③若直线的“方内点”有两个，
由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上，
如图，当时，，即直线过定点，
当时，直线与有无数个“方内点”，
对于直线，把点代入中，，
解得：，
当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确；
④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图；
当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时：，解得：（舍去）；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时，整理得：，
解得：（舍去）；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时，整理得：，
解得：（舍去）；
综上，a的值恰有三个，分别为，
故④正确；
故正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
8．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键．
根据分式有意义，分母不为零得到，即可求解．
【详解】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：，
故答案为：．
9．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再将变形为，最后整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∵
．
故答案为：．
10．定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ．
【答案】或
【知识点】二次根式的混合运算、两点间的距离
【分析】本题考查了线段上两点间的距离，二次根式的计算，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在线段上的位置，故要分情况讨论：当时，及当时，然后进行求解即可．
【详解】解：分两种情况考虑，
①当时，
根据题意设，则，
∵，
∴，
解得，
即；
②当时，
同理可得，
故答案为：或．
11．代数式和代数式的值相等，则 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】解：由题可得：，
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是所列方程的根，
故答案为：1．
12．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米．
【答案】20
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了求反比例函数值，解一元一次不等式，
将代入得，求出解集可得答案.
【详解】解：∵，且，
∴，
解得.
所以房间的最大面积是20平方米.
13．如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质及，得出，再判定，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
14．如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ．
【答案】12
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握勾股定理，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形周长，是解题的关键．
根据勾股定理得，根据角平分线定义得，可得，得，得，，即得的周长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
由作图知，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：12．
15．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、求角的正切值
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，连接，则，设小菱形的边长是a，由是等边三角形，得到，由，，得到于是．
【详解】解：连接，则，
设小菱形的边长是a，
∵菱形的锐角是，
∴是等边三角形，
∴，
过点D作
∵
∴
∴
∴，
∴．
故答案为：．
16．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先由抛物线得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据与抛物线始终有交点，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，可得不等式组，然后解不等式组即可得．
【详解】解：由抛物线，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
画出图形如下：
∵与抛物线始终有交点，
∴，
∵如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，
∴，
联立：，
解得，
∴的取值范围为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集是．
18．（7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键．
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；
（2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到，
∴．
（2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，
∴函数的图象在的图象和的图象之间，
∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0，
∴，．
20．（8分）如图，内接于，是的直径，D是劣弧的中点，连接，过点A作的切线交的延长线于点P．
(1)求证：；
(2)连接，当时，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】（1）连接，则，得到，然后根据圆周角定理 ，而，即可证明；
（2）先证明，证明是等边三角形， 则，再证明是等边三角形即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是劣弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
21．（8分）七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．
(1)从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是_______；
(2)从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、
【答案】(1)； (2)．
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用简单的概率公式求解即可；
（2）画出表格，得出共有种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，选中鲁班锁的概率是，
故答案为：；
（2）解：1个七巧板和1个鲁班锁分别用、表示，2个九连环分别用，表示，列表如下：
共有种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为，
∴选中的2个盒子里都是九连环的概率为：．
22．（8分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中的值是______；
(2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
【答案】(1)50，32
(2)10，15
(3)864人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数
【分析】本题主要考查了抽样调查．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键．
（1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，即得．
【详解】（1）解：∵（人），，
∴本次接受随机调查的学生有50人，图①中的值是32．
故答案为：50，32．
（2）∵10元组16人，人数最多，
∴众数为10元，
∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且，，
∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，
∴中位数为15元．
故答案为：10，15．
（3）（人），
故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人．
23．（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的长及的值．
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24．（8分）如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G．
(1)当时，与的数量关系为_______；
(2)如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值；
(3)当运动时间时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接，证明可得结论；
（2）过E作于P，则四边形 为矩形，可得，，证明为等腰直角三角形．则，；由求解即可；
（3）如图2，先根据勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：．
证明：连接，
∵四边形是矩形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
过E作于P，则．
∴四边形 为矩形，
∴，，
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴；
由题意得：．
∴，
即；
（3）解：如上图2，则， ，，
∴，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴．
25．（8分）如图抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为；
(2)点M的坐标为；
(3)的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
（3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可．
【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：∵点，对称轴为直线，
∴点，
∵，，
∴长为定值，
作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M，
则，
∴，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点M的坐标为；
（3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，，
∵等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，1为半径的上，
，
当点在线段上时，有最小值为；
当点在射线上时，有最大值为；
∴的取值范围为．
26．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使；
(2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、画旋转图形、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求；
（2）如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求；
可证明，则线段即为所求；
可证明，则，则点E即为所求；
（2）解：如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求；
可证明，则，
可证明，则，则线段即为所求；
可证明且直线到直线的距离等于直线到直线的矩形，
则平分，又有平分，则四边形是平行四边形，则．
27．（10分）综合与实践
折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题：
【问题情境】
如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
(1)【活动猜想】
如图2，当点与点重合时，那么四边形是哪种特殊的四边形？请说明理由．
(2)【问题解决】
在矩形纸片中，若边，．
①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明；
②当时，请求出此时的长度．
(3)【拓展提升】
如图4，在正方形中，，对角线，相交于点．点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到．若点为的中点，则的面积为________．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)①，证明见解析；②或
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由折叠推出直线垂直平分，得到，，然后结合矩形的性质，证明出，即可证明出四边形是菱形；
（2）①勾股定理求出，证明出是等边三角形，进而求解即可；
②如图3，点在线段上，设交于点，首先求出，然后解直角三角形求解即可；如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，求出，勾股定理求出，进而求解即可；
（3）过点作于，作于，过点作于，如图所示，证明出，是等腰直角三角形，求出，，然后证明出，得到，然后利用勾股定理求出，，然后证明出，，然后列比例式求解即可．
【详解】（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称，
∴直线垂直平分，
∵点与点重合，
∴直线垂直平分，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）①，
证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
②的长度为或，
理由：如图3，点在线段上，设交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长度为或．
（3）解：过点作于，作于，过点作于，如图所示：
∵将沿翻折得到，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，是等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∴在等腰中，，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，，则，
在等腰中，，
在中，，
∴，即为中点，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即；，即；
∴为中点，
∴．

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