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第3练　平面向量的数量积及应用（原卷版）
一、单项选择题
1．已知向量a＝(－2，6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝(　　)
A．－30 B．30
C．－100 D．100
2．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
3．(2025·甘肃张掖模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若(λa＋b)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝0 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝－1 D．λμ＝0
4．若|a|＝|a－b|＝1，且a与a－b的夹角为60°，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．7 D．3
5．(2025·广东广州模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos〈a－b，a〉＝(　　)
A. B.
C. D.
6.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
7.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．－1
8．(2025·山东济南模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是靠近点B的三等分点，E是边BC上的动点，则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则(　　)
A．a·b＝10
B．向量a与b的夹角为
C.＝
D．向量c＝(－6，2)与a垂直
10．(2025·江苏泰州模拟)定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题正确的是(　　)
A．若平行四边形ABCD的面积为4，则|×|＝4
B．在正三角形ABC中，若＝|×|·(＋)，则＝
C．若|a×b|＝，a·b＝1，则|a＋2b|的最小值为12
D．若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2＋2
11．已知16个边长为2的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则(　　)
A.·＝－20
B.在上的投影向量为
C.＝＋
D.在上的投影向量的模为2
三、填空题
12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
13．(2025·山东潍坊联考)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，·a＝0，则a与b的夹角为________．
14.(2025·山东青岛模拟)如图，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知点A，D为f(x)的零点，点B，C为f(x)的极值点，·＝－||2，则函数f(x)的解析式为________．
四、解答题
15．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，当与的夹角为60°时，求·的值．
16．在平面直角坐标系中，已知a＝(1，－2)，b＝(3，4)．
(1)若(4a－b)⊥(a＋kb)，求实数k的值；
(2)若c＝(2，t)，向量a－b与向量a－c的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
第3练　平面向量的数量积及应用（解析版）
一、单项选择题
1．已知向量a＝(－2，6)，b＝(1，x)，若a与b反向，则a·(3a＋b)＝(　　)
A．－30 B．30
C．－100 D．100
答案：D
解析：由已知，得a与b共线，则－2x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2，6)＋(1，－3)＝(－5，15)，因此a·(3a＋b)＝(－2，6)·(－5，15)＝100.故选D.
2．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
答案：C
解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C.
3．(2025·甘肃张掖模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若(λa＋b)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝0 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝－1 D．λμ＝0
答案：A
解析：根据题意，a⊥b，所以a·b＝0，又(λa＋b)⊥(a＋μb)，所以(λa＋b)·(a＋μb)＝0，即λa2＋(1＋λμ)a·b＋μb2＝0，因为|a|＝|b|＝1，所以λ＋μ＝0.故选A.
4．若|a|＝|a－b|＝1，且a与a－b的夹角为60°，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．7 D．3
答案：B
解析：因为a·(a－b)＝|a|2－a·b＝1－a·b，且a·(a－b)＝|a||a－b|cos60°＝1×1×＝，故1－a·b＝，解得a·b＝，又|a－b|＝1，两边平方，得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1，即1－1＋|b|2＝1，解得|b|＝1，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋1＋1＝3，故|a＋b|＝.故选B.
5．(2025·广东广州模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos〈a－b，a〉＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以a＝(2，1)，a－b＝(1，3)，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.故选D.
6.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：B
解析：由题意，知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|·cosθ＋v＝0，即10×4cosθ＋42＝0，所以cosθ＝－.
7.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．－1
答案：C
解析：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋||||cos＋||||·cos＋0＝－＝0.故选C.
8．(2025·山东济南模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是靠近点B的三等分点，E是边BC上的动点，则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设与的夹角为θ，则·＝||||cosθ，且|AE|·cosθ是在方向上的投影向量的模．如图，过点A作BC的垂线，垂足为F.由向量的投影可知，当点E与点B重合时，·取得最大值，为||||，当点E与点C重合时，·取得最小值，为－||||.由S△ABC＝||||·sin120°＝||||＝，cos∠BAC＝＝－，得||＝，||＝.因为D是靠近点B的三等分点，所以||＝，||＝＝，从而·的最大值||||＝×＝.||＝||－||＝，则·的最小值－||||＝－×＝－.故选D.
二、多项选择题
9．(2025·辽宁沈阳模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则(　　)
A．a·b＝10
B．向量a与b的夹角为
C.＝
D．向量c＝(－6，2)与a垂直
答案：BD
解析：对于A，∵a＝(1，3)，b＝(2，－4)，∴a·b＝1×2＋3×(－4)＝－10，故A错误；对于B，cos〈a，b〉＝＝＝－，又0≤〈a，b〉≤π，∴向量a与b的夹角为，故B正确；对于C，∵a＋b＝(1，3)＋(2，－4)＝(2，1)，∴＝＝，故C错误；对于D，∵c·a＝－6×1＋2×3＝0，∴c⊥a，故D正确．故选BD.
10．(2025·江苏泰州模拟)定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题正确的是(　　)
A．若平行四边形ABCD的面积为4，则|×|＝4
B．在正三角形ABC中，若＝|×|·(＋)，则＝
C．若|a×b|＝，a·b＝1，则|a＋2b|的最小值为12
D．若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2＋2
答案：ABD
解析：对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以||||sin∠BAD＝4，所以|×|＝4，所以A正确；对于B，设正三角形ABC的边BC的中点为E，则＝|×|·(＋)＝2||||sin60°·＝||2·，所以＝＝＝＝，所以B正确；对于C，因为|a×b|＝，a·b＝1，所以|a|·|b|sin〈a，b〉＝，|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以tan〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，所以|a||b|＝2，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2≥2＋4＝12，当且仅当|a|＝2|b|＝2时，等号成立，所以|a＋2b|的最小值为2，所以C错误；对于D，若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则当|a|＝，〈a，b〉＝，|c|＝4，〈b，c〉＝时，〈a，c〉＝＋＝，sin＝sin＝sincos＋cossin＝，此时|a×c|＝|a||c|sin〈a，c〉＝4×＝2＋2，所以D正确．故选ABD.
11．已知16个边长为2的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则(　　)
A.·＝－20
B.在上的投影向量为
C.＝＋
D.在上的投影向量的模为2
答案：BC
解析：因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形．以该图形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－5，0)，B(3，2)，C(－1，－2)，D(4，－)，所以＝(8，2)，＝(4，－2)，＝(9，－)，＝(－4，－4)，所以·＝－36＋12＝－24，在上的投影向量为·＝＝，在上的投影向量的模为＝＝3，所以A，D错误，B正确；因为＋＝＝(9，－)＝，所以C正确．
三、填空题
12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
答案：－
解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
13．(2025·山东潍坊联考)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，·a＝0，则a与b的夹角为________．
答案：
解析：设a与b的夹角为θ，因为·a＝0，所以a·b＝|a|2＝|b|2，则cosθ＝＝|b|2×＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
14.(2025·山东青岛模拟)如图，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知点A，D为f(x)的零点，点B，C为f(x)的极值点，·＝－||2，则函数f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝sin
解析：由题图可得D，又T＝，则A，B，C，则＝，＝，则·＝－3＝－||2＝－，化简，得－＝0，又ω>0，则ω＝，则有×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<π，则φ＝，即f(x)＝sin.
四、解答题
15．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，当与的夹角为60°时，求·的值．
解：(1)∵＝，∴＋＝＋，
即2＝＋，∴＝＋，
∴x＝，y＝.
(2)∵＝3，∴＋＝3＋3，
即4＝＋3，∴＝＋，
·＝·(－)＝·－·＋·＝×22－×42＋×4×2×＝－9.
16．在平面直角坐标系中，已知a＝(1，－2)，b＝(3，4)．
(1)若(4a－b)⊥(a＋kb)，求实数k的值；
(2)若c＝(2，t)，向量a－b与向量a－c的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
解：(1)由a＝(1，－2)，b＝(3，4)，得4a－b＝(1，－12)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
又(4a－b)⊥(a＋kb)，
所以(4a－b)·(a＋kb)＝1×(1＋3k)＋(－12)×(－2＋4k)＝－45k＋25＝0，
解得k＝.
(2)由已知，得a－b＝(－2，－6)，a－c＝(－1，－2－t)，
又向量a－b与向量a－c的夹角为锐角，
即(a－b)·(a－c)＝(－2)×(－1)＋(－6)×(－2－t)＝14＋6t>0，解得t>－.
当(a－b)∥(a－c)时，有－2×(－2－t)＝－6×(－1)，
解得t＝1，所以t>－且t≠1，
即实数t的取值范围为.
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