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第5练　三角函数的图象与性质（原卷版）
一、单项选择题
1．函数f(x)＝ln (cosx)的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
2．在函数y＝sin|x|，y＝|sinx|，y＝tan，y＝cos中，最小正周期为π的函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图所示，函数y＝cosx|tanx|的图象是(　　)
4．已知函数f(x)＝cosx－2cos2＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f为奇函数
B．y＝f为偶函数
C．y＝f－1为奇函数
D．y＝f－1为偶函数
5．(2025·广东八校联考)已知函数f(x)＝cosωx(ω>0)的最小正周期为T.若2πA. B．－
C. D．－
6．(2025·湖北武汉重点高中联考)已知实数a，b∈(－1，0)，且满足cosaπ>cosbπ，则下列关系式一定正确的是(　　)
A．sinab－
C．sina－a>sinb－b D．a7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
8．(2024·山东济宁三模)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)cosx－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝tan，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在上单调递减
C．f＝f
D．f(x)的定义域为
10．(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
11．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，f(x)＝ 的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点(0，0)对称
C．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为4
三、填空题
12．函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．
13．已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝________．
14．当θ＝θ0时，f(θ)＝sin2θ－cos2θ取得最大值，则sin＝________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心；
(2)若f(x0)≤，求x0的取值范围．
16．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值；
(3)求函数f(x)在区间上的单调区间．
17．(2025·安徽合肥模拟)某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB＝∠COA＝，OC＝10米，BC＝10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD＝.
(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值．
第5练　三角函数的图象与性质（解析版）
一、单项选择题
1．函数f(x)＝ln (cosx)的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由cosx>0，解得2kπ－2．在函数y＝sin|x|，y＝|sinx|，y＝tan，y＝cos中，最小正周期为π的函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：函数y＝sin|x|的图象如图所示，由图可知，函数y＝sin|x|不是周期函数．
令f(x)＝|sinx|，则f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，则函数y＝|sinx|的最小正周期为π，y＝tan的最小正周期为T＝＝π，y＝cos的最小正周期为T＝＝π.故选C.
3．如图所示，函数y＝cosx|tanx|的图象是(　　)
答案：C
解析：y＝cosx|tanx|＝根据正弦函数的图象，作出函数图象如图所示．故选C.
4．已知函数f(x)＝cosx－2cos2＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f为奇函数
B．y＝f为偶函数
C．y＝f－1为奇函数
D．y＝f－1为偶函数
答案：B
解析：因为f(x)＝cosx－2cos2＋1＝cosx－＝cosx－sinx＝cos，所以f＝cos＝cosx，所以y＝f为偶函数，故A错误，B正确；又y＝f－1＝cos－1＝－sinx－1，所以函数y＝f－1为非奇非偶函数，故C，D错误．故选B.
5．(2025·广东八校联考)已知函数f(x)＝cosωx(ω>0)的最小正周期为T.若2πA. B．－
C. D．－
答案：B
解析：由f(x)＝cosωx，则T＝，由2π6．(2025·湖北武汉重点高中联考)已知实数a，b∈(－1，0)，且满足cosaπ>cosbπ，则下列关系式一定正确的是(　　)
A．sinab－
C．sina－a>sinb－b D．a答案：D
解析：a，b∈(－1，0)时，aπ，bπ∈(－π，0)，余弦函数在(－π，0)上单调递增，由cosaπ>cosbπ，得aπ>bπ，则有－1a－，B错误；设函数f(x)＝sinx－x，x∈(－1，0)，由f′(x)＝cosx－1<0，得f(x)在(－1，0)上单调递减，又－1f(a)，即sinb－b>sina－a，C错误；幂函数y＝x是偶函数，在(－1，0)上单调递减，则有b>a，D正确．故选D.
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D.
8．(2024·山东济宁三模)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)cosx－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：依题意，函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋cos2x＝sin，当x∈时，2x＋∈，显然sin＝sin＝－，sin＝1，且正弦函数y＝sinx在上单调递减，由f(x)在区间上的值域为，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是.故选D.
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝tan，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在上单调递减
C．f＝f
D．f(x)的定义域为
答案：AC
解析：因为f(x)＝tan，对于A，f(x)的最小正周期为T＝，故A正确；对于B，当x∈时，2x－∈，因为y＝tanz在z∈时单调递增，故f(x)在上单调递增，故B错误；对于C，因为f(x)的最小正周期为T＝，所以f＝f＝f，故C正确；对于D，令2x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故D错误．故选AC.
10．(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案：BC
解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC.
11．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，f(x)＝ 的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点(0，0)对称
C．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为4
答案：ABD
解析：因为函数f(x)＝ ＝sinx＋＋＋，定义域为R，对于A，f(π＋x)＝sin(π＋x)＋＋＋＝－sinx－－－＝sin(－x)＋＋＋＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；对于B，f(－x)＝sin(－x)＋＋＋＝－sinx－－－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于点(0，0)对称，故B正确；对于C，由选项A，B知f(x＋π)＝－f(x)≠f(x)，故C错误；对于D，f′(x)＝cosx＋cos3x＋cos5x＋cos7x≤4，故D正确．故选ABD.
三、填空题
12．函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．
答案：－4
解析：∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2＋，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.
13．已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝________．
答案：6　2
解析：依题意可得f(x)＝2sinx，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.
14．当θ＝θ0时，f(θ)＝sin2θ－cos2θ取得最大值，则sin＝________．
答案：
解析：f(θ)＝sin2θ－(1＋cos2θ)＝sin2θ－cos2θ－＝－＝sin(2θ－φ)－，当f(θ)取得最大值时，2θ0－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以2θ0＝φ＋＋2kπ，k∈Z，所以sin2θ0＝sin＝cosφ＝(k∈Z)，cos2θ0＝cos＝－sinφ＝－(k∈Z)，所以sin＝sin2θ0＋cos2θ0＝×＋×＝.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心；
(2)若f(x0)≤，求x0的取值范围．
解：(1)函数f(x)的最小正周期T＝π.
由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
故函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
(2)因为f(x0)≤，
所以sin＋≤，
即sin≤，
所以－＋2kπ≤2x0－≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋kπ≤x0≤＋kπ，k∈Z.
即x0的取值范围为.
16．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值；
(3)求函数f(x)在区间上的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos＝sin2x＋cos2xcos＋sin2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin＝2.
(2)∵≤x≤π，∴≤2x＋≤，
∴－2≤f(x)≤，
当2x＋＝时，x＝，此时f(x)min＝f＝－2，
当2x＋＝时，x＝π，此时f(x)max＝f(π)＝.
(3)∵≤x≤π，∴≤2x＋≤，
由正弦函数图象知，
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减；
当≤2x＋≤，即≤x≤π时，f(x)单调递增．
故函数f(x)在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为.
17．(2025·安徽合肥模拟)某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB＝∠COA＝，OC＝10米，BC＝10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD＝.
(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值．
解：(1)因为OC＝10米，BC＝10米，∠OCB＝，
所以∠BOC＝，OB＝＝20(米)，
则OA＝20米，∠BOA＝－＝，的长为l＝×20＝(米)，
所以广告带的总长度为OA＋OC＋BC＋l＝30＋10＋(米)．
(2)如图，连接OF.
设∠FOA＝θ.
因为OF＝20米，所以FI＝GH＝20sinθ(米)，OI＝20cosθ(米)，
因为∠AOD＝，
所以OG＝＝20sinθ(米)，
所以GI＝20cosθ－20sinθ(米)，
所以S＝(20cosθ－20sinθ)·20sinθ
＝400sinθcosθ－400sin2θ
＝200[sin2θ－(1－cos2θ)]
＝200，
因为0<θ<，所以2θ＋∈，当2θ＋＝，
即θ＝时，S取得最大值．
所以促销展示区的面积S的最大值为(400－200)平方米．
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