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第2练　同角三角函数的基本关系与诱导公式（原卷版）
一、单项选择题
1．(2025·山东枣庄三中质检)已知tanα＝，且α∈，则sinα＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
2．若角α的终边在第三象限，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
3．已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cosα＋3sinα＝0，则b－3a＝(　　)
A．－7 B．－5
C．5 D．7
4．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
5．设sin25°＝a，则sin65°cos115°tan205°＝(　　)
A. B．－
C．－a2 D．a2
6．已知角α的终边上一点的坐标为，则α的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
7．若＝，则sin2α－sinαcosα－3cos2α＝(　　)
A. B.
C. D．－
8．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cosθ，b＝sinθ＋cosθ，c＝cosθ－sinθ，对方的三个数以及排序如表：
第一局 第二局 第三局
2 tanθ sinθ
若0<θ<，则我方必胜的排序是(　　)
A．a，b，c B．b，c，a
C．c，a，b D．c，b，a
二、多项选择题
9．(2025·黑龙江佳木斯模拟)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ的值可能是(　　)
A．－ B．－
C. D.
10．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sinC
B．sin＝cos
C．tan(A＋B)＝－tanC
D．cos(A＋B)＝cosC
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sinβ＝ B．cos(π＋β)＝
C．tanβ＝ D．tanβ＝
三、填空题
12．sin(－570°)＋cos(－2640°)＋tan1665°＝________．
13．(2025·山西太原五中模拟)已知sinθ＝，则＝________．
14．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin138°，cos138°)，则tan(α＋18°)＝________．
四、解答题
15．(2025·重庆一中质检)已知<α<π，tanα－＝－.
求：(1)tanα的值；
(2)的值．
16．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．
17．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
第2练　同角三角函数的基本关系与诱导公式（解析版）
一、单项选择题
1．(2025·山东枣庄三中质检)已知tanα＝，且α∈，则sinα＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案：A
解析：∵tanα＝，∴sin2α＝＝＝＝，∵α∈，∴sinα<0，∴sinα＝－.故选A.
2．若角α的终边在第三象限，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
答案：B
解析：因为角α的终边在第三象限，所以sinα<0，cosα<0，所以原式＝＋＝－3.
3．已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cosα＋3sinα＝0，则b－3a＝(　　)
A．－7 B．－5
C．5 D．7
答案：A
解析：因为cosα＋3sinα＝0，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－，又因为tanα＝＝，所以a＝，b＝－6，所以b－3a＝－7.故选A.
4．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案：A
解析：cos＝cos＝sin＝.
5．设sin25°＝a，则sin65°cos115°tan205°＝(　　)
A. B．－
C．－a2 D．a2
答案：C
解析：因为sin65°＝cos25°，cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，tan205°＝tan(180°＋25°)＝tan25°＝，所以sin65°cos115°·tan205°＝－sin225°＝－a2.
6．已知角α的终边上一点的坐标为，则α的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为＝－，所以sin＝sin＝cos，而cos＝cos＝sin，所以角α终边上的点的坐标可写为，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，因此α的最小正值为－＋2π＝.故选D.
7．若＝，则sin2α－sinαcosα－3cos2α＝(　　)
A. B.
C. D．－
答案：C
解析：由＝，得＝，即tanα＝－3，所以sin2α－sinαcosα－3cos2α＝＝＝.故选C.
8．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cosθ，b＝sinθ＋cosθ，c＝cosθ－sinθ，对方的三个数以及排序如表：
第一局 第二局 第三局
2 tanθ sinθ
若0<θ<，则我方必胜的排序是(　　)
A．a，b，c B．b，c，a
C．c，a，b D．c，b，a
答案：D
解析：因为当0<θ<时，sinθ>0，cosθ>0，tanθ>0，sinθ－tanθ＝<0，所以sinθ1，所以b＝sinθ＋cosθ>1>tanθ，a＝cosθ>sinθ，c＝cosθ－sinθ<2，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是c，b，a.故选D.
二、多项选择题
9．(2025·黑龙江佳木斯模拟)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ的值可能是(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：AD
解析：因为sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，则－·sinθ＝cosθ，可得tanθ＝－，又θ∈，所以θ＝－或θ＝.故选AD.
10．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sinC
B．sin＝cos
C．tan(A＋B)＝－tanC
D．cos(A＋B)＝cosC
答案：ABC
解析：在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；sin＝sin＝cos；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC.
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sinβ＝ B．cos(π＋β)＝
C．tanβ＝ D．tanβ＝
答案：AC
解析：∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，若α＋β＝，则β＝－α.sinβ＝sin＝cosα＝±，故A符合条件；cos(π＋β)＝－cos＝－sinα＝－，故B不符合条件；tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±，故C符合条件；tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±，故D不符合条件．故选AC.
三、填空题
12．sin(－570°)＋cos(－2640°)＋tan1665°＝________．
答案：1
解析：原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2640°＋2880°)＋tan(1665°－1620°)＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝－＋1＝1.
13．(2025·山西太原五中模拟)已知sinθ＝，则＝________．
答案：
解析：原式＝＝＝＝＝.
14．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin138°，cos138°)，则tan(α＋18°)＝________．
答案：－
解析：因为cos138°<0，sin138°>0，所以点P在第四象限，即α为第四象限角，由三角函数定义得tanα＝＝＝＝＝tan(－48°)，所以α＝－48°＋k·360°，k∈Z，所以tan(α＋18°)＝tan(－48°＋k·360°＋18°)＝tan(－30°)＝－(k∈Z)．
四、解答题
15．(2025·重庆一中质检)已知<α<π，tanα－＝－.
求：(1)tanα的值；
(2)的值．
解：(1)令tanα＝x，则x－＝－，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝或x＝－2，
即tanα＝或tanα＝－2，
因为<α<π，所以tanα<0，故tanα＝－2.
(2)原式＝＝tanα＋1＝－2＋1＝－1.
16．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．
解：(1)∵－<α<0，∴sinα<0，
∴f(α)＝sinα－sinα·－1＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.
(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，
即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－.
又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，
∴sinα－cosα<0.
∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，
∴sinα－cosα＝－.
解法二：联立方程
解得或
∵－<α<0，∴
∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－.
17．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解：存在．
由sin(3π－α)＝cos，
得sinα＝sinβ，①
由cos(－α)＝－cos(π＋β)，
得cosα＝cosβ，②
∴sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，
∴1＋2cos2α＝2，∴cos2α＝，
又α∈，∴cosα＝，
从而α＝或－，
当α＝时，由①知sinβ＝，
由②知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，
当α＝－时，由①知sinβ＝－，
与β∈(0，π)矛盾，舍去．
∴存在α＝，β＝，符合题意．
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