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第6练　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（原卷版）
一、单项选择题
1．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sint＋cos，则这个简谐运动的振幅是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C. cm D．2 cm
2．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移π个单位长度
D．向右平移π个单位长度
3．(2025·山东青岛联考)已知函数f(x)＝tan(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝(　　)
A. B.
C. D.
4．(2025·深圳中学模拟)如图，四位同学受课堂启发开展“图象法比大小”的课题探究，在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin，y＝sin的图象如下．结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是(　　)
5．将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最小正周期为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
7．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　)
A．－1 B.
C．1 D．2
8．(2025·中国人民大学附中模拟)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为|y|＝|sinωx|，x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数．若该条曲线还满足ω∈(1，3)，经过点M，则该条葫芦曲线与直线x＝交点的纵坐标为(　　)
A．± B．±
C．± D．±1
二、多项选择题
9．(2025·山东烟台摸底)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，令g(x)＝f(x)－cos2x，则(　　)
A．g(x)图象的一个对称中心是
B．g(x)图象的对称轴方程为x＝－＋(k∈Z)
C．g(x)在上的值域为
D．g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮．某摩天轮最高点离地面的高度为128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱首次旋转至距离地面最远处．下列关于摩天轮的说法中正确的是(　　)
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos＋68
C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30
D． t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
11．已知函数f(x)＝－4cosxcos＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为
B．直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数y＝f(x)＋在[0，π]上有3个零点
三、填空题
12．去年某地的月平均气温y(单位：℃)与月份x(单位：月)近似地满足函数y＝a＋bsin(a，b为常数)．若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃.
13．设函数f(x)＝sin，其中0<ω<3，且f＝0，将y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则y＝g(x)在区间上的最小值为________．
14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图，f(x1)＝f(x2)＝－，则x1＋x2＝________，cos＝________．
四、解答题
15.把函数f(x)＝2sinx的图象向左平移φ个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，记函数h(x)＝f(x)g(x)．
(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)“五点法”画出函数y＝h(x)在区间上的大致图象．
16.(2024·T8第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)及其导函数的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(0，m)上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围．
17．已知函数f(x)＝4sinxcos＋.
(1)求函数f(x)在上的值域；
(2)将函数y＝f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向上平移3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈时，方程g(x)－a＝0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x1第6练　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（解析版）
一、单项选择题
1．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sint＋cos，则这个简谐运动的振幅是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C. cm D．2 cm
答案：C
解析：因为y＝sint＋cos＝sint＋costcos＋sintsin＝sint＋cost＝sin，所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.
2．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移π个单位长度
D．向右平移π个单位长度
答案：C
解析：函数y＝sin的图象向左平移π个单位长度后得到y＝sin＝cos的图象．故选C.
3．(2025·山东青岛联考)已知函数f(x)＝tan(ωx－φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题图可知，f(x)的最小正周期T＝＝，则ω＝2，－φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，得φ＝，则ωφ＝.
4．(2025·深圳中学模拟)如图，四位同学受课堂启发开展“图象法比大小”的课题探究，在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin，y＝sin的图象如下．结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是(　　)
答案：C
解析：通过三个图象比较不难得出答案C.
5．将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知，曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω＞0，故当k＝0时，ω取最小值为.故选C.
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最小正周期为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：D
解析：如图，S△OBC＝×3×A＋×3×A＝3A＝3，A＝，∴f(x)＝sin(ωx＋φ)，f(0)＝sinφ＝1，∴sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝sin，∴f(3)＝sin＝0，3ω＋＝π，∴ω＝，T＝＝8.故选D.
7．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　)
A．－1 B.
C．1 D．2
答案：D
解析：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(x)的定义域关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cosx，x∈(－1，1)，又因为2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D.
8．(2025·中国人民大学附中模拟)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为|y|＝|sinωx|，x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数．若该条曲线还满足ω∈(1，3)，经过点M，则该条葫芦曲线与直线x＝交点的纵坐标为(　　)
A．± B．±
C．± D．±1
答案：C
解析：将点M代入葫芦曲线的方程可得·＝，即＝1，由ω∈(1，3)，可得ω＝2，因此曲线方程为|y|＝|sin2x|，当x＝时，可得|y|＝2－＝·＝＝，所以交点的纵坐标为±.故选C.
二、多项选择题
9．(2025·山东烟台摸底)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，令g(x)＝f(x)－cos2x，则(　　)
A．g(x)图象的一个对称中心是
B．g(x)图象的对称轴方程为x＝－＋(k∈Z)
C．g(x)在上的值域为
D．g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
答案：ABD
解析：由题图可得，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小值为－，－＝＝T，又A>0，ω>0，T＝，所以A＝，ω＝2，结合对称性可得，函数f(x)的图象过点，所以f＝cos＝，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝cos，所以g(x)＝f(x)－cos2x＝cos－cos2x＝cos2x－sin2x－cos2x＝cos2x－sin2x＝cos.对于A，当x＝时，g＝cos＝0，所以是g(x)图象的一个对称中心，故A正确；对于B，令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，故g(x)图象的对称轴方程为x＝－，k∈Z，故B正确；对于C，当x∈时，2x＋∈，所以cos∈，故g(x)在上的值域为，故C错误；对于D，令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)，故D正确．故选ABD.
10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮．某摩天轮最高点离地面的高度为128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱首次旋转至距离地面最远处．下列关于摩天轮的说法中正确的是(　　)
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos＋68
C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30
D． t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
答案：BC
解析：对于A，最高点离地面的高度为128米，转盘直径为120米，所以摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，A错误；对于B，设h＝Asin(ωt＋φ)＋b，由题意知A＝60，b＝68，当t＝0时，游客离地面最近，则φ＝－，当t＝15时，游客离地面最远，则周期T＝30，角速度为ω＝＝，故高度h关于时间t的函数解析式是h＝60sin＋68＝－60cos＋68(t≥0)，B正确；对于C，周期为30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0，30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则＝15，即t1＋t2＝30，C正确；对于D，h＝－60cos＋68(t≥0)，令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，则h在t∈[0，15]上单调递增，在t∈[15，20]上单调递减，当t＝0时，h＝8，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝98＞90，故h＝90在t∈[0，20]只有一个解，D错误．故选BC.
11．已知函数f(x)＝－4cosxcos＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为
B．直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数y＝f(x)＋在[0，π]上有3个零点
答案：BC
解析：由题意得f(x)＝－4cosxcos＋1＝－4cosx·＋1＝－2cos2x＋2cosxsinx＋1＝－(1＋cos2x)＋sin2x＋1＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，故A错误；f＝－2，故B正确；∵x∈，∴2x－∈，∴函数f(x)在上单调递减，故C正确；令y＝f(x)＋＝0，即2sin＋＝0，即sin＝－，∵0≤x≤π，∴－≤2x－≤，令t＝2x－，得t∈，则h(t)＝sint，∴D项的问题转化为h(t)＝sint，t∈的图象与直线y＝－的交点个数问题，如图所示，观察可知，有2个零点，故D错误．故选BC.
三、填空题
12．去年某地的月平均气温y(单位：℃)与月份x(单位：月)近似地满足函数y＝a＋bsin(a，b为常数)．若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃.
答案：31
解析：将(6，22)，(12，4)代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sin.当x＝8时，y＝13－18sin＝31.
13．设函数f(x)＝sin，其中0<ω<3，且f＝0，将y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则y＝g(x)在区间上的最小值为________．
答案：－
解析：因为f＝0，所以f＝sin＝0，所以ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝2＋6k，k∈Z，因为0<ω<3，所以ω＝2，所以f(x)＝sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin，因为x∈，所以x－∈，所以当x－＝－，即x＝－时，y＝g(x)取得最小值，为g(x)min＝sin＝－.
14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图，f(x1)＝f(x2)＝－，则x1＋x2＝________，cos＝________．
答案：－4　
解析：结合题意可知，f(0)＝2sinφ＝1，sinφ＝，因为0<φ<，所以φ＝，又由题中图象可知，T>，即T＝>5，解得0<ω<.又f＝2sin＝0，即ω＋＝π＋2kπ，k∈Z，即ω＝＋，k∈Z，从而ω＝，故f(x)＝2sin，令x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝1＋3k，k∈Z，从而f(x)图象的对称轴为直线x＝1＋3k，k∈Z，由题中图象可知，x＝x1与x＝x2关于直线x＝－2对称，即x1＋x2＝－4，x2＝－4－x1，因为f(x1)＝2sin＝－，即sin＝－，所以cos＝cos＝cos＝－sin＝.
四、解答题
15.把函数f(x)＝2sinx的图象向左平移φ个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，记函数h(x)＝f(x)g(x)．
(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)“五点法”画出函数y＝h(x)在区间上的大致图象．
解：(1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋mπ(m∈Z)，即φ＝＋mπ(m∈Z)，又0<φ<，所以φ＝，
则g(x)＝2sin.
则h(x)＝f(x)g(x)＝4sinxsin＝4sinx＝2sin2x＋2·sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝2sin＋1，
则函数y＝h(x)的最小正周期T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)列表如下：
2x－ － －π － 0
x － － －
h(x) 2 1 －1 1 3 2
故函数y＝h(x)在区间上的大致图象如下：
16.(2024·T8第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)及其导函数的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(0，m)上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
∴f′(x)＝ωAcos(ωx＋φ)，
如图所示，用①和②区分两函数图象．从x＝可以看出，此时①的函数值为0，左正右负，此时②的函数值取得最大值，左增右减，∴②为原函数图象，①为导函数图象．
由图可知
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
∵f＝1，
∴f＝sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)当x∈(0，m)时，2x＋∈，
∵f(x)在区间(0，m)上恰有2个极值点和2个零点，
∴2π＜2m＋≤，∴＜m≤，
∴实数m的取值范围为.
17．已知函数f(x)＝4sinxcos＋.
(1)求函数f(x)在上的值域；
(2)将函数y＝f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向上平移3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈时，方程g(x)－a＝0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x1解：(1)f(x)＝4sinxcos＋
＝4sinx＋
＝sin2x－(1－cos2x)＋
＝sin2x＋cos2x＝2sin，
当x∈时，2x＋∈，
又y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)在上的值域为[－1，2]．
(2)将函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝2sin＝2sin的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，可得到函数y＝2sin的图象，
再将所得图象向上平移3个单位长度，可得到函数
g(x)＝2sin＋3的图象．
当x∈时，x＋∈，
令t＝x＋∈，
则2sin＋3＝2sint＋3，
令h(t)＝2sint＋3，
由g(x)－a＝0，可得a＝h(t)，其中t∈，
作出函数y＝a与函数h(t)在t∈时的图象如图所示，
由图可知，当4≤a≤3＋时，函数y＝a与函数h(t)在t∈时的图象有三个交点，
设ti＝xi＋(i＝1，2，3)，其中t1则点(t1，a)与点(t2，a)关于直线t＝对称，点(t2，a)与点(t3，a)关于直线t＝对称，
所以t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，则t1＋2t2＋t3＝4π，
所以＋2＋＝4π，解得x1＋2x2＋x3＝.
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