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第1练　任意角、弧度制及任意角的三角函数（原卷版）
一、单项选择题
1．将－1845°改写成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－10π＋ B．－10π－
C．－12π＋ D．－12π＋
2．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．(2025·重庆南开中学第二次质检)已知p：角α与角β的终边关于直线y＝x对称，q：α＋β＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是米，“弓”所在圆的半径为1.25米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为(　　)
A.米 B.米
C.米 D.米
5．(2025·北京西城区模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P，则角α的一个可能值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
7．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0，2π)，则角α的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
8．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为R的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB面积的比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品(如图)的面积与圆面积的比值为(　　)
A. B.
C. D.－2
二、多项选择题
9．已知x∈，则函数y＝＋－的值可能为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
10．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　)
A．sinθ＝－
B．α为钝角
C．cosα＝－
D．点(tanθ，sinα)在第一象限
11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，1为半径的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　)
A. B.
C. D.
三、填空题
12.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
13．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们都与扇形的半径的大小无关；
③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
④若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的序号是________．
14．(2024·广东广州二模)如图，在平面直角坐标系xOy中放置着一个边长为1的等边三角形PAB，且满足PB与x轴平行，点A在x轴上．现将△PAB沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则f(x)的最小正周期为________；y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为________．
四、解答题
15．设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆交于点A，它的终边与单位圆交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tanα的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
第1练　任意角、弧度制及任意角的三角函数（解析版）
一、单项选择题
1．将－1845°改写成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－10π＋ B．－10π－
C．－12π＋ D．－12π＋
答案：C
解析：因为－1845°＝－6×360°＋315°，所以－1845°转化成弧度为－12π＋.
2．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，∵＝－cos，∴cos<0.综上可知，为第二象限角．故选B.
3．(2025·重庆南开中学第二次质检)已知p：角α与角β的终边关于直线y＝x对称，q：α＋β＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若角α与角β的终边关于直线y＝x对称，则＝kπ＋，k∈Z，故α＋β＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，有α＋β＝，故p是q的必要不充分条件．
4.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是米，“弓”所在圆的半径为1.25米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为(　　)
A.米 B.米
C.米 D.米
答案：C
解析：根据题意作出右图，的长为，∠AOC＝＝，所以AB＝2AD＝2×1.25sin＝.故选C.
5．(2025·北京西城区模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P，则角α的一个可能值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案：B
解析：因为α的终边经过点P，所以tanα＝＝＝，所以角α的一个可能值为.
6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案：B
解析：因为r＝，所以cosα＝＝－，所以m>0，且＝，因此m＝.
7．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0，2π)，则角α的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案：B
解析：因为点P在第一象限，所以即由tanα＞0，可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sinα＞cosα，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是∪.
8．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为R的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB面积的比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品(如图)的面积与圆面积的比值为(　　)
A. B.
C. D.－2
答案：D
解析：设扇形OAB的圆心角为α，由题意可得＝，解得α＝(3－)π，所以扇形OAB的面积为αR2＝πR2.则一个按题中方法制作的扇环形装饰品(如题图)的面积与圆面积的比值为＝－2.故选D.
二、多项选择题
9．已知x∈，则函数y＝＋－的值可能为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
答案：BC
解析：x∈，当x在第一象限时，y＝＋－＝1＋1－1＝1；当x在第二象限时，y＝＋－＝1－1＋1＝1；当x在第三象限时，y＝＋－＝－1－1－1＝－3；当x在第四象限时，y＝＋－＝－1＋1＋1＝1.故选BC.
10．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　)
A．sinθ＝－
B．α为钝角
C．cosα＝－
D．点(tanθ，sinα)在第一象限
答案：ACD
解析：角θ的终边经过点(－2，－)，sinθ＝－，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，则α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－，B错误，C正确；因为tanθ＝>0，sinα＝>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．
11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，1为半径的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　)
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，锐角∠Q1OP＝，设t时刻Q与P重合，则5t－2t＝＋2kπ(k∈N)，即t＝＋(k∈N)，此时点Q，即Q(k∈N)，当k＝0时，Q，故A正确；当k＝1时，Q，即Q，故B正确；当k＝2时，Q，即Q，故D正确．由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD.
三、填空题
12.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
答案：
解析：∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为.
13．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们都与扇形的半径的大小无关；
③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
④若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的序号是________．
答案：②
解析：举反例：第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错误；②正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故③错误；当θ＝π时，cosθ＝－1<0，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故④错误．综上可知，只有②正确．
14．(2024·广东广州二模)如图，在平面直角坐标系xOy中放置着一个边长为1的等边三角形PAB，且满足PB与x轴平行，点A在x轴上．现将△PAB沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚动，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则f(x)的最小正周期为________；y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为________．
答案：3　＋
解析：设P，如图，当△PAB沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚动时，开始时，P先绕A旋转，当B旋转到B1时，P旋转到P1，此时P1，然后再以B1为圆心旋转，旋转后P旋转到P2，此时P2，当三角形再旋转时，P不旋转，此时A旋转到A2，当三角形再旋转时，必以A2为圆心旋转，旋转后P旋转到P3，点P从开始到B2时是一个周期，故y＝f(x)的周期为MN＝3，xP2，xP4为y＝f(x)相邻的两个零点，y＝f(x)在[xP2，xP4]上的图象与x轴围成的图形的面积为2×××12＋×12＝＋.
四、解答题
15．设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
解：(1)α1＝－350°＝－＝－＝－2π＋，α2＝860°＝＝＝4π＋.
∴α1的终边在第一象限，α2的终边在第二象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，
设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，
∵－720°<θ＜0°，
∴－720°∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°之间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－420°，且在－720°～0°之间与β2有相同终边的角是－60°.
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆交于点A，它的终边与单位圆交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tanα的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得B，
根据三角函数的定义得tanα＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.
(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα，
故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈.
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