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第1练　平面向量的概念及其线性运算（原卷版）
一、单项选择题
1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为(　　)
A．3e2－e1 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
2．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|≥|λ|a
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a⊥b
C．a＝2b D．a⊥b且|a|＝|b|
4．已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
5.(2025·山东德州模拟)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
6．(2025·浙江稽阳联谊学校联考)已知平面向量a，b，c均为单位向量，则“|a＋b－c|＝3”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
8．P是菱形ABCD内部一点，若2＋3＋＝0，则菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是(　　)
A．6 B．8
C．12 D．15
二、多项选择题
9．给出下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC的面积的
11.如图所示，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，下列结论中正确的是(　　)
A．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
B．当x＝－时，y∈
C．若x＋y为定值2，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．x－y的最大值为－1
三、填空题
12．(2025·北京日坛中学调研)已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝______．
13．(2025·山东烟台模拟)如图，△ABC中，M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，＝λ，则λ＝________．
14．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB⊥PD，则||的最大值是________，|＋|的值是________．
四、解答题
15．已知向量a，b不共线，且＝2a－b，＝3a＋b，＝a＋λb.
(1)将用a，b表示；
(2)若与共线，求λ的值．
16．如图，在 ABCD中，E，H分别是AD，BC的中点，＝2，G为DF与BE的交点．
(1)记向量＝a，＝b，试用向量a，b表示，；
(2)若＝m＋n，求m，n的值；
(3)求证：A，G，H三点共线．
第1练　平面向量的概念及其线性运算（解析版）
一、单项选择题
1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为(　　)
A．3e2－e1 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
答案：C
解析：如图所示，a－b＝＝e1－3e2.故选C.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|≥|λ|a
答案：B
解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a⊥b
C．a＝2b D．a⊥b且|a|＝|b|
答案：C
解析：由于a，b都是非零向量，若＝成立，则a与b需要满足共线同向．
4．已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
答案：B
解析：由于a，b为不共线的非零向量，根据向量共线定理，向量，，向量，显然不共线，A，C错误；因为＝＋＝a＋5b＝，且与有公共点B，所以A，B，D三点共线，B正确；因为＝＋＝－a＋13b，显然和不共线，D错误．故选B.
5.(2025·山东德州模拟)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
答案：A
解析：因为＝－＋＋＝－＋＋＝－，＝＝－，所以＝＋＝＋－＝＋.故选A.
6．(2025·浙江稽阳联谊学校联考)已知平面向量a，b，c均为单位向量，则“|a＋b－c|＝3”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为平面向量a，b，c均为单位向量，所以|a＋b－c|≤|a|＋|b|＋|c|＝3，当且仅当a，b，－c同向共线时取等号，则当|a＋b－c|＝3时，a与b共线，反之，a与b共线且方向相反时，|a＋b－c|＝1，所以“|a＋b－c|＝3”是“a与b共线”的充分不必要条件．故选A.
7．在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
答案：B
解析：如图所示，由题意知，＝，＝，设＝x，所以＝＋＝＋x＝＋x(－)＝x＋(1－x)＝x＋(1－x)，所以μ＝x，λ＝(1－x)，所以λ＋μ＝(1－x)＋x＝.
8．P是菱形ABCD内部一点，若2＋3＋＝0，则菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是(　　)
A．6 B．8
C．12 D．15
答案：A
解析：如图，设AB的中点为E，BC的中点为F，因为2＋3＋＝0，即2＋2＋＋＝0，则4＋2＝0，即＝－2，则S△PBC＝2S△PBF＝2×S△BEF＝×S△ABC＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，所以菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是6.故选A.
二、多项选择题
9．给出下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
答案：AD
解析：对于A，由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，A正确；对于B，在△ABC中，＝＋，但AC≠AB＋BC，B错误；对于C，，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，故AC≠AB＋BC，C错误；对于D，，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正确．故选AD.
10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC的面积的
答案：ACD
解析：对于A，由＝＋，得－＝－，即＝，则M是边BC的中点，所以A正确；对于B，由＝2－，得－＝－，所以＝，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；对于C，如图，设BC的中点为D，则＝－－＝＋＝2，由重心的性质可知C正确；对于D，由＝x＋y，且x＋y＝，得2＝2x＋2y，2x＋2y＝1.设＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，
C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC的面积的，所以D正确．故选ACD.
11.如图所示，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，下列结论中正确的是(　　)
A．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
B．当x＝－时，y∈
C．若x＋y为定值2，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．x－y的最大值为－1
答案：CD
解析：当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋)＝－＋，故A错误；如图1，当x＝－时，令＝－，则＝－＋y，即＝＋y，即＝y，∴∥，①当P在点M时，则△OAB∽△FAM，∴＝＝，∴FM＝OB，即y＝.②当P在点N时，∵＝2，则＝＋2＝，即y＝，∴y∈，故B错误；如图2，当x＋y＝2时，＝·2＋·2，令＝2，＝2，则＝＋，∵＋＝1，∴P，H，K三点共线，且HK交CD于I，HK∥BC，∴点P的轨迹是线段KI，故C正确；由图可知x≤0，y≥1，当x＝0，y＝1时，x－y取得最大值－1，故D正确．故选CD.
三、填空题
12．(2025·北京日坛中学调研)已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝______．
答案：3
解析：∵＝2－2，∴＋＝2(－)＝2，即3＝，∴3||＝||，∴＝3.
13．(2025·山东烟台模拟)如图，△ABC中，M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，＝λ，则λ＝________．
答案：
解析：在△ABC中，因为M是BC的中点，所以＝＋，则＝λ＝＋，又＝，于是得＝＋，因为C，D，N三点共线，所以＋＝1，解得λ＝.
14．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB⊥PD，则||的最大值是________，|＋|的值是________．
答案：5　5
解析：因为PB⊥PD，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B，D)，如图，设BD的中点为O，由题意得BD＝5，所以圆O的半径r＝，由圆的性质可得||max＝2r＝5.由矩形的性质可得O也为AC的中点，所以|＋|＝|2|＝2r＝5.
四、解答题
15．已知向量a，b不共线，且＝2a－b，＝3a＋b，＝a＋λb.
(1)将用a，b表示；
(2)若与共线，求λ的值．
解：(1)因为＝2a－b，＝3a＋b，所以＝－＝3a＋b－(2a－b)＝a＋2b.
(2)因为与共线，＝2a－b，＝a＋λb，所以＝t，即2a－b＝t(a＋λb)，
又向量a，b不共线，所以
解得t＝2，λ＝－，即λ的值为－.
16．如图，在 ABCD中，E，H分别是AD，BC的中点，＝2，G为DF与BE的交点．
(1)记向量＝a，＝b，试用向量a，b表示，；
(2)若＝m＋n，求m，n的值；
(3)求证：A，G，H三点共线．
解：(1)因为在 ABCD中，E，H分别是AD，BC的中点，＝2，
所以＝－＝－＝b－a，
＝－＝－＝a－b.
(2)由(1)，知＝b－a，＝a－b，
所以＝m＋n
＝m＋n
＝a＋b，
因为＝a＋b，所以
解得
(3)证明：＝＋＝a＋b，
设＝λ，＝μ，则
＝＋＝a＋λ
＝(1－λ)a＋λb，
又＝＋＝b＋μ＝μa＋(1－μ)b，
所以解得
所以＝a＋b，
所以＝＝，
所以∥，
又，有公共点A，
所以A，G，H三点共线．
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