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第3练　导数与函数的极值、最值（原卷版）
一、单项选择题
1．(2025·内蒙古赤峰模拟)已知函数f(x)＝ex－ex，则f(x)(　　)
A．有最小值1，无最大值
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值0，无最大值
D．有最大值0，无最小值
2．(2025·安徽A10联盟摸底)若1为函数f(x)＝(x－1)2(x－a)的极大值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝cosx＋，x∈[0，π]，则函数f(x)的极小值点为(　　)
A.或 B.
C. D.
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x1x2＝(　　)
A．2 B.
C. D.
5．(2025·山东烟台摸底)若函数f(x)＝ax2－2x＋bln x(ab≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．ab< D．ab>0
6．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M＞1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是(　　)
A．二进制 B．三进制
C．八进制 D．十进制
7．若函数f(x)＝的最小值是－1，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，＋∞)
8．已知函数f(x)＝e2x，g(x)＝ln x＋分别与直线y＝a交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．1－ln 2 B．1＋ln 2
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
二、多项选择题
9.(2025·福建三明模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的部分图象如图，则对于函数y＝f(x)的描述正确的是(　　)
A．在(－2，－1)上单调递增
B．在(1，2)上单调递增
C．x＝－1为极值点
D．x＝1为极值点
10．(2025·皖南八校摸底)设函数f(x)＝(x－a)2(x－4)，定义域为R，若关于x的不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥4，或x＝1}，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的极大值为0
B．点(2，－2)是曲线y＝f(x)的对称中心
C．直线y＝9x－4与函数f(x)的图象相切
D．若函数f(x)在区间(m，4)上存在最小值，则m的取值范围为(0，3)
11．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
三、填空题
12．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
13．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln (2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则销售B商品需投入________千元．
14．已知函数f(x)＝若存在实数a＜b＜c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则af(a)＋bf(b)＋cf(c)的最大值是________．
四、解答题
15．已知x＝1为函数f(x)＝x2－3x－logax的极值点．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极小值．
16．(2025·安徽顶尖名校联考)已知函数f(x)＝2(x－1)ex－ax2.
(1)求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＝e2，求函数f(x)在[1，3]上的最值．
17．已知函数f(x)＝x(x－m)2，m∈R.
(1)当m＝2时，求f(x)在上的值域；
(2)若f(x)的极大值为4，求实数m的值．
18．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝aln x＋－x.
(1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程；
(2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围．
19．(2024·广东汕头一模)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
第3练　导数与函数的极值、最值（解析版）
一、单项选择题
1．(2025·内蒙古赤峰模拟)已知函数f(x)＝ex－ex，则f(x)(　　)
A．有最小值1，无最大值
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值0，无最大值
D．有最大值0，无最小值
答案：C
解析：因为f(x)＝ex－ex，所以f′(x)＝ex－e.当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(1)＝0，无最大值．故选C.
2．(2025·安徽A10联盟摸底)若1为函数f(x)＝(x－1)2(x－a)的极大值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：由函数f(x)＝(x－1)2(x－a)，可得f′(x)＝(x－1)(3x－2a－1)，令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝，因为1是函数f(x)的一个极大值点，则满足>1，解得a>1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．故选C.
3．已知函数f(x)＝cosx＋，x∈[0，π]，则函数f(x)的极小值点为(　　)
A.或 B.
C. D.
答案：D
解析：由f(x)＝cosx＋求导得，f′(x)＝－sinx＋，又x∈[0，π]，由f′(x)＝0可得x＝或x＝，当00，f(x)在上单调递增；当0，f(x)在上单调递增．故f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值．即函数f(x)的极小值点为.故选D.
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x1x2＝(　　)
A．2 B.
C. D.
答案：C
解析：由题意得解得所以f(x)＝x3－3x2＋2x，可得f′(x)＝3x2－6x＋2，又由题图可得x1，x2是函数f(x)的极值点，即x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1x2＝.故选C.
5．(2025·山东烟台摸底)若函数f(x)＝ax2－2x＋bln x(ab≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．ab< D．ab>0
答案：C
解析：由f(x)＝ax2－2x＋bln x(ab≠0)，x>0，得f′(x)＝2ax－2＋＝，令g(x)＝2ax2－2x＋b(ab≠0)，Δ＝4－8ab，若Δ＝4－8ab≤0，此时f(x)单调，不存在极值点，所以4－8ab>0，即ab<，由于f(x)有唯一极值点，故g(x)有正根、负根各一个，则<0，故ab<0，结合选项知ab<一定成立．故选C.
6．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M＞1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是(　　)
A．二进制 B．三进制
C．八进制 D．十进制
答案：B
解析：因为f(x)＝＝＝·，可得f′(x)＝·，当00，当x>e时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而f(2)＝f(4)，故可得f(3)＞f(2)＞f(8)＞f(10)．则表达效率最高的是三进制．故选B.
7．若函数f(x)＝的最小值是－1，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，＋∞)
答案：B
解析：当x≥0时，f(x)＝2x3－3x2，f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－1.因为y＝f(x)的最小值为－1，所以当x＜0时，f(x)min≥－1，当x＜0时，f(x)＝(x－m)2－2.①若m≥0，f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)＞f(0)＝m2－2，m2－2≥－1，得m≥1；②若m＜0，f(x)在(－∞，m)上单调递减，在(m，0)上单调递增，f(x)min＝f(m)＝－2，舍去．综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．故选B.
8．已知函数f(x)＝e2x，g(x)＝ln x＋分别与直线y＝a交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．1－ln 2 B．1＋ln 2
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
答案：B
解析：由题意，得A，B(e a－，a)，由图可知ea－>ln a，且a>0，所以|AB|＝e a－－ln a，令h(x)＝e x－－ln x(x>0)，则当h′(x)＝e x－－＝0时，解得x＝，所以当0时，h′(x)>0，则h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以h(x)min＝h＝1＋，即|AB|min＝1＋ln 2.故选B.
二、多项选择题
9.(2025·福建三明模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的部分图象如图，则对于函数y＝f(x)的描述正确的是(　　)
A．在(－2，－1)上单调递增
B．在(1，2)上单调递增
C．x＝－1为极值点
D．x＝1为极值点
答案：BC
解析：由y＝f′(x)的图象可得，当x<－3或－13时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－3)和(－1，3)上单调递增，在(－3，－1)和(3，＋∞)上单调递减，所以x＝－3和x＝3为极大值点，x＝－1为极小值点．所以A，D错误，B，C正确．故选BC.
10．(2025·皖南八校摸底)设函数f(x)＝(x－a)2(x－4)，定义域为R，若关于x的不等式f(x)≥0的解集为{x|x≥4，或x＝1}，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的极大值为0
B．点(2，－2)是曲线y＝f(x)的对称中心
C．直线y＝9x－4与函数f(x)的图象相切
D．若函数f(x)在区间(m，4)上存在最小值，则m的取值范围为(0，3)
答案：ABC
解析：对于A，因为由f(x)＝(x－a)2(x－4)≥0，解得x≥4或x＝a，所以a＝1，f(x)＝(x－1)2(x－4)，则f′(x)＝2(x－1)·(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，当x∈(1，3)时，f′(x)<0；当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，可知f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以函数f(x)的极大值为f(1)＝0，故A正确；对于B，因为f(2＋x)＋f(2－x)＝(x＋1)2(x－2)＋(1－x)2(－x－2)＝－4，故B正确；对于C，设切点为(x0，y0)，
则解得所以直线y＝9x－4与函数f(x)的图象相切于点(0，－4)，故C正确；对于D，f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，且f(x)的极小值为f(3)＝－4，令f(x)＝－4，解得x＝0或x＝3，函数f(x)在区间(m，4)上存在最小值，由图可知，m的取值范围为[0，3)，故D错误．故选ABC.
11．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：ABC
解析：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0＋0＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，解法一：不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误．解法二：当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln |x|(x≠0)，则f(x)＝当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)，令f′(x)<0，得00，得x>e－.故f(x)在(0，e－)上单调递减，在(e－，＋∞)上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－e－，0)上单调递增，在(－∞，－e－)上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误．故选ABC.
三、填空题
12．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)
解析：由y′＝ex＋a＝0得x＝ln (－a)(a<0)，显然x＝ln (－a)为函数的极小值点，又ln (－a)>0，∴－a>1，即a<－1.
13．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝4ln (2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则销售B商品需投入________千元．
答案：
解析：设投入销售B商品的资金为x千元(0≤x≤5)，则投入销售A商品的资金为(5－x)千元，所获得的总收益为S(x)千元，则S(x)＝2(5－x)＋4ln (2x＋1)＝4ln (2x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)，可得S′(x)＝4×－2＝，当0≤x<时，可得S′(x)>0，函数S(x)单调递增；当14．已知函数f(x)＝若存在实数a＜b＜c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则af(a)＋bf(b)＋cf(c)的最大值是________．
答案：2e2－12
解析：作出f(x)的函数图象如图所示，∵存在实数a＜b＜c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，∴a＋b＝－6，∴af(a)＋bf(b)＋cf(c)＝(a＋b＋c)f(c)＝(c－6)ln c，由函数图象可知，四、解答题
15．已知x＝1为函数f(x)＝x2－3x－logax的极值点．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极小值．
解：(1)f′(x)＝2x－3－，
由f′(1)＝0，得ln a＝－1，
所以a＝.
(2)由(1)，得f(x)＝x2－3x＋ln x，
此时f′(x)＝＝，
f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)的极小值为f(1)＝－2.
16．(2025·安徽顶尖名校联考)已知函数f(x)＝2(x－1)ex－ax2.
(1)求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＝e2，求函数f(x)在[1，3]上的最值．
解：(1)由函数f(x)＝2(x－1)ex－ax2，可得f′(x)＝2xex－2ax＝2x(ex－a)，
可得f′(0)＝0，且f(0)＝－2，
所以切线的斜率为k＝0，切点为(0，－2)，
则所求切线方程为y＝－2.
(2)由(1)知，当a＝e2时，可得f′(x)＝2x(ex－e2)，x∈[1，3]，
当x∈[1，2)时，f′(x)<0，函数f(x)在[1，2)上单调递减；
当x∈(2，3]时，f′(x)>0，函数f(x)在(2，3]上单调递增，
而f(1)＝－e2，f(2)＝－2e2，f(3)＝4e3－9e2，
故函数f(x)在[1，3]上的最大值为4e3－9e2，最小值为－2e2.
17．已知函数f(x)＝x(x－m)2，m∈R.
(1)当m＝2时，求f(x)在上的值域；
(2)若f(x)的极大值为4，求实数m的值．
解：(1)当m＝2时，f(x)＝x(x－2)2，
f′(x)＝(3x－2)(x－2)，令f′(x)>0，
得x<或x>2，令f′(x)<0，得∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又f＝，f(2)＝0，f(－1)＝－9∴f(x)在上的值域为.
(2)f′(x)＝(3x－m)(x－m)，令f′(x)＝0，
解得x＝m或x＝.
当m＝0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值，舍去；
当m<0时，令f′(x)>0，得x，令f′(x)<0，得m当m>0时，令f′(x)>0，得x<或x>m，令f′(x)<0，得故f＝＝4，解得m＝3.
综上，实数m的值为3.
18．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝aln x＋－x.
(1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程；
(2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝ln x－－x，其中x>0，
则f′(x)＝＋－1＝，
令f′(x)＝2，得＝2，
化简得3x2－x－2＝(x－1)(3x＋2)＝0，
解得x＝1(负值舍去)，又f(1)＝－3，则切线过点(1，－3)，
所以切线方程为y＋3＝2(x－1)，即2x－y－5＝0.
(2)由题可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＝，
因为x＝1是f(x)的极小值点，
所以f′(1)＝－1＋a－b＝0，则a＝b＋1，
则f′(x)＝
＝－，
若b≤0，令f′(x)>0，得x∈(0，1)，
令f′(x)<0，得x∈(1，＋∞)，
则f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
得x＝1是f(x)的极大值点，不满足题意；
若00，得x∈(b，1)，
令f′(x)<0，得x∈(0，b)∪(1，＋∞)，
则f(x)在(b，1)上单调递增，在(0，b)，(1，＋∞)上单调递减，
得x＝1是f(x)的极大值点，不满足题意；
若b＝1，则f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值点，不满足题意；
若b>1，令f′(x)>0，得x∈(1，b)，令f′(x)<0，得x∈(0，1)∪(b，＋∞)，
则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0，1)，(b，＋∞)上单调递减，
得x＝1是f(x)的极小值点，满足题意．
综上，x＝1是f(x)的极小值点时，b的取值范围是(1，＋∞)．
19．(2024·广东汕头一模)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，函数f(x)＝－x－，
求导得f′(x)＝－1，则f′(e)＝－1，而f(e)＝－e－，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－＝(x－e)，即y＝x－.
(2)函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x的定义域为(0，＋∞)，
求导得f′(x)＝a＋－
＝＝，
当a≤0时，ax－1<0，由f′(x)>0，得01，
则函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，函数f(x)只有极大值f(1)，不符合题意；
当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝，
①若0<<1，即a>1，由f′(x)>0，得01，由f′(x)<0，得则函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
因此函数f(x)的极大值为f，极小值为f(1)，符合题意；
②若>1，即00，得0，由f′(x)<0，得1则函数f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减，
因此函数f(x)的极大值为f(1)，极小值为f，符合题意；
③若＝1，即a＝1，由f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值，不符合题意．
综上，实数a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)．
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