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第8练　余弦定理、正弦定理应用举例（原卷版）
一、单项选择题
1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　)
A. 海里/小时 B．34 海里/小时
C. 海里/小时 D．34 海里/小时
2．(2025·黑龙江牡丹江模拟)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是(　　)
A. km B. km
C. km D．10－3 km
3.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝100 cm，BC＝100 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
A．0.62 B．0.56
C．－0.56 D．－0.62
4.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝40 m，CD＝80 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝∠ACD＝60°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(参考数据：≈1.732，≈2.646)(　　)
A．98 m B．102 m
C．106 m D．122 m
5．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点(A，B，P，Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为(　　)
A．45(－)米 B．45(＋)米
C．90(－1)米 D．90(＋1)米
6．(2025·四川成都诊断考试)如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得A1B1＝80米，CC1＝86米，∠C1A1B1＝48.60°，∠A1C1B1＝30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(参考数据：tan33.69°≈0.667，tan51.34°≈1.250，sin48.60°≈0.750)(　　)
A．268米 B．265米
C．266米 D．267米
7．(2025·福建名校联盟质检)“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部B在同一平面内的两个测量基点C与D.现测得∠CBD＝30°，CD＝23.8 m，在C点测得雕塑顶端A的仰角为45°，在D点测得雕塑顶端A的仰角为30°，则雕塑的高度AB＝(　　)
A．47.6 m B．35.7 m
C．23.8 m D．11.9 m
8．某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽，某学生设计的《冬日雪花》脱颖而出．它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，已知其中一块矩形材料如图①所示，将△BCD沿BD折叠，折叠后BC′交AD于点E，BD＝ cm，cos∠BED＝－.现需要对会徽的六个直角三角形(图②阴影部分)上色，则上色部分的面积为(　　)
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D．1 cm2
二、多项选择题
9.如图，甲船从A1出发，以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5海里．当甲船航行12分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5海里，下列结论正确的是(　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15海里/小时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时
D．甲、乙两船不可能相遇
10．(2025·重庆南开中学模拟)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5 min后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则(　　)
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的5 min内行驶了 km
11．某同学为测量教学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角∠ACB＝α，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案是(　　)
A．如图①所示，从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出∠ADB＝β
B．如图②所示，在地面上另选点D，测量出∠ACD＝β，∠ADC＝γ，CD＝a米
C．如图②所示，在地面上另选点D，测量出∠BDC＝β，CD＝a米
D．如图③所示，从过点C的直线上(不过点B)另选点D，E，测量出CD＝2DE＝a米，∠ADB＝β，∠AEB＝γ
三、填空题
12．宝塔山是革命圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮．如图，已知宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡往上前进66米到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为________米．
13．甲船在A处观察到乙船在它北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进才能尽快追上乙船，此时θ＝________．
14．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长200 mm，曲柄CB长70 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为________ mm.(结果精确到1，参考数据：sin53.2°≈0.8)
234＝36.∴曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离约为36 mm.
四、解答题
15.如图所示，A，B，C为三个村庄，AB＝7 km，AC＝5 km，BC＝8 km.
(1)求∠ACB；
(2)若村庄D在线段BC的中点处，要在线段AC上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，求该最小值．
16．如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．
(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；
(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2(结果精确到1)．
(参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)
17．滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边A与B两点之间的距离，在岸边选取C，D两点，现测得AD＝20 km，CD＝28 km，∠DAC＝60°，∠CAB＝15°，∠ABC＝120°.
(1)求AC的长；
(2)求AB的长．
18．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时间和角α的正弦值．
19.(2025·湖南名校联考)某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点，其中AC＝40 m，点B为AC的中点，兴趣小组组长小王在A，B，C三点上方5 m处的A1，B1，C1观察已建建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tanα＝1，tanβ＝2，tanγ＝3，点D为点E在地面上的正投影，点D1为DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点．
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE；
(2)求的值．
第8练　余弦定理、正弦定理应用举例（解析版）
一、单项选择题
1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　)
A. 海里/小时 B．34 海里/小时
C. 海里/小时 D．34 海里/小时
答案：C
解析：如图所示，在△PMN中，PM＝68海里，∠PNM＝45°，∠MPN＝120°，由正弦定理可得＝，所以MN＝34海里，所以该船航行的速度为海里/小时．
2．(2025·黑龙江牡丹江模拟)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是(　　)
A. km B. km
C. km D．10－3 km
答案：B
解析：如图，设行驶15 min时，甲船到达M处，由题意，知AM＝8×＝2(km)，BN＝12×＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝ km.故选B.
3.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝100 cm，BC＝100 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　)
A．0.62 B．0.56
C．－0.56 D．－0.62
答案：A
解析：如图所示，设对应的圆心是O，根据题意可知，OA⊥AC，OB⊥BC，则∠AOB＋∠ACB＝π，因为AC＝100 cm，BC＝100 cm，AB＝180 cm，则在△ACB中，cos∠ACB＝＝＝－，所以cos∠AOB＝cos(π－∠ACB)＝－cos∠ACB＝＝0.62.故选A.
4.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝40 m，CD＝80 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝∠ACD＝60°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(参考数据：≈1.732，≈2.646)(　　)
A．98 m B．102 m
C．106 m D．122 m
答案：C
解析：连接AC，AD，在△ABC中，由正弦定理知＝，即＝，解得AC＝120 m，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD，即AD2＝1202＋802－2×120×80×＝11200，所以AD＝＝40≈106(m)．故选C.
5．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点(A，B，P，Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为(　　)
A．45(－)米 B．45(＋)米
C．90(－1)米 D．90(＋1)米
答案：B
解析：在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，∠ABP＝180°－∠BAP－∠APB＝180°－(45°－15°)－15°＝135°，因为＝，且sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝，则AP＝＝＝＝，在Rt△PAQ中，PQ＝APsin45°＝×＝45(＋)．故选B.
6．(2025·四川成都诊断考试)如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得A1B1＝80米，CC1＝86米，∠C1A1B1＝48.60°，∠A1C1B1＝30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(参考数据：tan33.69°≈0.667，tan51.34°≈1.250，sin48.60°≈0.750)(　　)
A．268米 B．265米
C．266米 D．267米
答案：C
解析：如图，分别过B，C作BF⊥AA1，CD⊥BB1，垂足分别为F，D，过D作DE⊥AA1，垂足为E.根据题意易得∠ABF＝51.34°，∠BCD＝33.69°.在△A1B1C1中，由正弦定理得B1C1＝＝≈＝120(米)，在Rt△BCD中，DC＝B1C1＝120米，则BD＝120tan33.69°≈120×0.667＝80.04(米)，在Rt△ABF中，BF＝A1B1＝80米，则AF＝80tan51.34°≈80×1.250＝100(米)，所以AA1＝CC1＋BD＋AF≈86＋80.04＋100≈266(米)．故选C.
7．(2025·福建名校联盟质检)“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部B在同一平面内的两个测量基点C与D.现测得∠CBD＝30°，CD＝23.8 m，在C点测得雕塑顶端A的仰角为45°，在D点测得雕塑顶端A的仰角为30°，则雕塑的高度AB＝(　　)
A．47.6 m B．35.7 m
C．23.8 m D．11.9 m
答案：C
解析：设AB＝x m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，则BC＝x m，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝＝x m，在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD，即23.82＝x2＋3x2－3x2，解得x＝23.8.故选C.
8．某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽，某学生设计的《冬日雪花》脱颖而出．它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，已知其中一块矩形材料如图①所示，将△BCD沿BD折叠，折叠后BC′交AD于点E，BD＝ cm，cos∠BED＝－.现需要对会徽的六个直角三角形(图②阴影部分)上色，则上色部分的面积为(　　)
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D．1 cm2
答案：A
解析：设ED＝x cm，因为∠DBE＝∠CBD＝∠BDE，则BE＝ED＝x cm，在△BED中，由余弦定理可得，cos∠BED＝＝＝－，解得x＝，在△ABE中，cos∠AEB＝cos(π－∠BED)＝，所以AE＝BEcos∠AEB＝ cm，AB＝＝1 cm，所以EC′＝ cm，C′D＝1 cm，所以上色部分的面积为6×××1＝ cm2.故选A.
二、多项选择题
9.如图，甲船从A1出发，以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5海里．当甲船航行12分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5海里，下列结论正确的是(　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15海里/小时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时
D．甲、乙两船不可能相遇
答案：AD
解析：如图，连接A1B2.依题意，A1A2＝25×＝5(海里)，而B2A2＝5海里，∠A1A2B2＝60°，则△A1A2B2是正三角形，所以∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5海里．在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，A1B1＝5海里，由余弦定理，得B1B2＝＝＝5(海里)，则有A1B＋B1B＝A1B，所以∠A1B2B1＝90°，所以∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(海里/小时)，故A正确，B不正确；延长B1B2与A1A2交于点O，易得OA1＝10海里，OB2＝5海里，OB1＝5(＋1)海里，甲船从出发到点O用时t1＝＝(小时)，乙船从出发到点O用时t2＝＝(小时)，t110．(2025·重庆南开中学模拟)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5 min后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则(　　)
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的5 min内行驶了 km
答案：ACD
解析：对于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；对于B，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km，所以BC＝2 km，故B错误；对于C，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°.由正弦定理，得AB＝＝ km，故C正确；对于D，在△ACB中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝6＋8－2××2×＝2，即AC＝ km，故D正确．故选ACD.
11．某同学为测量教学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角∠ACB＝α，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案是(　　)
A．如图①所示，从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出∠ADB＝β
B．如图②所示，在地面上另选点D，测量出∠ACD＝β，∠ADC＝γ，CD＝a米
C．如图②所示，在地面上另选点D，测量出∠BDC＝β，CD＝a米
D．如图③所示，从过点C的直线上(不过点B)另选点D，E，测量出CD＝2DE＝a米，∠ADB＝β，∠AEB＝γ
答案：ABD
解析：对于A，在△ACD中，∠CAD＝β－α，由正弦定理得AC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝，A满足题意；对于B，在△ACD中，∠CAD＝π－(β＋γ)，由正弦定理得AC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝ACsin∠ACB＝，B满足题意；对于C，在△ACD中，已知一边无法解三角形，在△BCD中，已知一边一角也无法解三角形，不能求出BC，AC，C不满足题意；对于D，设AB＝h，则BC＝，BD＝，BE＝，在△BCD与△BED中，由余弦定理得
即因此3BD2＋a2－BC2－2BE2＝0，即＋a2－－＝0，解此方程即得h，D满足题意．故选ABD.
三、填空题
12．宝塔山是革命圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮．如图，已知宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡往上前进66米到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为________米．
答案：44
解析：由题可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，则∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66米，设坡角为θ，则由题可得tanθ＝，则可求得cosθ＝，在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，由正弦定理可得＝，即＝＝，解得CD＝44米，故宝塔CD的高为44米．
13．甲船在A处观察到乙船在它北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进才能尽快追上乙船，此时θ＝________．
答案：30°
解析：如图所示，∠CAB＝60°－θ，∠B＝120°，设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为x，则BC＝x，AC＝x.在△ABC中，根据正弦定理＝，即＝，得sin(60°－θ)＝，又60°－θ为锐角，所以60°－θ＝30°，得θ＝30°.
14．如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长200 mm，曲柄CB长70 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为________ mm.(结果精确到1，参考数据：sin53.2°≈0.8)
答案：36
解析：在△ABC中，AB＝200，BC＝70，∠ACB＝53.2°，sin∠ACB≈，由正弦定理，得sin∠BAC＝≈，∵AB＞BC，∴∠ACB＞∠BAC，故∠BAC为锐角，∴cos∠BAC≈＝，cos∠ACB≈＝，∴sin∠ABC＝sin(∠ACB＋∠BAC)≈×＋×＝，∴AC＝≈200××＝234.故A0A＝(A0B0＋B0C)－AC≈(200＋70)－234＝36.∴曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离约为36 mm.
四、解答题
15.如图所示，A，B，C为三个村庄，AB＝7 km，AC＝5 km，BC＝8 km.
(1)求∠ACB；
(2)若村庄D在线段BC的中点处，要在线段AC上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，求该最小值．
解：(1)在△ABC中，
由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝，
因为0°＜∠ACB＜180°，所以∠ACB＝60°.
(2)如图，作D关于AC的对称点F，则DE＝FE，DC＝FC＝4 km，∠ACB＝∠ACF＝60°，所以∠BCF＝120°，
由余弦定理，得BF2＝BC2＋FC2－2BC·FCcos∠BCF＝82＋42－2×8×4×＝112，BF＝4 km，
所以AE＋CE＋BE＋DE＝AC＋BE＋FE≥AC＋BF＝4＋5，当且仅当B，E，F三点共线时，等号成立．
16．如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．
(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；
(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2(结果精确到1)．
(参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)
解：(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，
∴CD⊥AB.
又α＝45°，∴CD＝AC＝4.
(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，
∴∠ADB＝180°－83°＝97°，
由＝，
得AD＝＝＝≈5.
在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα≈52＋42－2×5×4×cos53°≈17.
17．滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边A与B两点之间的距离，在岸边选取C，D两点，现测得AD＝20 km，CD＝28 km，∠DAC＝60°，∠CAB＝15°，∠ABC＝120°.
(1)求AC的长；
(2)求AB的长．
解：(1)在△ACD中，有AD＝20 km，CD＝28 km，∠DAC＝60°.
由余弦定理，可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠DAC，
即282＝202＋AC2－2×20×AC×，
整理可得AC2－20AC－384＝0，
解得AC＝32或AC＝－12(舍去)，
故AC的长为32 km.
(2)在△ABC中，有AC＝32 km，∠CAB＝15°，∠ABC＝120°，
则∠ACB＝180°－15°－120°＝45°.
由正弦定理＝，
可得AB＝＝＝ km，
即AB的长为 km.
18．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x n mile，BC＝10x n mile，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，
解得x＝2(负值舍去)．
故AC＝28 n mile，BC＝20 n mile.
根据正弦定理，得＝，
解得sinα＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2 h，角α的正弦值为.
19.(2025·湖南名校联考)某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点，其中AC＝40 m，点B为AC的中点，兴趣小组组长小王在A，B，C三点上方5 m处的A1，B1，C1观察已建建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tanα＝1，tanβ＝2，tanγ＝3，点D为点E在地面上的正投影，点D1为DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点．
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE；
(2)求的值．
解：(1)设ED1＝h m，因为在A1，B1，C1处观察已建建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，且tanα＝1，tanβ＝2，tanγ＝3，
所以A1D1＝h m，B1D1＝ m，C1D1＝ m，
又A1C1＝40 m，B1是A1C1的中点，
在△A1B1D1中，
由余弦定理得cos∠A1B1D1＝，
在△C1B1D1中，
由余弦定理得cos∠C1B1D1＝，
又∠A1B1D1＋∠C1B1D1＝π，
所以＋＝0，
整理得＝800，解得h＝，
所以DE＝5＋(m)．
(2)在△A1B1D1中，
由正弦定理知＝，①
在△C1B1D1中，
由正弦定理知＝，②
由(1)知＝，sin∠A1B1D1＝sin∠C1B1D1，
由②÷①得＝＝.
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