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第1练　导数的概念及运算（原卷版）
一、单项选择题
1．若f(x)＝cos2x，则f′＝(　　)
A．－1 B．1
C. D.
2.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－1
3．(2025·江苏宿迁模拟)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ＝ ＝ ＝1，则 ＝(　　)
A．0 B.
C．1 D．2
4．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(－1，3)或(1，1) D．(－1，3)或(1，3)
5．若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
6．过点P(1，2)作曲线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0
7.(2025·江西抚州模拟)如图1，现有一个底面直径为10 cm，高为25 cm的圆锥容器，以2 cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为(　　)
A. cm/s B. cm/s
C. cm/s D. cm/s
8．已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝cosx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
10．若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x＞0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切线，则(　　)
A．m＝－2 B．m＝－1
C．n＝6 D．n＝7
11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
三、填空题
12．(2025·山东济南摸底)曲线y＝ln在点(0，0)处的切线方程为________．
13．(2025·重庆南开中学二检)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x－相切，则k＝________．
14．(2024·广东省四校联考)对于二元函数z＝f(x，y)，若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0)．已知二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，则f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值为________．
四、解答题
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
16．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．
17．已知曲线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．
第1练　导数的概念及运算（解析版）
一、单项选择题
1．若f(x)＝cos2x，则f′＝(　　)
A．－1 B．1
C. D.
答案：A
解析：因为f(x)＝cos2x＝，所以f′(x)＝′＝×(－sin2x)×(2x)′＝－sin2x，所以f′＝－sin＝－1.
2.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－1
答案：C
解析：设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故选C.
3．(2025·江苏宿迁模拟)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ＝ ＝ ＝1，则 ＝(　　)
A．0 B.
C．1 D．2
答案：D
解析： ＝ ＝ ＝2.故选D.
4．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(－1，3)或(1，1) D．(－1，3)或(1，3)
答案：D
解析：设切点P(x0，y0)，由f′(x)＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－1，所以3x－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，此时P(－1，3)．
5．若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由题意知，y′＝＋2x≥2，当且仅当x＝时，等号成立．因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，则＝2，解得a＝.
6．过点P(1，2)作曲线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0
答案：A
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝，得y′＝－，∴曲线C在A点处的切线方程为y－y1＝－(x－x1)，把P(1，2)代入切线方程，得2－y1＝－(1－x1)，化简得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲线C在B点处的切线方程为2x2＋y2－8＝0，∵A，B都满足直线2x＋y－8＝0，∴直线AB的方程为2x＋y－8＝0.故选A.
7.(2025·江西抚州模拟)如图1，现有一个底面直径为10 cm，高为25 cm的圆锥容器，以2 cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为(　　)
A. cm/s B. cm/s
C. cm/s D. cm/s
答案：A
解析：设注入溶液的时间为t s时，液体的高度为h cm，液面半径为r cm，作圆锥轴截面，如图所示，图中SO1为液体高度，则SO1＝h，BO1＝r，又SO＝25，AO＝5，由图可得，△SO1B∽△SOA，则＝，即＝，即r＝h，则由π··h＝2t，解得h＝，h′＝，当t＝π时，h′＝＝，即当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s.故选A.
8．已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：的最小值可转化为函数y＝ln x－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值，由y＝ln x－x＋2，可得y′＝－1，与直线x＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－，令－1＝－，得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln 2)，切点到直线x＋2y－4－2ln 2＝0的距离d＝＝.故选B.
二、多项选择题
9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝cosx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
答案：AD
解析：由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A，f′(x)＝－sinx，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于B，f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于C，f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1；对于D，f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故选AD.
10．若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x＞0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切线，则(　　)
A．m＝－2 B．m＝－1
C．n＝6 D．n＝7
答案：AD
解析：设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x＞0)相切于点(a，a3)，对于函数y＝x3(x＞0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a＞0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2；设直线y＝3x－2与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)相切于点(b，3b－2)，对于函数y＝－x2＋nx－6(x＞0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b＞0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选AD.
11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案：BC
解析：因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，故C正确；因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的图象关于点对称，所以g＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，故A错误．故选BC.
三、填空题
12．(2025·山东济南摸底)曲线y＝ln在点(0，0)处的切线方程为________．
答案：y＝2x
解析：易知函数的定义域为(－1，1)，因为y＝ln ＝ln (1＋x)－ln (1－x)，所以y′＝＋，当x＝0时，y′＝1＋1＝2，又当x＝0时，y＝0，所以曲线y＝ln 在点(0，0)处的切线方程为y＝2x.
13．(2025·重庆南开中学二检)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x－相切，则k＝________．
答案：2
解析：y＝x－，则y′＝1＋，设切点的横坐标为x0，则曲线y＝x－在x0处的切线方程为l：y－＝·(x－x0)，将x＝0，y＝－2代入，得－2－＝(－x0)，解得x0＝1，则k＝1＋＝2.
14．(2024·广东省四校联考)对于二元函数z＝f(x，y)，若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0)．已知二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，则f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值为________．
答案：－
解析：根据偏导数的定义，在求对x的偏导数时，f(x，y)中y可作为常数，即函数可看作是x的一元函数求导，同理在求对y的偏导数时，f(x，y)中x可作为常数，即函数可看作是y的一元函数求导，所以f′x(x，y)＝2x－2y，f′y(x，y)＝－2x＋3y2，f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)＝2x0－2y0－2x0＋3y＝3y－2y0＝3－，所以f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值是－.
四、解答题
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝，又f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
∴切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
16．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．
解：(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，
所以x0＝－1，k＝1－e，所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1.
17．已知曲线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．
解：由y＝x2＋2x，得y′＝2x＋2，
由y＝－x2＋a，得y′＝－2x，
设l与C1相切于点A(x1，x＋2x1)，与C2相切于点B(x2，－x＋a)，
∴l的方程为y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)或y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)，
即l的方程为y＝(2x1＋2)x－x或y＝－2x2x＋x＋a，
∴则2x＋2x1＋1＋a＝0，∴Δ＝4－8(1＋a)＝0，解得a＝－，
此时x1＝－，切线方程为y＝x－.
综上所述，当a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线，公切线的方程为y＝x－.
16

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