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2024-2025 学年福建省厦门市、泉州市五校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 3 2 + ，且 ′(1) = 2，则 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.二项式( 2 + 1 )63 的展开式中的常数项为( )
A. 245 B.
5 C. 27 D. 524 5 27
3.如图，一套俄罗斯套娃由 8 个大小各不相同套娃组成，将这 8 个套娃放置在一个上下两层的展示架上，
上层放置 3 个，下层放置 5 个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有( )
A. 38种
B. 38种
C. 58种
D. 88种
4.函数 ( ) = (2 )的单调递减区间为( )
A. (0, 1 ) B. (0, 1 ) C. ( 1 , 1) D. ( 12 2 2 2 2 2 , 1)
5.已知随机变量 满足 ( = 1) = ， ( = 0) = 1
1
， = 1，2.若2 < 1 < 2 < 1，则( )
A. ( 1) < ( 2)， ( 1) < ( 2) B. ( 1) < ( 2)， ( 1) > ( 2)
C. ( 1) > ( 2)， ( 1) < ( 2) D. ( 1) > ( 2)， ( 1) > ( 2)
6.甲、乙、丙三名射击运动员进行射击训练.已知甲、乙、丙的枪中分别装有 1、3、3 发子弹.每次随机选一
人射击，直到所有子弹射完为止.则不同的射击顺序有( )
A. 140 种 B. 160 种 C. 180 种 D. 200 种
7.已知函数 ( ) = | | 有两个零点，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,0) B. (0, + ∞) C. ( ∞, ) D. ( , + ∞)
8.已知函数 ( ) = ( + 1) 2与 ( ) = ( 2)2 ( ∈ )的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数
的取值范围是( )
A. [1, + ∞) B. [ 1 , + ∞) C. [
1
2 , + ∞) D. [ 1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9 1.已知二项式( )
10，则( )
A.展开式中 7 3的系数为 45 B.展开式中二项式系数最大的项是第 6 项
C.展开式中各项系数之和为 1 D.展开式中系数最大的项是第 5 项或第 7 项
10.某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗.第 1 条生产线的疫苗效价不达标的概率为 6%，第 2 条
生产线的疫苗效价不达标的概率为 5%，生产后的疫苗混放在一起.已知第 1、2 条生产线生产的疫苗数分别
占总数的 40%，60%.记“任取一份疫苗是由第 条生产线生产( = 1,2)”为事件 ，“任取一份疫苗效价不
达标”为事件 ，则( )
A. ( ) = 0.054 B. ( 2 ) = 0.03 C. ( | 1) = 0.06 D. (
4
2| ) = 9
11.某数学研究小组在研究函数 ( ) = 2 2 + 1 时得出以下几个结论，则正确的有( )
A.当 > 0 时，| ( )| < ( )恒成立
B.过原点且与曲线 = ( )相切的直线有且仅有 2 条
C.若 ( ) = ( ) ( ∈ )有 3 个零点 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3，则 1 + 3 > 0
D.若 ( 1) = ( 2)， 1 < 0 < 2，则 2 1的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.银行卡的密码由 6 位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.如果记得
密码的最后一位数字是奇数，则连续 3 次都没按对的概率为______．
13.现有甲、乙等 6 人需在五一假期值班 3 天，每天至少有 1 人值班，且每人只值班 1 天.若要求甲、乙在
同一天值班，则不同的安排方案有______种. (用数字作答)
14.已知对任意 ∈ (0, + ∞) 1，不等式 2( + ) ≤ ( + 1)恒成立，则 的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = 3 + 5 22 2 + 1．
( )求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(Ⅱ)求 ( )在区间[0,1]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
某同学参加投篮比赛.比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮.其中第一次投篮投进得 1 分，投不进得 0 分，
第二次投篮投进得 2 分，投不进得 1 分，两次投篮的总得分不低于 0 分就能获奖.已知这位同学在第一个
2 1
位置投篮投进的概率是3，在第二个位置投篮投进的概率为2，每次投篮是否投进相互之间没有影响．
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( )求至少投进一个球的概率；
(Ⅱ)求这位同学两次投篮的总得分 的分布列、期望及方差；
(Ⅲ)求这位同学能获奖的概率．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ， ∈ (0, ]．
( )若 = 1 为 ( )的极值点，求 ( )的单调区间和最小值；
(Ⅱ)是否存在实数 ，使得 ( )的最小值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收
器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的
偏振态②当基不同时，接收器测量结果完全随机(即测得“0”或“1”光子的概率均为 0.5).现发射器使用基
，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以 或 基测量，每次发送和
接收相互独立．
( )求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率；
(Ⅱ)求接收器测量到两个“1”光子的概率；
(Ⅲ)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 22 ( ∈ )．
( )若不等式 ( ) ≥ 1 在 ∈ [0, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围；
(Ⅱ)若 > 0 1，求证：( 22 + 1)ln( + 1) > 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25
13.150
14.2
15.解：(Ⅰ)由题意知， (0) = 1，即切点为(0,1)，
由已知 ′( ) = 3 2 + 5 2，
则 ′(0) = 2，
曲线 ( )在点(0, (0))处的切线方程为 1 = 2 ，即 2 + 1 = 0．
(Ⅱ) ′( ) = 0，得 = 2 1或 = 3．
( ∞, 2), ( 1在 3 , + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增．
在( 2, 13 )， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( )的极小值点为 = 1 ( 1 ) = 353， 3 54，
因为 (0) = 1 (1) = 5， 2，故 ( )
5 35
在区间[0,1]上的最大值为2，最小值为54．
16. 1 1 5解：(Ⅰ)设“至少投进一个球”为事件 ，则 ( ) = 1 3 × 2 = 6；
(Ⅱ)这位同学投篮三次的总得分 的所有可能取值为 1，0，2，3，
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( = 1) = 1 1 1 2 1 13 × 2 = 6 , ( = 0) = 3 × 2 = 3 , ( = 2) =
1
3 ×
1
2 =
1
6 , ( = 3) =
2
3 ×
1 = 12 3，
则随机变量 的分布列为：
1 0 2 3
1 1 1 16 3 6 3
( ) = 1 × 1 1 1 1 76+ 0 × 3 + 2 × 6 + 3 × 3 = 6，
( 2) = ( 1)2 × 16 + 0
2 × 13 + 2
2 × 1+ 32 × 1 236 3 = 6，
( ) = ( 2) ( ( ))2 = 8936；
(Ⅲ)设“这位同学获奖”为事件 ，
1 1 1
由题意可知这位同学没有获奖的概率为3 × 2 = 6，
则 ( ) = 1 16 =
5 5
6，故获奖的概率为6．
17.解：(Ⅰ)已知函数 ( ) = ， ∈ (0, ]，
则 ′( ) = + 1 ，
因为 = 1 是极值点，所以 ′(1) = 0，即 1 + 1 = 0，解得 = 1，
此时 ′( ) = ，
在 ∈ (0,1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在 ∈ (1, )， ′( ) > 0， ( )单调递增，
( ) = (1) = 1；
(Ⅱ) ′( ) = + 1 ，令 ′( ) = 0，得 = 1，即 = 1，
①若 ≥ 2，则 1 ≥ ，
在 ∈ (0, ]， ′( ) < 0， ( )单调递减， ( ) = ( ) = ，
1
令 = ，解得 = 1 + 2 < 2，矛盾；
②若 < 2，0 < 1 < ， ( )在(0, 1)单调递减，在( 1, ]单调递增，
( 1) = 1( 1) 1 = 1 3，令 1 = ，解得 = 2；
3
综上，存在 = 2，使得 ( )的最小值为 ．
18.解：(Ⅰ)设事件 =“发射器第一次发送‘0’偏振态的光子”，事件 =“第二次发送‘1’偏振态的光子”，
( ) = 1则 2， ( ) =
1 2 1
2 × 3 = 3，
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1
( | ) = ( )由条件概率公式， ( ) =
3 2
1 = 3；
2
(Ⅱ)设事件 =“接收器测量到两个‘1’偏振态光子”，
事件 00 =“发射器先后发射了 0，0 光子”，事件 01 =“发射器先后发射了 0，1 光子”，事件 10 =“发
射器先后发射了 1，0 光子”，
事件 11 =“发射器先后发射了 1，1 光子”，事件 =“发射器使用基 发送 1 偏振态光子时接收器测量结
果为 1”，
事件 =发射器使用基 发送 0 偏振态光子时接收器测量结果为 0”，
( ) = 1+ 1 × 1 = 3 1 1 1 3 1 1 1 1则 2 2 2 4， ( ) = 2+ 2 × 2 = 4， ( 00) = 6， ( 01) = 3， ( 10) = 3 , ( 11) = 6，
( | ) = 1 × 1 = 1 1 3 3则 00 4 4 16， ( | 01) = 4 × 4 = 16， ( | ) =
3 1 3
10 4 × 4 = 16，
( | 3 3 911) = 4 × 4 = 16，
1
由全概率公式，得 ( ) = ( 00) ( | 00) + ( 01) ( | 01) + ( 10) ( | 10) + ( 11) ( | 11) = 6 ×
1 + 1 × 3 + 1 × 3 + 1 × 9 1116 3 16 3 16 6 16 = 48；
1× 9
(Ⅲ) ( | ) = ( 11) ( | 11) 6 16 911 ( ) = 11 = 22．
48
19.解：(Ⅰ) ′( ) = ， ∈ [0, + ∞)，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 1，则 ′( ) ≥ 0 在[0, + ∞)上恒成立，仅在 = 0 时取等号，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，即 ′( )在[0, + ∞)上单调递增．
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ ′(0) = 1 ≥ 0 在[0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (0) = 1，符合题意；
当 > 1 时， ′(0) = 1 < 0．
令 ( ) = 2 ，则 ′( ) = 2，所以 ( )在( ∞, 2)上单调递减，
在( 2, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ ( 2) = 2 2 2 > 0．
所以 ′( ) = = 2 > 0，又 ′( )在[0, + ∞)上单调递增，
所以 0 ∈ (0, )，使得 ′( 0) = 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
所以 ( 0) < (0) = 1，不符合题意．
综上所述，实数 的取值范围是( ∞,1]．
2
(Ⅱ)证明：由(1) 1 得，当 = 1， > 0 时， 22 > 1，即
2 + 1 > + 2，
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1
要证不等式( 22 + 1)ln( + 1) > 2 , ( > 0)，只需证明
12
2 + 1 > 2 ln( +1)，
+ 2 > 2 2 只需证明 ln( +1)，即只需证 ln( + 1) > 2+ ，
( ) = ln( + 1) 2 +2 ( > 0)，
2
则 ′( ) = 1 +1
4
( +2)2 = ( +1)( +2)2，
当 > 0 时， ′( ) > 0 恒成立，故 F( )在(0, + ∞)上单调递增，
又 (0) = 0，所以 ( ) > 0 恒成立，所以原不等式成立．
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