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第7练　余弦定理、正弦定理（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·北京东城区二模)在△ABC中，A＝，C＝，b＝，则a＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
2．(2025·江苏南通模拟)在△ABC中，已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝(　　)
A. B.
C. D.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
5．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinC＝，c＝4，B＝，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2
C．1或7 D．2或14
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，cos∠BAC＝，点D在BC边上且AD＝，则sin∠ADC＝(　　)
A. B.
C. D.
7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝c2－bc且bcosC＝asinB，则△ABC是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，＝，M和N分别是△ABC的重心和内心，且MN∥BC，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
二、多项选择题
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则A＝
B．若sin2A＝sin2B，则此三角形为等腰三角形
C．若a＝1，b＝2，A＝30°，则此三角形必有两解
D．若△ABC是锐角三角形，则sinA＋sinB>cosA＋cosB
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
11．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)
A．sin∠CDB＝
B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4
D．△ABC为钝角三角形
三、填空题
12．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________．
13．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝________．
14．在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________．
四、解答题
15．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
16．(2025·山东济南模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝，b＋c＝3.
(1)求△ABC的周长；
(2)若asinB＝bsin2A，求△ABC的面积．
17．(2025·安徽名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求C；
(2)若3a＋b＝2c且a＝3，求△ABC外接圆的半径．
18．(2025·山东菏泽模拟)在平面四边形ABCD中，AB＝，AC＝3，BC＝2.
(1)求cos∠BCA的值；
(2)若cos∠BCD＝－，cos∠ADC＝－，求AD的长．
19．在△ABC中，D，E都是边BC上的点(与B，C不重合)，且点D在B，E之间，AE·AC·BD＝AD·AB·CE.
(1)求证：sin∠BAD＝sin∠CAE；
(2)若AB⊥AC，求证：＋＝.
第7练　余弦定理、正弦定理（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·北京东城区二模)在△ABC中，A＝，C＝，b＝，则a＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
答案：D
解析：由题意，得B＝π－A－C＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2.故选D.
2．(2025·江苏南通模拟)在△ABC中，已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若b＝，由正弦定理，得＝，即＝，所以sinC＝，又因为c>b，所以C＝45°或C＝135°，则“b＝”是“C＝45°”成立的必要不充分条件．故选B.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：∵a＝2，b＝3，c＝4，∴cosA＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝＝＝＝，则h＝ACsinA＝bsinA＝3×＝.故选D.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意结合正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA，整理可得sinBcosA＝0，由于B∈(0，π)，故sinB>0，据此可得cosA＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
5．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinC＝，c＝4，B＝，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2
C．1或7 D．2或14
答案：C
解析：由＝可得b＝，因为sinC＝，所以cosC＝－或cosC＝，所以sinA＝sin(B＋C)＝sincosC＋cossinC，故sinA＝或sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝××4×＝1或S△ABC＝bcsinA＝××4×＝7.故选C.
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，cos∠BAC＝，点D在BC边上且AD＝，则sin∠ADC＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：在△ABC中，由余弦定理得BC＝＝＝3，∴BC＝AB，∴∠BCA＝∠BAC，∴sin∠BCA＝sin∠BAC＝＝，在△ADC中，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠ADC＝.故选A.
7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝c2－bc且bcosC＝asinB，则△ABC是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
答案：A
解析：因为a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，因为bcosC＝asinB，利用正弦定理可得sinBcosC＝sinAsinB，由sinB≠0，可得cosC＝sinA＝，又C∈(0，π)，所以C＝，B＝π－A－C＝，则△ABC是等腰直角三角形．故选A.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，＝，M和N分别是△ABC的重心和内心，且MN∥BC，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：B
解析：由＝，可得2sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，因为sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，代入得2sinC＝sinB，由正弦定理，得b＝2c＝4.如图所示，延长AM交BC于点D，延长AN交BC于点E，过点A作AH⊥BC于点H，过点N作NK⊥BC于点K.设△ABC的内切圆半径为r，BC边上的高为h.由S△ABC＝ah＝(a＋2＋4)·r，可得ah＝(a＋6)·r　(*)，因为M和N分别是△ABC的重心和内心，且MN∥BC，则＝＝＝，即h＝3r，代入(*)式，可得3a＝a＋6，解得a＝3.故选B.
二、多项选择题
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则A＝
B．若sin2A＝sin2B，则此三角形为等腰三角形
C．若a＝1，b＝2，A＝30°，则此三角形必有两解
D．若△ABC是锐角三角形，则sinA＋sinB>cosA＋cosB
答案：AD
解析：由正弦定理可知＝，又＝，所以＝，可得tanA＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确；因为2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，且2A，2B最多有一个大于π，所以由sin2A＝sin2B可知，2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；由正弦定理可得sinB＝＝＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝，故此三角形有唯一解，C错误；因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即>A>－B>0，又y＝sinx在上单调递增，所以sinA>sin＝cosB，同理sinB>sin＝cosA，所以sinA＋sinB>cosA＋cosB，D正确．故选AD.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
答案：ACD
解析：因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x>0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确；由上可知，c最大，所以三角形中C最大，又cosC＝＝＝>0，所以C为锐角，所以B错误；由上可知，a最小，所以三角形中A最小，又cosA＝＝＝，所以cos2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cosC.由三角形中C最大且C为锐角可得，2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以C正确；由正弦定理，得2R＝，又sinC＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.
11．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)
A．sin∠CDB＝
B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4
D．△ABC为钝角三角形
答案：BCD
解析：由cos∠CDB＝－可得sin∠CDB＝＝，故A错误；设CD＝x，CB＝2x，在△CBD中，由余弦定理，可得－＝，整理可得，5x2－2x－15＝0，解得x＝，即CD＝，CB＝2，所以S△ABC＝S△BCD＋S△ADC＝×3××＋×5××＝8，故B正确；由余弦定理，可知cosB＝＝，即＝，解得AC＝2，故△ABC的周长为AB＋AC＋CB＝8＋2＋2＝8＋4，故C正确；由余弦定理，可得cos∠ACB＝＝－<0，故∠ACB为钝角，D正确．故选BCD.
三、填空题
12．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________．
答案：1
解析：由题意知sin＝sinC，∴sinC＝，又013．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝________．
答案：
解析：由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA＝，所以∠BDA＝，根据条件△AFC≌△BDA，所以AF＝BD＝1.在△ABD中，AD＝3，BD＝1，所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA＝32＋12－2×3×1×＝13，所以AB＝.
14．在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________．
答案：2
解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a.
解法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，×2×b×sin60°＝×2×AD×sin30°＋×AD×b×sin30°，解得AD＝＝＝2.
解法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sinB＝，sinC＝，因为1＋＞＞2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，所以AD＝AB＝2.
四、解答题
15．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝，
又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，
∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinA＝3cosA，
即tanA＝3，∴0∴sinA＝＝.
(2)由(1)知，cosA＝＝，
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＝，
由正弦定理＝，可得b＝＝2，
∴AB边上的高h＝bsinA＝2×＝6.
16．(2025·山东济南模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝，b＋c＝3.
(1)求△ABC的周长；
(2)若asinB＝bsin2A，求△ABC的面积．
解：(1)由bcosC＋ccosB＝，
得b×＋c×＝，
即＝a＝，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.
(2)由asinB＝bsin2A，得sinAsinB＝sinBsin2A，
所以sinAsinB＝2sinBsinAcosA，
因为A，B∈(0，π)，所以sinA>0，sinB>0，
所以cosA＝，所以sinA＝，
又a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即3＝32－3bc，
所以bc＝2，
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝.
17．(2025·安徽名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求C；
(2)若3a＋b＝2c且a＝3，求△ABC外接圆的半径．
解：(1)因为＝，
即2sinA＋sinB＝2sinCcosB，
且sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
即2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB＝2sinCcosB，则2sinBcosC＋sinB＝0，
因为B∈(0，π)，则sinB≠0，
可得cosC＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为3a＋b＝2c且a＝3，则b＝2c－9>0，可得c>，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即c2＝9＋(2c－9)2－2×3(2c－9)×，
整理可得c2－10c＋21＝0，解得c＝7或c＝3(舍去)，
所以△ABC外接圆的半径
R＝＝＝.
18．(2025·山东菏泽模拟)在平面四边形ABCD中，AB＝，AC＝3，BC＝2.
(1)求cos∠BCA的值；
(2)若cos∠BCD＝－，cos∠ADC＝－，求AD的长．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos∠BCA＝，
又AB＝，AC＝3，BC＝2，
所以cos∠BCA＝＝.
(2)由(1)知cos∠BCA＝，
所以sin∠BCA＝＝＝，
又cos∠BCD＝－，所以sin∠BCD＝＝＝，
所以sin∠ACD＝sin(∠BCD－∠BCA)
＝sin∠BCDcos∠BCA－cos∠BCDsin∠BCA＝×＋×＝，
又cos∠ADC＝－，
所以sin∠ADC＝＝，
在△ACD中，由正弦定理，得
＝，
即＝，所以AD＝.
19．在△ABC中，D，E都是边BC上的点(与B，C不重合)，且点D在B，E之间，AE·AC·BD＝AD·AB·CE.
(1)求证：sin∠BAD＝sin∠CAE；
(2)若AB⊥AC，求证：＋＝.
证明：(1)如图，在△ABC中，由正弦定理，得＝.
在△ABD中，由正弦定理，得sin∠BAD＝.
在△ACE中，由正弦定理，得sin∠CAE＝.
所以＝
＝＝1，
所以sin∠BAD＝sin∠CAE.
(2)因为AB⊥AC，
所以B＋C＝，所以sinC＝cosB.
由∠BAC＝可知∠BAD，∠CAE均为锐角．
由(1)知，∠BAD＝∠CAE.
设∠BAD＝∠CAE＝α，
则0<α<，∠DAE＝－2α.
由sin∠DAE＝cos2α＝1－2sin2α，
得sin2α＝.
在△ABD中，由正弦定理，得＝.
在△ACE中，由正弦定理，
得＝＝.
所以＋＝＋＝＝.
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