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2024-2025 学年江西省宜春一中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数 ( )在 = ( + ) ( )0处可导，且 → 0 0 0 = 2，则 ′( 0) =( )
A. 3 B. 2 C. 32 D. 2
2.若数列{ }各项均为正数，则“{ }为等比数列”是“{ }为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知数列{ }满足 +1 = 1，若 8 = 10， = 0，则 =( )
A. 28 B. 13 C. 18 D. 20
4 1 4.在公差不为 0 的等差数列{ }中，若 3是 与 的等差中项，则 + 的最小值为( )
A. 32 B.
5
3 C.
6
5 D.
9
5
5.在等比数列{ }中， 3，
1 3
7是函数 ( ) = 3 + 4
2 + 9 1 的极值点，则 5 =( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
6.已知函数 ( )是奇函数，函数 ( )是偶函数，且当 > 0 时， ′( ) > 0， ′( ) > 0，则 < 0 时，以
下说法正确的是( )
A. ′( ) + ′( ) > 0 B. ′( ) ′( ) > 0
C. ′( ) ′( ) > 0 D. ′( ) > 0
′( )
7 1 1.已知函数 ( ) = + ( ∈ )的图象在点( , ( ))
1
处的切线的斜率为 ，则数列{ }的前 项和 +1
为( )
2 2
A. 1 B. 3 +5 3 +5 +1 2( +1)( +2) C. 4( +1) D. 8( +1)( +2)
8.已知函数 = ( )在 上可导，且 (1) = 1，其导函数 ′( )满足 ′( ) 2 ( ) > 0，则不等式 2 (ln(
1)) < ( 1)2的解集为( )
A. (1, ) B. (1, + 1) C. ( , + 1) D. ( + 1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的是( )
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A.若数列{ } 为等差数列，则{ }也是等差数列
B.若数列{ }为等差数列，则 2， 4 2， 6 4，…为等差数列
C.若数列{ }为等比数列，且 3 = 7， 3 = 21
7
，则 4 = 2
D.若数列{ }为等比数列，则 2， 4 2， 6 4，…为等比数列
2
10 + 1.已知函数 ( ) = ，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )存在两个不同的零点
B.函数 ( )既存在极大值又存在极小值
C.当 < ≤ 0 时，方程 ( ) = 有且只有两个实根
D.若 ∈ [ , + ∞) 5时， ( ) = 2，则 的最小值为 2
11.已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 1 = 1， 2 = 4， +1 = 4 3 1( ≥ 2, ∈ )，则下列说法
正确的有( )
A.数列{ +1 }为等比数列 B.数列{ +1 2 }为等差数列
+1
C. =
3 1
2 D. =
3 2 3
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设{ }为等差数列，其前 项和为 .若 3 + 7 = 10，则 9 = ______．
13.若不等式 2 2 + ≤ 0 有解，则实数 的取值范围为______．
14.已知数列{ }满足 ( 1) + +2 = 2 1， 20 = 650，则 1 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在数列{ }中， 1 = 2， +1 = 3 2．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = + ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 10 + 3 ′(1) ．
(1)求函数 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
17.(本小题 15 分)
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数
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分成许多类，把按照下图排列规律的数 1，5，12，22，…，称为五边形数，记五边形数构成的数列为{ }，
数列{ }的前 项和为 ，满足 = 2 ．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2) = 若 ，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 1 + (1 + )．
(1)求函数 ( )的单调区间．
(2)当 = 2 时，若对任意 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( ) + + 2 ≤ + 恒成立，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
对于数列{ }如果存在一个正整数 ，使得对任意 ( ∈ )，都有 + = 成立，那么就把这样的一类数
列{ }称作周期为 的周期数列， 的最小值称作数列{ }的最小正周期，简称周期．
(1)判断数列 = |sin

2 |是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由．
(2)已知无穷数列{ }是周期为 2 的周期数列，且 1 = 3， 2 = 1， 是数列{ }的前

项和，若 ≤ 对一切
正整数 恒成立，求常数 的取值范围；
1 = 1, 2 =
(3)若无穷数列{ }和{ }满足 = +1 ，且 = +1 +2 ( ≥ 1, ∈ )
是否存在非零常数 ，使得{ }

是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数 ；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45
13.( ∞, 1]
14.3
15.解：(1) ∵ +1 = 3 2 +1 1 = 3( 1)，
∴数列{ 1}是以 1 1 = 1 为首项，3 为公比的等比数列，
∴ 1 = 3 1，∴ = 3 1 + 1；
(2) ∵ = + = 3 1 + ( + 1)，

∴ = 1 3 + (2+ +1) = 3 1+ ( +3) 1 3 2 2 ．
16. (1) ( ) = 2 10 + 3 (1) ( ) = 2 10 + 3 ′(1)解： 由 ′ ，得 ′ ，
则切线的斜率 = ′(1) = 8 + 3 ′(1)，解得 ′(1) = 4，
所以 ( ) = 2 10 + 12 ， (1) = 9，
所以切线方程为 = 4 13．
(2)由(1)知，函数 ( ) = 2 10 + 12 ，定义域为(0, + ∞)，
( ) = 2 10 + 12 = 2( 2)( 3)则 ′ ，
当 0 < < 2 或 > 3 时， ′( ) > 0，当 2 < < 3 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( )在(0,2)，(3, + ∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，
当 = 2 时， ( )取得极大值 (2) = 16 + 12 2，
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当 = 3 时， ( )取得极小值 (3) = 21 + 12 3，
所以函数 ( )的递增区间为(0,2)，(3, + ∞)，递减区间为(2,3)，
极大值 16 + 12 2，极小值 21 + 12 3．
17.解：(1) 1 = 1由题意可知 = 1 + 3 2 ≥ 2，
∴当 ≥ 2 时， 1 = 3 2；
累加得 = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1) = 1 + 3(2 + 3 + 4 + + ) 2( 1)，
2
= 1 + 3( 1)( +2)2 2( 1) = 1 +
( 1)(3 +2)
2 =
3
2 ( ≥ 2)，
当 = 1 时， 1 = 1 满足上式．
∴ 3
2
= 2 , ∈ ，
∵ = 2 ．
∴当 ≥ 2 时， 1 = 2 1，且 1 = 1 ≠ 0，
∴两式相减得 = + 1，
∴ 2 1 = 1，即 = 2 ( ≥ 2)． 1
∴ 1数列{ }是首项为 1，公比为2的等比数列，
∴ = ( 1 1 2 ) ．
(3 1)
2 (
1 1
(2) = 2
) 1
= (3 1)( 2 ) ，
∴ = 2 × (
1 ) + 5 × ( 1 2 1 2 2 ) + + (3 1) × ( 2 ) ①，
1
2 = 2 × (
1
2 )
2 + 5 × ( 12 )
3 + + (3 1) × ( 1 +12 ) ②，
1 = 1 + 3 × [( 1 )2 + ( 1 )3 + + ( 1① ②得 ) 2 2 2 2 ] (3 1) × (
1 ) +12 ，
1 (1) +1
= 1 + 3 × 4 2 1 (3 1) × (
1
2 )
+1，
1 2
= 5 3 +52 2 +1．
3 +5
所以： = 5 2 ．
18.解：(1)函数 ( ) = 2 1 + (1 + )( > 1)，
2 2 ′( ) = 2 + +2 + +1 = +1 ，
当 = 4 8 ≤ 0，即 ≥ 12时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在( 1, + ∞)上单调递增；
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当 = 4 8 > 0 1 1 1 2 1+ 1 2 ，即 < 2时，令 ′( ) = 0，得 1 = 2 ， 2 = 2 ，
当 ≤ 0 时， 1 ≤ 1， 2 > 1，∴ ( )在( 1, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 12时， 1 > 1， 2 > 1，∴ ( )在( 1, 1)和( 2, + ∞)上单调递增，在( 1, 2)上单调递减．
1
综上所述：当 ≥ 2时，单调递增区间为( 1, + ∞)，无单调递减区间；
当 ≤ 0 时， ( ) ( 1+ 1 2 的单调递增区间为 2 , + ∞)
1+ 1 2
，单调递减区间为( 1, 2 )；
0 < < 1 ( ) ( 1, 1 1 2 当 2时， 的单调递增区间为 2 )，(
1+ 1 2
2 , + ∞)，
1 1 2 1+ 1 2
单调递减区间为( 2 , 2 )；
(2)当 = 2 时，不等式可化为 2 1+ 2 (1 + ) + + 2 ≤ + ，
变形为 2 + 2 + 1 + 2 (1 + ) ≤ + + ( + 1)2 + ln(1 + )2 ≤ + ln( )，
同构函数 ( ) = + ，求导得 ′( ) = 1 + 1 > 0，
所以 ( ) = + 在(0, + ∞)上是增函数，而原不等式可化为 (( + 1)2) ≤ ( )，
2
根据单调性可得：( + 1)2 ≤ ≥ ( +1) ， ∈ ( 1, + ∞)，
( +1)2 ( ) = ( ) = 2( +1)
( +1)2 =
2+1
再构造 ，则 ′ ( )2 ， ∈ ( 1, + ∞)，
2 2
当 ∈ ( 1,1)时， ′( ) = +1 > 0 ( +1) ，则 ( ) = 在 ∈ ( 1,1)上单调递增，
2
∈ (1, + ∞) ( ) = +1 < 0 ( ) = ( +1)
2
当 时， ′ ，则 在 ∈ (1, + ∞)上单调递减，
2
所以 ( ) = (1) = (1+1) = 4 ≥ 4 4 1 ，即满足不等式成立的 ，所以 的最小值为 ．
19. (1) = |sin ( +1) | = |sin( ( +2) 解： 因为 1 2 2 + 2 )| = |cos 2 | ≠ , +2 = |sin 2 | = |sin( 2 + )| =
| sin 2 | = |sin

2 | = ，
所以数列{ }是周期数列，其最小正周期为 2；
(2)因为无穷数列{ }是周期为 2 的周期数列，且 1 = 3， 2 = 1，

所以当 为偶数时， = 2 ( 1 + 2) = 2 ；
当 = 1为奇数时， 2 ( 1 + 2) + 1 = 2 + 1，

因为 ≤ 对一切正整数 恒成立，

所以当 为偶数时， = 2，故只需 ≥ 2 即可；
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当 1为奇数时， = 2 + ≤ 3 恒成立，故只需 ≥ 3 即可；

综上， ≤ 对一切正整数 恒成立，常数 的取值范围为[3, + ∞)；
(3)假设存在非零常数 ，使得{ }是周期为 的数列，所以 + = ，即 + = 0，
所以 + +1 = +1， + = ，即 + +1 +1 = + = 0，
所以 + +1 + = +1 ，即 + = + + 1 + = +1 = ，
所以数列{ }是周期为 的周期数列，
因为 1+ 1 = ( 1+ ) + ( 1) + . . . . . . + ( 3 2) + ( 2 1) = + 1 + . . . . . . + 2 + =
0，
1 = 1, =
即
2
=1 = 0，因为 = +1 +2 ( ≥ 1, ∈ )
，

= 1 = = 1 1 所以 1 ， 2 ， 23 = ， 4 =
3
= 1， =
4 = 5 6 75
1 2 3
， 6 = = ， 7 = = 1， 8 =4 5
= ，
6
89 = = ，. . . . . .7
所以数列{ }的周期为 = 6，
6 2所以 2 1 2 3 =1 = 2 + 2 + = 0，即 + + 1 = ( + 2 ) + 4 = 0，显然方程无解，
所以不存在非零常数 ，使得{ }是周期数列．
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