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2024-2025学年福建省部分优质高中高二下学期第二次阶段合格性质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共19小题，每小题5分，共95分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.复数在复平面的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，在中，，则等于( )
A. B. C. D.
5.若实数满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则( )
A. B. C. D.
10.( )
A. B. C. D.
11.如图所示，函数的单调递减区间为( )
A. B. 和 C. D.
12.已知圆柱的底面半径是，高是，则该圆柱的体积是( )
A. B. C. D.
13.某校高一年级个班参加广播体操比赛的比赛分数由小到大排列为：、、、、、、、、、，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
14.在中，，则( )
A. B. C. D.
15.函数的值域为( )
A. B. C. D.
16.若一组数据，，的平均数为，方差为，那么数据，，的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
17.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点若，则三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
18.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球，则两次都摸到红球的概率( )
A. B. C. D.
19.设，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
20.若，则的值为
21.是虚数单位，则，则的值为 ．
22.向量是两个单位向量，夹角为，则 ．
23.某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图其中这名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长单位：小时范围是，数据分组为这名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于小时的人数为 人
三、解答题：本题共3小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，与交于点，平面，且．

求证：平面；
求与平面所成角的大小．
25.本小题分
已知函数的图象经过．
求的解析式；
判断的奇偶性，并说明理由．
26.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
若，证明：是等边三角形；
若，求．
参考答案
1.
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15.
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17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.证明：四边形是正方形，
，
又平面，平面，则，
，平面，平面，
平面；
解：连接，如图所示：
平面，
为与平面所成的角，
，四边形是正方形，
所以，
，
在中，，
因为，
，
即与平面所成的角为．
25.因为函数的图象经过，
所以，解得，
所以；
函数为上的奇函数．
由可知，
由于，其定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数．

26.
证明：由，
可得，
因为，
由正弦定理可得，
所以，
即，
可得，
结合，所以为 等边三角形；
解：因为，
由正弦定理得，
平方可得，
又因为，
可得，
可得，
所以，即，
则，
由余弦定理，可得
．

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