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北京市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
第I卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
根据轴对称图形与中心对称图形依次判断即可．
【详解】不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，
不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，
是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，
既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由数轴可得：，故A错误，
∴，，，故BC错误，D正确，
故选：D．
3．2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
故选：D．
4．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是对顶角，
，
，
，
故选：A．
5．若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0
【答案】A
【详解】关于的一元二次方程有一个根是0，
把x=0代入得m-1=0，
则m=1．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法与解的性质，会用一元二次方程的解解决问题是解题的关键．
6．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．

每日接待游客人数 （单位：万人） 游玩环境 评价
好
一般
拥挤
严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（ ）
① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有天；
② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在万人之间；
③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于万人；
④ 这个月日至日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他 “这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】解：①根据题意每日接待游客人数为拥挤，为严重拥挤，
由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，日至日有天，日至日有天，共天，故①正确；
②本题中位数是指将天的游客人数从小到大排列，第与第位的平均数，
根据统计图可知的有天，从而中位数位于范围内，故②错误；
③从统计图可以看出，小于且接近的有天，大于而小于的有天，及其以上的有天，
上下的估算为，及其以上的天估算为，大于且接近的估计为，
则的估计总人数为（万人），
假设这部分人平均数为万人，将多余人分给的天，
则的天每天分得，
由图可知给每个至的补上，则大部分大于，而至范围内有天接近，故平均数一定大于，故③错误；
④由图可得这天中评价为“好”的有天，分别设为，，，评价为“一般”的有天，设为，评价为“拥挤”的有天，设为，
根据题意列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
其中共有种等可能的情况，其中两次都为评价为“好”的有种，
则“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为： ，故④正确．
故选：C．
7．已知为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在边上取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．
②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． 若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵以为圆心，长为半径画弧，交于点；以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
解得：．
故选：C．
8．如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（ ）
①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B【详解】解：①，故①正确；
②由旋转的性质得，
∴．
作于点H
∴，故②不正确；
③由旋转的性质得，，
∵、、三点共线
∴，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∴，
同理可证，．
∵，
∴，
同理可证，，
∴五边形是正五边形，故⑤正确．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正多边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
第II卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：，
故答案为：．
10．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
11．方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：
去分母，得，
解得，
检验：将代入
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
12．已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ．
【答案】0
【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形，
∴，
故答案为：0．
13．目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有9位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论：
①E超额完成了目标任务；
②目标与实际完成相差最多的是G；
③H的目标达成度为；
④月度达成率超过且实际销售额大于4万元的有四个人．
其中正确的结论是： ．
【答案】①②③
【详解】解：由统计图得：
①E月初制定的目标是4万元，月末实际完成5万元，超额完成了目标任务，正确；
②G月初制定的目标是8万元，月末实际完成2万元，目标与实际完成相差最多，正确；
③H月初制定的目标是3万元，月末实际完成3万元，目标达成度为，正确；
④实际销售额大于4万元的有4个人，分别是E、B、I、C，
E月度达成率为：，
B月度达成率为：，
I月度达成率为：，
C月度达成率为：，
∴月度达成率超过且实际销售额大于4万元的有E、B、I三个人，正确；
故答案为：①②③．
14．如图，点在上，，垂足为，若．则为 ．
【答案】
【详解】解：∵圆心角和圆周角所对的弧是，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的度数是．
故答案为：．
15．如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为 ．
【答案】【详解】解：∵正方形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，是由两个好数组成的有序数对，将的各位数字中最大的数作为千位数字，将的各位数字中最小的数作为百位数字，将的各位数字中最小的数作为十位数字，将的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数，称为的衍生数，若此时（其中，，，为整数，，，，），记．则的衍生数为 ；若的衍生数为，的衍生数为，其中，（、为整数，，，），且，则 ．
【答案】
【详解】第一空：
的衍生数为，
；
故答案为：7045；
第二空：
∵有序数对中，
∴，
∵，
∴当时，，有序数对为，
∴，
∴，
∵有序数对中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，不合，不存在；
当时，有序数对为，，
衍生数为，，
∴，
∵，
∴有序数对的衍生数仍为，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
综上，．
故答案为：129．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】
【详解】解：
………………………………2分
………………………………3分
．………………………………5分
18．解不等式组：
【答案】
【详解】解：，
由①得，；………………………………2分
由②得，，………………………………4分
∴原不等式组的解集为：．………………………………5分
19．已知，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：原式．…………………… 3分
∵，
∴，………………………………4分
∴原式．………………………………5分
20．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．
由题意，得． ………………………………2分
解得． ………………………………3分
经检验，是原方程的解，且符合题意． ………………………………4分
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．………………………………5分
21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
(1)求该函数的表达式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：把代入中，
得到方程组，………………………………1分
将代入，解得，
该函数表达式为．………………………………2分
过点且平行于轴的直线方程为．
点在直线上，同时也在上，
把代入，得，………………………………3分
点的坐标为；………………………………4分
（2）解：当时，需满足，
左边不等式：
整理得：，
，
，
，则，
，即，
右边不等式：，
整理得：，
，需保证，即时成立）．
综合条件：且，故．………………………………6分
22．如图，在菱形中，、交于点，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，………………………………1分
又，
四边形是平行四边形；………………………………2分
（2）解：四边形是菱形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，………………………………3分
设，则，
，
，，
，
在中，，………………………………4分
，
，………………………………5分
．………………………………6分
23．某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
a．抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 9 10 4 2
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：
70，71，72，73，74，76，76，77，78，79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）；
(2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ；
(3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）．
【答案】(1)30、否
(2)200名
(3)，
【详解】（1）解：该抽样的样本容量为，
，
抽取学生成绩的平均数，
所以抽取学生成绩的平均数可能位于，但不能确定一定位于该组，
故答案为：30、否；………………………………2分
（2）解：全校1200名学生中，等级的人数可以估计为（名，
故答案为：200名；………………………………3分
（3）列表如下：
70 71 72 73 74
76 6 5 4 3 2
76 6 5 4 3 2
77 7 6 5 4 3
78 8 7 6 5 4
79 9 8 7 6 5
由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有3种结果，
所以他们的分数之差不低于8分的概率为；………………………………4分
甲组数据为75、76、76、77、78、79，
其平均数为，
方差，
乙组数据为70、71、72、73、74、75，
其平均数为，
方差；
，
，………………………………5分
故答案为：，．………………………………5分
【点睛】本题考查扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体及方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
24．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，取的中点，连接．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，．
………………………………1分
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．………………………………2分
∵是的直径，是的中点，则，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线．………………………………3分
（2）解：如图，连接，过作，垂足为．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，………………………………3.5分
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得，………………………………4分
设的半径为，则．
解之得．………………………………4.5分
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．………………………………5分
∵为中点，
∴．
∴，．
∴．………………………………5.5分
∴．………………………………6分
25．某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究某种化学试剂在A和B两种场景下的挥发情况，在实验过程中，当试剂挥发时间为x分钟时，场景A和场景B中剩余质量分别为克，克．
下面是数学小组在探究过程中记录的，与x的几组对应值：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 20 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象：
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当试剂挥发时间为14分钟时，场景A，场景B剩余质量的差约为______克（结果保留小数点后一位）；
②查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则______（填“”，“”或“=”）．
【答案】(1)见解析
(2)①②
【详解】（1）解：根据描点法画图象，画图如下：
………………………………2分
（2）①通过分析，发现是x的二次函数，是x的一次函数
设，
根据题意，得，
解得，
故；
设，
根据题意，得，
解得，
故；
当时，；
当时，，
故；
故答案为：；………………………………3.5分
②根据题意，当克时，
，
解得，（舍去），
∵
∴，
当克时，
，
解得，
故，
故答案为：．………………………………5分
26．已知抛物线，
(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是．………………………………2分
（2）解：设抛物线的对称轴为，
由题知， 在的右侧，在的左侧，……………………………2.5分
∵，存在，
∴点到大于 点到的距离，………………………………3分
∴到的距离为：，点到的距离为：，
∴，………………………………4分
∴，
∵，
∴，
∴，………………………………5分
∴都在函数的左侧，
∴，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小，
∵，
∴．………………………………6分
27．在中，，D是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
(1)如图1，当，连接交于点，若平分，，
①则________；________；
②求的长；
(2)如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明．
【答案】(1)①，；②
(2)，证明过程见详解
【详解】（1）解：①∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；………………………………1分
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，，，
∵是的角平分线，，
∴，
∴设，则，，
∴在中，，
∴，
由（1）可得，，则，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；………………………………2分
故答案为：，；
②根据上述计算，；………………………………4分
（2）解：，理由如下，
证明：如图所示，延长到点，使得，则，
．………………………………5分
∵点分别是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，………………………………6分
∴，
∴．………………………………7分
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，合理作出辅助线，得到全等三角形，相似三角形是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【详解】（1）解：当时，则一次函数解析式为，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为，
∵到原点的距离都为1，
∴都在上，即与一次函数的交点坐标即为，
∴“圆截距”；………………………………1分
（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点时，
∴，
∴；
………………………………2分
∵．
∴．
∴．………………………………2.5分
设与的另一个交点为C，连接，可知．
∴．即此时直线l关于的“圆截距”为．
结合图形可知．………………………………3分
如图2-2所示，当直线l经过点时，同理可得．
………………………………4分
由对称性可知此时直线l关于的“圆截距”为．………………………………4.5分
结合图形可知．………………………………5分
综上，当或时直线l关于的“圆截距”小于；
②如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．………………………………7分
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
北京市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
第I卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0
6．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．

每日接待游客人数 （单位：万人） 游玩环境 评价
好
一般
拥挤
严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（ ）
① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有天；
② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在万人之间；
③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于万人；
④ 这个月日至日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他 “这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
7．已知为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在边上取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．
②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接． 若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（ ）
①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
第II卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10．分解因式： ．
11．方程的解为 ．
12．已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ．
13．目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有9位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论：
①E超额完成了目标任务；
②目标与实际完成相差最多的是G；
③H的目标达成度为；
④月度达成率超过且实际销售额大于4万元的有四个人．
其中正确的结论是： ．
14．如图，点在上，，垂足为，若．则为 ．
15．如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为 ．
16．各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，是由两个好数组成的有序数对，将的各位数字中最大的数作为千位数字，将的各位数字中最小的数作为百位数字，将的各位数字中最小的数作为十位数字，将的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数，称为的衍生数，若此时（其中，，，为整数，，，，），记．则的衍生数为 ；若的衍生数为，的衍生数为，其中，（、为整数，，，），且，则 ．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
(1)求该函数的表达式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值．
22．如图，在菱形中，、交于点，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，求的长．
23．某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
a．抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 9 10 4 2
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：
70，71，72，73，74，76，76，77，78，79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）；
(2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ；
(3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）．
24．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，取的中点，连接．若，，求的长．
25．某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究某种化学试剂在A和B两种场景下的挥发情况，在实验过程中，当试剂挥发时间为x分钟时，场景A和场景B中剩余质量分别为克，克．
下面是数学小组在探究过程中记录的，与x的几组对应值：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 20 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象：
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当试剂挥发时间为14分钟时，场景A，场景B剩余质量的差约为______克（结果保留小数点后一位）；
②查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则______（填“”，“”或“=”）．
26．已知抛物线，
(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系．
27．在中，，D是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
(1)如图1，当，连接交于点，若平分，，
①则________；________；
②求的长；
(2)如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线l关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线l关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于的“圆截距”的最小值为，直接写出b的值．北京市 2025年初中学业水平考试数学名师预测卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
第 I卷
一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 2分，共 16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 每日接待游客人数 游玩环境
（单位：万人） 评价
A． B． 0≤x 5 好
5 x 10 一般
10 x 15 拥挤
C． D．
15 x 20 严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（ ）
2．实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有 4天；
② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5 ~10万人之间；
③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；
A．a 2 B． b 1 C．ab 0 D． a+b < 0
④ 这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他 “这两天游玩环境评
3．2024年，我国共授权发明专利 104.5万件，同比增长13.5%．将 1045000用科学记数法表示应为（ ）
3
价均为好”的可能性为 ．
A．104.5 104 B．10.45 105 C．10.45 106 D．1.045 106 10
4．如图，直线 AB，CD相交于点 O，若 AOC 50 ， BOE 35°，则 DOE的度数为（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④
7．已知 AOB为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在OA边上取一点 D，以 O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点 C，连接CD．
②以点 D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于点 E，连接DE． 若 CDE 30 ，则 AOB的度数为 （ ）
A．15 B．30 C．35 D．55
5．若关于 x的一元二次方程 x2 2x m 1 0有一个根是 0，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0
6．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位： A． 20 B．30 C． 40 D．50
万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表． 8．如图，将 A1B1O绕点O顺时针旋转 ，再将得到的VA2B2O点O顺时针旋转 ，…依次旋转下去，最终将
A5B5O绕点O顺时针旋转 ，得到 A1B1O．若点 Bi 1在线段 AiBi上 i 1, 2,3, 4 ，点 B1在线段 A5B5上，且OB1 1，
则下列结论中正确的是（ ）
①E超额完成了目标任务；
②目标与实际完成相差最多的是 G；
③H的目标达成度为100%；
④月度达成率超过75%且实际销售额大于 4万元的有四个人．
① 72 ；②点O到直线 B1B2的距离为 cos54 ；③若 A2、O、B1三点共线，则 A1 18 ；④五边形 B1B2B3B4B5 其中正确的结论是： ．
是正五边形 14．如图，点 A,B,C在 O上， AC OB，垂足为D，若 A 35 ．则 C为 ．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
第 II卷
二、填空题（本大题共 8个小题，每小题 2分，共 16分）
x
9．若 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 ．
x 3
10．分解因式：mx2 4my2 ．
15．如图，正方形 ABCD中，点 E，F分别在边CD，AD上， BE与CF交于点 G．若 BC 8，DE AF 2，
1 2
11．方程 的解为 ．
x 3x 1 则GF 的长为 ．
2
12．已知点 A x1, y1 ,B x2 , y2 是反比例函数 y 与正比例函数 y 3x的两个交点，则 y1 y2 的值x
是 ．
13．目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够
帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有 9位员工（编号分别为 A I），下图是根据他们月初制
16．各数位上的数字均不相等的两位数称为好数， s,t 是由两个好数组成的有序数对，将 s的各位数字中最大
定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论：
的数作为千位数字，将 t的各位数字中最小的数作为百位数字，将 s的各位数字中最小的数作为十位数字，将 t
的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数M ，称为 s,t 的衍生数，若此时
M 1000a 100b 10c d （其中a，b，c，d为整数，1 a 9，0 b 9，0 c 9，1 d 9），记
F M 2a b c 2d ．则 47,50 的衍生数为 ；若 p,12 的衍生数为 P， 98,q 的衍生数为Q，其中
p 10x 2，q 30 y（ x、y为整数，1 x 9，4 y 8，x y），且 F P F Q 2，则 p q ．
三、解答题（本大题共 12个小题，共 68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
0
17．计算： 12 tan60 3 2 π 4 ．
2 x 2 x 3

18．解不等式组： x 1 ．
2x 2 其中扇形图中 C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120 ．
2x 6y 4
19．已知 x 3y 2 0，求代数式 c．抽取学生中等级 C的成绩数据从小到大排列：x2 6xy 9y2 x 3y的值．
70，71，72，73，74，76，76，77，78，79
20．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用
根据以上信息，回答下列问题：
无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的 6倍，若使用无人机对 600亩茶
园打药的时间比人工对 300亩茶园打药的时间少 20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． (1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数 x是否一定满足 70 x 80 （填“是”或“否”）；
21．在平面直角坐标系 xOy中，函数 y kx b k 0 的图象经过点 A 1,3 和 B 0,1 ，与过点 1,0 且平行于 y (2)全校 1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ；
(3)将抽取学生中等级为 C的 10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下
轴的直线交于点C．
的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于 8分的概率是 ；若有
(1)求该函数的表达式及点C的坐标；
2 2 2
x s s s s
2
(2)当 x 1时，对于 的每一个值，函数 y nx n 0 的值大于函数 y kx b k 两位同学成绩均为 75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为 ， ，则 ， 的大 0 的值且小于 1 1 2 1 2，直接写
2 2
出 n的取值． 小关系为： s1 s2 （填写“ ”“ ”或 “ ”）．
22．如图，在菱形 ABCD中， AC、 BD交于点O，延长CB到点 E，使 BE BC，连接 AE． 24．如图， AB是 O的直径， AC是弦，D是 AB的中点，CD与 AB交于点 E， F是 AB延长线上的一点，
且CF EF．
(1)求证：四边形 AEBD是平行四边形；
1
(2)连接OE，若 tan AEB ，OE 17 ，求 AC的长．2
23．某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞 (1)求证：CF为 O的切线；
赛成绩用 x表示，总分为 100分，共分成五个等级：A：90 x 100；B：80 x 90；C：70 x 80；D：60 x 70； 1(2)连接 BD，取 BD的中点G，连接 AG．若CF 4， tan BDC ，求 AG的长．
2
E： 50 x 60）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
25．某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究某种化学试剂在 A和 B两种场景下的挥发
a．抽取学生成绩等级人数统计表
情况，在实验过程中，当试剂挥发时间为 x分钟时，场景 A和场景 B中剩余质量分别为 y1克， y2克．
等级 A B C D E
下面是数学小组在探究过程中记录的 y1， y2 与 x的几组对应值：
人数 m 9 10 4 2
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
①则 BCE ________；CF ________；
y1（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
②求 AF 的长；
y2（克） 25 20 15 10 5 … (2)如图 2，连接 BE，取 BE的中点G，连接 AG，猜想 AG与CD存在的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系 xOy中，对于直线 l : y kx b，给出如下定义：若直线 l与某个圆相交，则两个交点之
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画 y1与 x， y2与 x之间的关系，在给出的平面直角坐标系 xOy中，画出
间的距离称为直线 l关于该圆的“圆截距”．
这两个函数的图象：
(1)如图 1， O的半径为 1，当 k 1，b 1时，直接写出直线 l关于 O的“圆截距”；
(2)点 M的坐标为 ( 1,0)，
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 4①如图 2，若 M的半径为 1，当b 1时，直线 l关于 M的“圆截距”小于 5，求 k的取值范围；
5
①当试剂挥发时间为 14分钟时，场景 A，场景 B剩余质量的差约为______克（结果保留小数点后一位）；
②如图 3，若 M的半径为 2，当 k的取值在实数范围内变化时，直线 l关于 M的“圆截距”的最小值为2 2，
②查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于 4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景 A，
直接写出 b的值．
B中发挥作用的时间分别为 xA， xB，则 xA ______ xB（填“> ”，“< ”或“=”）．
26 2．已知抛物线 y ax bx c a 0 ，
(1)若抛物线过点 3，m ， 5，m ，求抛物线的对称轴；
(2)已知点 0，y0 ， x1，y1 ， 4，y2 ， 2，n 在抛物线上，其中 2 x1 1，若存在x 使 y1 n，试比较 y0，y1，y1 2
的大小关系．
27．在VABC中， AB AC，D是边 BC上一动点，连接 AD，将 AD绕点A逆时针旋转到 AE的位置，使得
DAE BAC 180 ．
(1)如图 1，当 BAC 90 ，连接 BE交 AC于点 F ，若 BE平分 ABC， BD 2，1
北京市2025年初中学业水平考试数学名师预测卷01
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准 考证号： 贴条形码区
注意事项
1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂)
一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
9. __________________ 10．__________________
11．_________________ 12．___________________
13.__________________ 14．__________________
15. ___________________ 16.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABCQ4s4giYgEYACR4LU0VyCkuQkIITJUomgVAZqARCQJFABKA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
三、（本大题共 12 个小题，共 68 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5 分）
18. （5 分）
19. （5 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABCQ4s4giYgEYACR4LU0VyCkuQkIITJUomgVAZqARCQJFABKA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （5 分）
21.（6 分）
22.（6 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABCQ4s4giYgEYACR4LU0VyCkuQkIITJUomgVAZqARCQJFABKA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
23.（5 分）
（1）___________;_________;
（2）______________
（3）___________;__________
24.（6 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABCQ4s4giYgEYACR4LU0VyCkuQkIITJUomgVAZqARCQJFABKA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
25 .（5 分）
（1）画出 y1 和 y2 的图象
（2）①_______________;②______________
26.(6 分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABCQ4s4giYgEYACR4LU0VyCkuQkIITJUomgVAZqARCQJFABKA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
27.（7 分）
28. （7 分）
{#{QQABCQ4s4giYgEYACR4LU0VyCkuQkIITJUomgVAZqARCQJFABKA=}#}

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