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临沧地区中学2025届高考适应性月考卷（六）
数学
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
3.在边长为的等边三角形中，的值为( )
A. B. C. D.
4.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
5.年月日，第四届中国国际进口博览会在国家会展中心上海开幕，共有个国家和地区加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种．
A. B. C. D.
6.从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
7.双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的有( )
A. 与为共面直线
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 与平面所成角的正切值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上恰有个零点
D. 若在上单调递增，则的最大值为
11.在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是： ．
A. 曲线关于直线对称
B. 若，则时到轴距离的最大值为
C. 若，如图，则
D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的二项展开式中仅有第项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为
13.在中，，，沿中线折起，使，连，所得四面体的体积为，则此四面体内切球的表面积为 ．
14.已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且．
求的值
若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求证：最大值小于
若有两个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为，，为线段的中点点，在上在第一象限，点，在上，．
求曲线的方程
设直线的方程为，求直线的斜率
若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．
18.本小题分
研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病发生或恶化某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
昼夜温差
新增就诊人数位
参考数据：，．
已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有位女生，从第一天新增的患感冒而就诊
的学生中随机抽取位，若抽取的人中至少有一位男生的概率为，求的值
已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经
验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数结果保留整数．
参考公式：
，
19.本小题分
已知正整数，满足，正整数满足，，对于确定的正整数，，记的最小值为例如：当，时，或，或，．
当时，写出的所有值及的值；
探究的值；
证明：．
答案
1.【答案】
【解析】解：由题意得，
若，由，得
故选：．
2.【答案】
解：，
则复数的模为，故A错；
的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由已知条件可得与的夹角为，
所以
．
4.【答案】
【解答】
解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和为，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
得，解得，，
所以小满日影长为尺．
故选B．
5.【答案】
解：用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有中方法，
在它们之间的两个空加上两头共有四个空位，从位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企业，共有种方法．
由分步乘法计数原理可得：甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：一天小时中，时针转圈，分针转圈，
所以分针比时针多转的圈数是，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合次，
故选：
7.【答案】
【解答】
解：如图，设，由对称性可知点在轴上方或者下方不影响结果，不妨令点在轴下方，如图所示：
根据题意可得、，，
双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，
，，
即直线的斜率为，
即直线方程为，
又点在双曲线上，
，
联立，得，
联立，得，
，
即，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立．
所以函数的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于：连接，如图所示：
，分别为，的中点，，
又因为平面，平面，
平面，平面，且不平行，
则与为异面直线，故A错误；
对于：连接，
点，分别为，的中点，，又，，
平面，平面，平面，
由选项A得，平面，平面，平面，
又，平面，平面，平面平面，故B正确；
对于：由选项B得平面，
点在线段上运动，
点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
，，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
，
，，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
因此，．
所以函数的图象，如图所示：
选项：因为
，故A不正确
选项：因为
，
所以的图象关于对称，故 B正确；
选项：由的函数解析式以及函数图像可知：
当时，，当时，，
当时，，
所以在上有无数个零点，故 C错误；
选项：由，，得，
因为在上单调递增，
所以由的图象可知，
解得，则的最大值为，故 D正确；
故选BD．
11.【答案】
【解析】解：设点，则，
对于选项，点关于直线的点为，
因为，
即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，错；
对于选项，当时，曲线的方程为，
当时，则，则，
所以，，可得，可得，
对于不等式，即，显然该不等式恒成立，
对于不等式，即，解得，
因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，对；
对于选项，点关于直线的对称点为，
因为，
即点在曲线上，故曲线关于直线对称，
如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，

当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，
所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：

显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点，
则曲线与线段相切，
由，可得，则，可得，
且当时，方程为，解得，合乎题意，
综上所述，，对；
对于选项，若曲线与轴正半轴交于，
则，则有，
当时，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，对．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：根据的二项展开式中仅有第项的二项式系数最大，可得，
所以展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式的常数项为．
故答案为：．
13.【答案】
解：可知，面，
四面体的体积，得，，
所以四面体的表面积为，
设内切球的半径为，由，得，
内切球的表面积为．
故答案为：．
14.【答案】
解：由题意，在上恒成立，
即时 ，恒成立．
，整理得恒成立，即，
所以，
令，则，故 单调递增，
所以，即恒成立，
令，则，
当时，当时，故，
，即．
故答案为 ：．
15.【答案】解：因为，则，又，则，
所以，则，
所以，
又，所以，
所以；
设，，由知，则，，
又，则，即，得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
16.【答案】解：证明：当时，，
易知在上单调递减，
在，，，
存在唯一的点使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
其中满足，则，
所以，
等号成立的条件为，事实上，
所以；
，
易知在上单调递减，
当时，，时，，
所以存在唯一的使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由于时，，时，，
因为有两个零点，则必须有，
即，其中，
所以，
令，
易知在上单调递增，
且，
又，当时，，
即实数的取值范围为．
17.【答案】解：由题意，，由为线段的中点得，所以曲线的方程为；
设，，，，
联立消，得，，，
则，因为，则
因为，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
因为，，，，
所以，，
因为，所以
因为，，，，
所以，
由代入得，
由得，
因为，，所以，所以，同理，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立消去，得，
所以，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：由题意得，
，
，
解得；
，，
，
，
，
，
又，
解得，
，
，
当时，，
可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数为人．
19.【答案】解：的所有值为：，，，，
所以．
当时，探究展示如下表：
项数
项数
项数
项数
项数
由上表可知，．
当时，探究展示如下表：
项数
项数
项数
项数
项数
项数
项数
项数
项数
项数
项数
由上表可知，．
猜想时，．
证明如下：
的各项的取值只有，，三种可能，
记其中取值为，，的项数分别为，，．
取，，，有，
此时．
假设不是的最小值，则存在，，，
使得，且．
消去，得，
因为，，，
所以或或
则若，解得
若，解得；
若，解得．
故矛盾．
所以是的最小值，．
解法一：
由可知：，
要证，即证，
因为左边
．
故原不等式得证．
解法二：
由可知：
，
要证，即证，
因为左边
．
故原不等式得证．
解法三：
由可知：
，
因为左边
．
故原不等式得证．

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