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第4练　简单的三角恒等变换（原卷版）
一、单项选择题
1.＝(　　)
A．－ B．1
C. D．2
2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，4)，则tan＝(　　)
A．－或2 B．2
C．－或3 D．3
4.已知在区间[0，π]上，函数y＝3sin与函数y＝的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P′，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为(　　)
A. B.
C. D.
5．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
6．(2025·安徽A10联盟摸底)若λsin140°－tan40°＝，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．4
7．(2025·安徽亳州模拟)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
8．(2025·广东佛山模拟)已知角θ满足＋＋＝0，则cos2θ的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
二、多项选择题
9．已知sin10°＝a，则－的值用a可以表示为(　　)
A. B.
C．16a D．32a
10．已知α∈(π，2π)，sinα＝＝tan，则(　　)
A．tanα＝ B．cosα＝
C．tanβ＝4 D．cosβ＝
11．下列式子中正确的是(　　)
A．cosαsinβ＝[sin(α－β)－sin(α＋β)]
B．sinθ－sinφ＝2cossin
C．tanα＋tanβ＝tan(α＋β)＋tanαtanβtan(α＋β)
D.－2cos(α＋β)＝
三、填空题
12．写出满足tan7α＝的α的一个值：________．
13．(2025·甘肃张掖模拟)已知α∈，若 β∈(0，2π)，使sin(α＋β)＋cos(α＋β)－＝(α－)2成立，则β＝________．
14．(2025·陕西西安铁一中模拟)已知α，β均为锐角，sinα＝3sinβcos(α＋β)，则tanα的最大值为________，此时tan(α＋β)的值为________．
四、解答题
15．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝.
(1)求证：sinαcosβ＝5cosαsinβ；
(2)若已知0<α＋β<，0<α－β<，求cos2α的值．
16．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)(1)求tan70°·cos10°(tan20°－1)的值；
(2)已知函数f(x)＝2cos2＋2sin(π－x)cosx－.若f＝，x0∈，求sin2x0的值．
17．(2025·广东肇庆模拟)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos3α＝4cos3α－3cosα.
(1)根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
(2)求sin18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
第4练　简单的三角恒等变换（解析版）
一、单项选择题
1.＝(　　)
A．－ B．1
C. D．2
答案：C
解析：原式＝＝＝＝.
2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝.故选D.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，4)，则tan＝(　　)
A．－或2 B．2
C．－或3 D．3
答案：B
解析：因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，4)，所以sinα＝，cosα＝－，所以tan＝＝＝2.故选B.
4.已知在区间[0，π]上，函数y＝3sin与函数y＝的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P′，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为x∈[0，π]，故∈，依题意得3sin＝＝sin＋cos，即2sin＝cos，则tan＝，所以tanx0＝＝.故选B.
5．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
答案：C
解析：解法一：∵＝，∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝sin，∵α－β∈，－α∈，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.故选C.
解法二：∵tanα＝＝＝＝＝tan，又α∈，＋∈，∴α＝＋，∴2α－β＝.故选C.
6．(2025·安徽A10联盟摸底)若λsin140°－tan40°＝，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．4
答案：D
解析：由λsin140°－tan40°＝，得λsin40°－＝，即λsin40°cos40°＝sin40°＋cos40°，即λsin80°＝2sin(40°＋60°)＝2sin80°，又sin80°>0，解得λ＝4.故选D.
7．(2025·安徽亳州模拟)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵sin2α＝2sinαcosα>0，∴sinα，cosα符号相同，又α∈，∴α∈，2α∈，由sin2α＝，可得cos2α＝－，又β∈，∴β－α∈，又sin(β－α)＝>0，∴β－α∈，∴cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝×－×＝，由α∈，β∈，得α＋β∈，∴α＋β＝.故选A.
8．(2025·广东佛山模拟)已知角θ满足＋＋＝0，则cos2θ的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：C
解析：由＋＋＝＋＋＝＋＋＝＝＝＝0，则3sin2θ－4sinθ－4＝(3sinθ＋2)·(sinθ－2)＝0，则sinθ＝－或sinθ＝2，又sinθ∈[－1，1]，故sinθ＝－，则cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.故选C.
二、多项选择题
9．已知sin10°＝a，则－的值用a可以表示为(　　)
A. B.
C．16a D．32a
答案：AD
解析：－＝＝＝＝＝，又sin30°＝sin(10°＋20°)＝sin10°cos20°＋cos10°sin20°＝sin10°(1－2sin210°)＋2sin10°cos210°＝3sin10°－4sin310°＝，所以3a－4a3＝，故6a－8a3＝1，得＝＝＝32a.
10．已知α∈(π，2π)，sinα＝＝tan，则(　　)
A．tanα＝ B．cosα＝
C．tanβ＝4 D．cosβ＝
答案：BD
解析：因为α∈(π，2π)，所以sinα≠0，又sinα＝＝，所以cosα＝＞0，故B正确；由上述可得α∈，则sinα＝－＝－，tanα＝＝－，故A错误；由已知可得tan＝－，可得tanβ＝＝－4，故C错误；cosβ＝＝＝，故D正确．故选BD.
11．下列式子中正确的是(　　)
A．cosαsinβ＝[sin(α－β)－sin(α＋β)]
B．sinθ－sinφ＝2cossin
C．tanα＋tanβ＝tan(α＋β)＋tanαtanβtan(α＋β)
D.－2cos(α＋β)＝
答案：BD
解析：对于A，[sin(α－β)－sin(α＋β)]＝(sinαcosβ－sinβcosα－sinαcosβ－sinβcosα)＝－cosαsinβ，故A错误；对于B，2cos·sin＝2cossin＝2＝2coscossincos－2sinsinsincos－2coscoscos·sin＋2sinsincossin＝cos2sinθ－sin2sinφ－cos2sinφ＋sin2sinθ＝sinθ－sinφ，故B正确；对于C，若α＝β＝，则tanα＋tanβ＝tan＋tan＝2，tan(α＋β)＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan＋tantan·tan＝－4，2≠－4，故C错误；对于D，－2cos(α＋β)＝－2cosαcosβ＋2sinαsinβ＝2cosαcosβ＋－2cosαcosβ＋2sinαsinβ＝＋2sinαsinβ＝＝＝，故D正确．故选BD.
三、填空题
12．写出满足tan7α＝的α的一个值：________．
答案：
解析：因为＝＝＝tan，所以tan7α＝tan，所以7α＝＋α＋kπ(k∈Z)，即α＝＋(k∈Z)．
13．(2025·甘肃张掖模拟)已知α∈，若 β∈(0，2π)，使sin(α＋β)＋cos(α＋β)－＝(α－)2成立，则β＝________．
答案：－
解析：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)－＝(α－)2，得sin＝(α－)2＋，设f(β)＝sin，g(α)＝(α－)2＋.依题意，－≤f(β)≤，而g(α)≥，故f(β)＝g(α)＝，由g(α)＝，α∈，得α＝，又由f(β)＝sin＝，得sin＝1，又β∈(0，2π)，则＋<＋β＋<＋，<＋<π，<＋<3π，故β＋＋＝，解得β＝－.
14．(2025·陕西西安铁一中模拟)已知α，β均为锐角，sinα＝3sinβcos(α＋β)，则tanα的最大值为________，此时tan(α＋β)的值为________．
答案：　2
解析：sinα＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝3sinβcos(α＋β)，则sin(α＋β)·cosβ＝4sinβcos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝4tanβ＝4tan(α＋β－α)＝4×，整理得tanα＝＝，因为α，β均为锐角，且3sinβcos(α＋β)＝sinα>0，即cos(α＋β)>0，所以tan(α＋β)>0，所以tan(α＋β)＋≥2＝4，当且仅当tan(α＋β)＝，即tan(α＋β)＝2时，等号成立，所以tanα＝≤，所以tanα取得最大值时，tan(α＋β)的值为2.
四、解答题
15．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝.
(1)求证：sinαcosβ＝5cosαsinβ；
(2)若已知0<α＋β<，0<α－β<，求cos2α的值．
解：(1)证明：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，
∴2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，①
3sinαcosβ－3cosαsinβ＝1，②
②－①得sinαcosβ－5cosαsinβ＝0，则sinαcosβ＝5cosαsinβ.
(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
0<α＋β<，0<α－β<，
∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝.
16．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)(1)求tan70°·cos10°(tan20°－1)的值；
(2)已知函数f(x)＝2cos2＋2sin(π－x)cosx－.若f＝，x0∈，求sin2x0的值．
解：(1)tan70°cos10°(tan20°－1)
＝·
＝·
＝·
＝·
＝·＝－1.
(2)f(x)＝2cos2＋2sin(π－x)·cosx－＝2sin2x＋2sinxcosx－＝sin2x－cos2x＝2sin，
f＝2sin＝，sin＝，
又x0∈，则2x0－∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin2x0＝sin＝sincos＋cossin＝×－×＝－.
17．(2025·广东肇庆模拟)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos3α＝4cos3α－3cosα.
(1)根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
(2)求sin18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
解：(1)sin3α＝sin(α＋2α)＝sinαcos2α＋cosαsin2α＝sinα(2cos2α－1)＋cosα·2sinαcosα＝2sinαcos2α－sinα＋2sinαcos2α＝4sinαcos2α－sinα＝4sinα(1－sin2α)－sinα＝－4sin3α＋3sinα.
(2)∵36°＋54°＝90°，∴sin36°＝cos54°，
即sin(2×18°)＝cos(3×18°)，
∴2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°，
∵cos18°≠0，∴2sin18°＝4cos218°－3，
即2sin18°＝4(1－sin218°)－3，
整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0，
∵sin18°>0，∴sin18°＝.
(3)由(1)，得sin3α＝sinα－sin3α，
∴sin3126°＋sin36°－sin366°
＝sin126°－sin378°＋sin6°－sin18°－sin66°＋sin198°
＝(sin126°＋sin6°－sin66°)－(sin378°＋sin18°－sin198°)
＝[sin(120°＋6°)＋sin6°－sin(60°＋6°)]－[sin(360°＋18°)＋sin18°－sin(180°＋18°)]＝－(sin18°＋sin18°＋sin18°)
＝－sin18°＝.
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