资源简介

第3练　简单的三角恒等变换（原卷版）
一、单项选择题
1．－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝(　　)
A. B.
C. D.
2．已知钝角α满足sinα＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
3．(2025·陕西咸阳模拟)已知角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点P(1，－2)，则sin2α＋cos2α＝(　　)
A. B．－
C．－ D．－
4．(2025·江苏宿迁模拟)若tan＝2，则sin2α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
5．(2025·湖南长沙联考)已知sin(α＋β)＝－，＋＝2，则sinαsinβ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
6．已知cos＝，α∈，则cos＝(　　)
A. B.
C．－ D.
7．已知sin＝－，x∈，则tan＝(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
8．(2024·河南新乡一中二模)已知sin(130°＋α)＝2cos20°cosα，则tan(α＋45°)＝(　　)
A．－2＋ B．2－
C．2＋ D．－2－
二、多项选择题
9．(2025·重庆南开中学第二次质检)已知α，β∈，tan2α＝－，tan(α＋β)＝7，则下列说法正确的是(　　)
A．tanα＝2 B．tanβ＝
C．β＝α＋ D．β＝α－
10．下列各式中，值为的是(　　)
A．sinsin B.－cos215°
C.＋ D．cos72°cos36°
11．已知≤α≤π，π≤β≤，sin2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　)
A．cosα＝－ B．sinα－cosα＝
C．β－α＝ D．cosαcosβ＝－
三、填空题
12．已知sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝，α为第三象限角，则cos＝________．
13．(2025·江淮十校联考)已知cos2x＝cos2，则tanx＝________．
14．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝＋1，则sin(α＋β)＝________．
四、解答题
15．已知α∈，sinα＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
16．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos的值．
17．(2025·深圳中学模拟)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α与tan2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
第3练　简单的三角恒等变换（解析版）
一、单项选择题
1．－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2．已知钝角α满足sinα＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：由α为钝角，可知cosα<0，所以cosα＝－＝－，所以cos＝(cosα－sinα)＝×＝－.故选B.
3．(2025·陕西咸阳模拟)已知角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点P(1，－2)，则sin2α＋cos2α＝(　　)
A. B．－
C．－ D．－
答案：C
解析：因为角α的终边经过点P(1，－2)，所以sinα＝＝，cosα＝＝，所以sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋2cos2α－1＝2××＋2×－1＝－.故选C.
4．(2025·江苏宿迁模拟)若tan＝2，则sin2α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：由tan＝＝2，得tanα＝－3，所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝－.故选B.
5．(2025·湖南长沙联考)已知sin(α＋β)＝－，＋＝2，则sinαsinβ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：因为sin(α＋β)＝－，＋＝＋＝＝＝2，所以sinαsinβ＝－.故选A.
6．已知cos＝，α∈，则cos＝(　　)
A. B.
C．－ D.
答案：C
解析：因为α∈，所以α＋∈，又cos＝，所以sin＝＝，所以cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－.故选C.
7．已知sin＝－，x∈，则tan＝(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
答案：B
解析：因为x∈，所以x＋∈，由sin＝－<0，得x＋∈，因此cos＝－，所以tan＝，由二倍角公式可得tan＝＝，tan＝－tan＝－tan＝－.故选B.
8．(2024·河南新乡一中二模)已知sin(130°＋α)＝2cos20°cosα，则tan(α＋45°)＝(　　)
A．－2＋ B．2－
C．2＋ D．－2－
答案：A
解析：sin(130°＋α)＝sin[150°＋(α－20°)]＝cos(α－20°)－sin(α－20°)，2cos20°cosα＝cos(α＋20°)＋cos(α－20°)，因为sin(130°＋α)＝2cos20°cosα，所以cos(α－20°)－sin(α－20°)＝cos(α＋20°)＋cos(α－20°)，所以－cos(α－20°)－sin(α－20°)＝cos(α＋20°)，即cos[120°＋(α－20°)]＝cos(α＋20°)，即cos(100°＋α)＝cos(α＋20°)，所以100°＋α＝α＋20°＋k·360°或100°＋α＋α＋20°＝k·360°，k∈Z，所以α＝－60°＋k·180°，k∈Z，故tanα＝tan(－60°＋k·180°)＝－(k∈Z)，所以tan(α＋45°)＝＝－2.故选A.
二、多项选择题
9．(2025·重庆南开中学第二次质检)已知α，β∈，tan2α＝－，tan(α＋β)＝7，则下列说法正确的是(　　)
A．tanα＝2 B．tanβ＝
C．β＝α＋ D．β＝α－
答案：ABD
解析：由tan2α＝＝－，解得tanα＝2或tanα＝－(舍去)，故A正确；由tan(α＋β)＝＝7，解得tanβ＝，故B正确；由tan(α－β)＝＝1，且α－β∈，得α－β＝，故C错误，D正确．
10．下列各式中，值为的是(　　)
A．sinsin B.－cos215°
C.＋ D．cos72°cos36°
答案：AD
解析：对于A，sinsin＝sincos＝sin＝；对于B，－cos215°＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－≠；对于C，＋＝
＝＝＝4≠；对于D，cos72°cos36°＝
＝＝＝.故选AD.
11．已知≤α≤π，π≤β≤，sin2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　)
A．cosα＝－ B．sinα－cosα＝
C．β－α＝ D．cosαcosβ＝－
答案：BC
解析：对于A，因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin2α＝＞0，故≤2α≤π，≤α≤，所以cos2α＝－＝2cos2α－1，可得cos2α＝，可得cosα＝，故A错误；对于B，(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝，由A项分析知≤α≤，所以sinα＞cosα，所以sinα－cosα＝，故B正确；对于C，由A项分析知≤α≤，而π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－＜0，所以≤α＋β≤，所以sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝cos(α＋β)cos2α＋sin(α＋β)sin2α＝－×＋×＝－，又≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，则β－α＝，故C正确；对于D，cos(α＋β)＝－，可得cosαcosβ－sinαsinβ＝－，由C项分析知，cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，两式联立得cosαcosβ＝－，故D错误．故选BC.
三、填空题
12．已知sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝，α为第三象限角，则cos＝________．
答案：－
解析：∵sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝sin[(β－α)－β]＝－sinα＝，∴sinα＝－，又α为第三象限角，则cosα＝－，cos＝cosαcos－sinαsin＝－×＋×＝－.
13．(2025·江淮十校联考)已知cos2x＝cos2，则tanx＝________．
答案：－1或
解析：cos2x＝cos2，cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)2，即(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝(cosx＋sinx)2，当cosx＋sinx＝0时，sinx＝－cosx，tanx＝－1；当cosx＋sinx≠0时，cosx＋sinx＝2cosx－2sinx，cosx＝3sinx，tanx＝.综上，tanx＝－1或.
14．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝＋1，则sin(α＋β)＝________．
答案：－
解析：解法一：由题意，得tan(α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，则＝－2，与sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1联立，解得sin(α＋β)＝－.
解法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα＝＝，cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝cosαcosβ·(tanα＋tanβ)＝4cosαcosβ＝＝＝＝－.
四、解答题
15．已知α∈，sinα＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sinα＝，
所以cosα＝－＝－.
故sin＝sincosα＋cossinα
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.
16．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)解法一：因为cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，
所以cosβ＋sinβ＝，所以1＋sin2β＝，
所以sin2β＝－.
解法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，
所以<β－<，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×
＝.
17．(2025·深圳中学模拟)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α与tan2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tanα＝，tanα＝，
所以sinα＝cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos2α＝2cos2α－1＝－.
因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
15

展开更多......

收起↑