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第4练　复数（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A.0 B．1
C. D．2
2．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝(　　)
A．－i B．1
C．－1 D．2
3．已知＝i，则复数的虚部是(　　)
A．－1 B．－i
C．1 D．i
4．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，则的共轭复数为(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．－1－i D．1－i
5．(2024·四川遂宁三模)若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则复数z－1在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数z＝cos6＋isin6，现有如下说法：①|z|＝1；②复数z的实部为正数；③复数z的虚部为正数．则正确说法的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
7．(2025·黑龙江大庆模拟)若复数z满足z＋2＝1＋2i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．复数z＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若|z＋1|＝|z－1|，则点Z在圆上
B．若|z＋1|＋|z－1|＝2，则点Z在椭圆上
C．若|z＋1|－|z－1|＝2，则点Z在双曲线上
D．若|x＋1|＝|z－1|，则点Z在抛物线上
二、多项选择题
9．(2025·湖南长沙调研)已知复数z，z＋2i在复平面内对应的点分别为M，N，且点M，N均在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上，若点M在第四象限，则(　　)
A．点N在第一象限 B．|MN|＝2
C．OM⊥ON D．z2＋2＝
10．(2025·山东济南模拟)已知z1，z2，z3是方程(z－i)(z2－2z＋4)＝0的三个互不相等的复数根，则(　　)
A．z1可能为纯虚数
B．z1，z2，z3的虚部之积为－3
C．|z1|＋|z2|＋|z3|＝6
D．z1，z2，z3的实部之和为2
11．任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．|z2|＝|z|2
B．当r＝1，θ＝时，z3＝1
C．当r＝1，θ＝时，＝－i
D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
三、填空题
12．(2025·湖南长郡中学模拟)在复平面内，复数z对应的点为(1，1)，则＝________．
13．在如图所示的平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，则向量所表示的复数为________，向量所表示的复数为________．
14．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan2θ＝________．
四、解答题
15．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
第4练　复数（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A.0 B．1
C. D．2
答案：C
解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C.
2．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝(　　)
A．－i B．1
C．－1 D．2
答案：D
解析：依题意，得＝－i，故z·＝－2i2＝2.故选D.
3．已知＝i，则复数的虚部是(　　)
A．－1 B．－i
C．1 D．i
答案：A
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝i，得2(a＋bi)－1＝i(1＋a－bi)，即2a－1＋2bi＝b＋(a＋1)i，所以解得所以z＝1＋i，从而＝1－i，所以复数的虚部是－1.
4．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，则的共轭复数为(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．－1－i D．1－i
答案：B
解析：设z＝，因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，所以z1＝1－i，z2＝i，z＝＝＝＝－1－i，故＝－1＋i.故选B.
5．(2024·四川遂宁三模)若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则复数z－1在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：依题意，z＝＝＝＋i，由z为纯虚数，得解得a＝，复数z－1＝－1＋i，所以复数z－1在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B.
6．已知复数z＝cos6＋isin6，现有如下说法：①|z|＝1；②复数z的实部为正数；③复数z的虚部为正数．则正确说法的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
答案：B
解析：依题意，|z|＝＝1，故①正确；复数z的实部为cos6，为正数，故②正确；复数z的虚部为sin6，为负数，故③错误．故选B.
7．(2025·黑龙江大庆模拟)若复数z满足z＋2＝1＋2i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以z＋2＝a＋bi＋2(a－bi)＝3a－bi，又z＋2＝1＋2i，所以解得所以z＝－2i，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D.
8．复数z＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若|z＋1|＝|z－1|，则点Z在圆上
B．若|z＋1|＋|z－1|＝2，则点Z在椭圆上
C．若|z＋1|－|z－1|＝2，则点Z在双曲线上
D．若|x＋1|＝|z－1|，则点Z在抛物线上
答案：D
解析：由题意，得|z＋1|＝，它表示点(x，y)与点(－1，0)之间的距离，|z－1|＝，它表示点(x，y)与点(1，0)之间的距离，记F1(－1，0)，F2(1，0)，对于A，|z＋1|＝|z－1|表示点Z到点F1，F2的距离相等，则点Z在线段F1F2的中垂线上，不在圆上，故A为假命题；对于B，由|z＋1|＋|z－1|＝2，知|ZF1|＋|ZF2|＝2＝|F1F2|，不符合椭圆的定义，故B为假命题；对于C，由|z＋1|－|z－1|＝2，知|ZF1|－|ZF2|＝2＝|F1F2|，不符合双曲线的定义，故C为假命题；对于D，由|x＋1|＝|z－1|，知|x＋1|＝，所以x2＋2x＋1＝x2－2x＋1＋y2，即y2＝4x，所以点Z在抛物线上，故D为真命题．故选D.
二、多项选择题
9．(2025·湖南长沙调研)已知复数z，z＋2i在复平面内对应的点分别为M，N，且点M，N均在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上，若点M在第四象限，则(　　)
A．点N在第一象限 B．|MN|＝2
C．OM⊥ON D．z2＋2＝
答案：AB
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，由题意可得解得或所以M(，－1)或M(－，－1)，因为点M在第四象限，所以M(，－1)，z＝－i，从而可得N(，1)，所以点N在第一象限，故A正确；|MN|＝2，故B正确；因为＝(，－1)，＝(，1)，所以·＝3－1＝2，所以OM与ON不垂直，故C错误；z2＋2＝(－i)2＋2＝4－2i≠，故D错误．故选AB.
10．(2025·山东济南模拟)已知z1，z2，z3是方程(z－i)(z2－2z＋4)＝0的三个互不相等的复数根，则(　　)
A．z1可能为纯虚数
B．z1，z2，z3的虚部之积为－3
C．|z1|＋|z2|＋|z3|＝6
D．z1，z2，z3的实部之和为2
答案：ABD
解析：因为(z－i)(z2－2z＋4)＝0的三个不同的复数根为i，1－i，1＋i，当z1＝i时，z1为纯虚数，故A正确；因为三个复数根的虚部分别为1，－，，所以z1，z2，z3的虚部之积为－3，故B正确；根据模长的定义，|z1|＋|z2|＋|z3|＝＋＋＝5，故C不正确；因为三个复数根的实部分别为0，1，1，所以z1，z2，z3的实部之和为2，故D正确．故选ABD.
11．任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．|z2|＝|z|2
B．当r＝1，θ＝时，z3＝1
C．当r＝1，θ＝时，＝－i
D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
答案：AC
解析：∵z＝r(cosθ＋isinθ)，∴z2＝r2(cos2θ＋isin2θ)，则|z2|＝r2，|z|2＝r2，|z2|＝|z|2，故A正确；当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin，z3＝cos＋isin＝cosπ＋isinπ＝－1，故B错误；当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin＝＋i，则＝－i，故C正确；当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin，取n＝4，则z4＝cosπ＋isinπ＝－1，故D错误．故选AC.
三、填空题
12．(2025·湖南长郡中学模拟)在复平面内，复数z对应的点为(1，1)，则＝________．
答案：－i
解析：由于复数z在复平面内对应的点为(1，1)，所以z＝1＋i，故＝＝＝＝－i.
13．在如图所示的平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，则向量所表示的复数为________，向量所表示的复数为________．
答案：5－2i　1＋6i
解析：因为＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
14．(2024·广东广州二模)已知复数z＝(θ∈R)的实部为0，则tan2θ＝________．
答案：
解析：∵复数z＝＝＝(θ∈R)的实部为0，∴2cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－2，∴tan2θ＝＝＝.
四、解答题
15．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解：1＋z2
＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.
16．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解：(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝
＝
＝
＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2)．
1

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