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安徽省怀宁县新安中学2024--2025高三下学期月考试卷
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C．. D．7
3．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种 B．42种 C．54种 D．72种
4．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
10．已知数列满足，的前n项和为，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为
10．已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．可能有2个零点
B．一定有极小值，且0是极小值点
C．时，
D．若存在极大值点，且，其中，则
11．已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分
C．当时，三棱锥的外接球的体积为
D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是数据的第70百分位数，若，则 ．
13．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
14．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，= ．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
16．(15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面．
(1)求证：是棱的中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．(15分）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值．
18．(17分）．在“2025年全球AI创新峰会”中，参与“环境监测问题解决方案”代码编写比赛组的科技团队A和B通过实时编写代码，争夺“最佳环测算法团队”称号．规定每轮比赛限时编写一个算法模块，评委会通过对算法模块测试，评定优胜方，优胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获“最佳环测算法团队”称号．若每轮比赛中，A团队获优胜的概率为，且每轮比赛结果相互独立．
(1)当比赛结束时恰好进行了5轮，求A团队获“最佳环测算法团队”称号的概率；
(2)若比赛最多进行6轮，求比赛结束时轮数的分布列及数学期望；
19．(17分）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C B A D A BCD AD
题号 11
答案 AC
12．80 13．2
14．/ 依题意，，
又，，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：
15．（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，
得，．
由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．
16．（1）取的中点，连接，为平行四边形，故，所以是的中点；（2）平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
17．（1）设，则，过作轴的垂线，垂足为,则，
因为，则，则整理得代入中得，整理得，所以曲线C的方程为．
（2）设其方程为，由消去并整理得，，解得，设，则则，
令，则，且当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为．
18．设事件“第轮比赛团队获优胜”，则事件“第轮比赛团队获优胜”；
由题，
事件表示“当比赛结束时恰好进行了5轮，且团队获“最佳环测算法团队’称号”，
．
（2）（i）由题，的所有可能取值为3，5，6．
，
事件表示“当比赛结束时恰好进行了5轮，且团队获“最佳环测算法团队’称号”，
3 5 6
，
．
所以.
19．（1）当时，，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，在处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得，①当时，，所以在上单调递增，所以当时，，与矛盾；②当时，因为恒成立，所以.记，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.又，所以，所以.（3）先证，设，则，所以在区间上单调递减，所以，即.所以，再证.
由（2）可知，当时等号成立，令，则，
即，所以，
累加可得，所以

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