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第2练　平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）
一、单项选择题
1．若{e1，e2}是平面α内的一个基底，则下列四组向量能构成平面α的一个基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1
B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2
D．2e1＋e2，e1＋e2
2．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
3．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B．(－6，8)
C. D．(6，－8)
4．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
5．(2024·河北秦皇岛二模)已知向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1，4m＋1)，则“m＝－”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2025·湖南益阳模拟)在平行四边形ABCD中，＝，＝，若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A. B.
C. D．1
7．已知向量a＝(1＋cosx，2)，b＝(sinx，1)，x∈，若a∥b，则sinx＝(　　)
A. B.
C. D.
8.古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则＝(　　)
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－＋
二、多项选择题
9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是(　　)
A．－2 B.
C．1 D．－1
10．若D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝－a－b B.＝a＋b
C.＝－a＋b D.＝a
11．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是(　　)
A．－6 B．1
C．5 D．9
三、填空题
12．已知向量a＝(log2x，1)，b＝(log23，－1)，若a∥b，则x＝________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
14．如图，已知 ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，则＝________，＝________．(用e1，e2表示)
四、解答题
15．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
16.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心的上运动，若＝x＋y，求2x－y的取值范围．
第2练　平面向量基本定理及坐标表示（解析版）
一、单项选择题
1．若{e1，e2}是平面α内的一个基底，则下列四组向量能构成平面α的一个基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1
B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2
D．2e1＋e2，e1＋e2
答案：B
解析：由{e1，e2}是平面α内的一个基底，则e1，e2非零不共线．对于A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不满足题意；对于B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对于C，2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对于D，2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意．故选B.
2．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为＝＋＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以＝＝，所以＝.
3．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B．(－6，8)
C. D．(6，－8)
答案：D
解析：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．
4．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
答案：A
解析：设c＝(x，y)，则由题意，得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
5．(2024·河北秦皇岛二模)已知向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1，4m＋1)，则“m＝－”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1，4m＋1)，若a与b共线，则m(4m＋1)－(2m＋3)＝0，解得m＝－或m＝1，所以“m＝－”是“a与b共线”的充分不必要条件．故选A.
6．(2025·湖南益阳模拟)在平行四边形ABCD中，＝，＝，若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A. B.
C. D．1
答案：B
解析：由题意，如图所示，因为＝＝(＋)＝＝＝＋＝m＋n，所以m＝，n＝，所以m＋n＝.故选B.
7．已知向量a＝(1＋cosx，2)，b＝(sinx，1)，x∈，若a∥b，则sinx＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：根据题意，向量a＝(1＋cosx，2)，b＝(sinx，1)，若a∥b，则2sinx＝1＋cosx，变形可得cosx＝2sinx－1，又sin2x＋cos2x＝1，则有sin2x＋(2sinx－1)2＝1，变形可得5sin2x－4sinx＝0，解得sinx＝0或sinx＝，又x∈，则sinx＝.故选A.
8.古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则＝(　　)
A．－＋ B．－＋
C．－＋ D．－＋
答案：B
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设AD＝2，则A(－1，)，B(5，5)，D(0，0)，E(9，)，C(0，4)，故＝(6，4)，＝(9，－3)，＝(9，)．设＝x＋y，则解得所以＝－＋.故选B.
二、多项选择题
9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是(　　)
A．－2 B.
C．1 D．－1
答案：ABD
解析：若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．故选ABD.
10．若D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝－a－b B.＝a＋b
C.＝－a＋b D.＝a
答案：ABC
解析：如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B正确；＝(＋)＝－a＋b，故C正确；＝＝－a，故D不正确．故选ABC.
11．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是(　　)
A．－6 B．1
C．5 D．9
答案：BC
解析：设＝a，＝b，求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：①若P在A点，∵＝a，∴x＋y＝1＋0＝1；②若P在B点，∵＝b，∴x＋y＝0＋1＝1；③若P在C点，∵＝＋＝a＋2b，∴x＋y＝1＋2＝3；④若P在D点，∵＝＋＋＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴x＋y＝2＋3＝5；⑤若P在E点，∵＝＋＝a＋b，∴x＋y＝1＋1＝2；⑥若P在F点，∵＝＋＝a＋3b，∴x＋y＝1＋3＝4.∴x＋y的最大值为2＋3＝5.根据对称性，可知x＋y的最小值为－5.故选BC.
三、填空题
12．已知向量a＝(log2x，1)，b＝(log23，－1)，若a∥b，则x＝________．
答案：
解析：因为a∥b，所以－log2x＝log23，所以log2x＋log23＝0，所以log2(3x)＝0，所以3x＝1，所以x＝.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
答案：(－3，9)
解析：因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝λ＝λ(0，1)＋λ＝，又||＝3，所以＋＝(3)2，解得λ＝5.故向量＝(－3，9)．
14．如图，已知 ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，则＝________，＝________．(用e1，e2表示)
答案：－e1＋e2　－e1＋e2
解析：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.由＋＝，＋＝，得由①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以＝－e1＋e2.同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
四、解答题
15．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2)解法一：∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一的实数λ，使＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
解法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
16.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心的上运动，若＝x＋y，求2x－y的取值范围．
解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，设P(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，
则A(0，0)，E(1，0)，D(0，1)，F，
因为＝x＋y，
所以(cosα，sinα)＝x(－1，1)＋y，
所以cosα＝－x＋y，sinα＝x＋y，
所以x＝(3sinα－cosα)，y＝(cosα＋sinα)，
所以2x－y＝sinα－cosα＝sin(α－45°)，
因为0°≤α≤90°，
所以－45°≤α－45°≤45°，
所以－≤sin(α－45°)≤，
所以－1≤sin(α－45°)≤1，
所以2x－y的取值范围是[－1，1]．
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