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13.1.1　棱柱、棱锥和棱台
一、 单项选择题
1 下列四个空间图形中，是棱台的是(　　)
A B C D
2 (2023贵州期中)一个空间图形由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个空间图形可以是(　　)
A. 三棱柱 B. 三棱台
C. 四棱柱 D. 四棱台
3 (2024重庆涪陵月考)如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为(　　)
A. 三棱锥
B. 四棱柱
C. 四棱锥
D. 球
4 下列空间图形中，不属于棱柱的是(　　)
A B C D
5 (2024河南期中)多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为V，面数为S，棱数为l，则满足V＋S＝l＋2.已知某n面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则n的值为(　　)
A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
6 下列命题中，正确的个数是(　　)
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形围成的空间图形是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7 (2023鸡西四中期中)下列立体图形中，是六面体的有(　　)
A. 四棱柱 B. 四棱台 C. 五棱锥 D. 六棱锥
8 下列命题中，不正确的是(　　)
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的空间图形是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形是棱台
D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的空间图形是棱柱
三、 填空题
9 在一个棱锥中，用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3 cm，则棱台的高是________cm.
10 一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
11 (2024聊城月考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，P是线段BC1上异于B，C1的一点，则CP＋PD1的最小值为________．
四、 解答题
12 如图为长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1) 这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
(2) 用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分还是棱柱吗？若是棱柱，请指出它们的底面与侧棱．
13 (2024昆明月考)如图，在边长为8的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1) 折起后形成的空间图形是什么？这个空间图形共有几个面？
(2) 每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？
13.1.1　棱柱、棱锥和棱台
1. C　A中的空间图形是棱柱；B中的空间图形是棱锥；C中的空间图形是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台；D中的空间图形的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D中的空间图形不是棱台．
2. D　不妨假定两个平行的面是上、下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台的面数不满足要求，四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上、下两个平面为全等的四边形，不满足要求，四棱台上、下两个底面互相平行，其余各面都是全等的等腰梯形，故满足条件的空间图形可以是四棱台．
3. C　由图可知，该立体图形有四个三角形面与一个四边形面组成，所以该立体图形为四棱锥．
4. D　有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱，所以不属于棱柱的图形为D选项．
5. C　设该多面体的顶点数为x，棱数为y，则消去x，y，解得n＝12.
6. B　①中，由五个面围成的多面体还可以是四棱锥，故①错误；②中，根据多面体的定义可知②正确；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③错误；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形不一定是棱锥，如下图中的空间图形，满足条件，但并不是棱锥，故④错误．故正确命题的个数是1.
7. ABC　对于A，B，四棱柱、四棱台都有2个底面，4个侧面，共6个面，它们都是六面体；对于C，五棱锥有1个底面，5个侧面，共6个面，是六面体；对于D，六棱锥有1个底面，6个侧面，共7个面，不是六面体．故选ABC.
8. ABC　对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的空间图形不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的空间图形才是棱锥，故B错误；对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形才是棱台，故C错误；对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的空间图形是棱柱，故D正确．故选ABC.
9. 3　由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似. 因为棱台的上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2.又截去的棱锥高是3 cm，所以棱台的高是3 cm.
10. 12　由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱．因为棱柱的侧棱长都相等，所以每条侧棱长为60÷5＝12(cm).
11. 　如图，将侧面BCC1沿着BC1旋转至与平面BD1C1在同一平面上，连接BD1，CD1.由长方体结构特征，可得BC1⊥C1D1，由sin ∠BC1C＝＝＝，得cos ∠D1C1C＝cos (＋∠BC1C)＝－sin ∠BC1C＝－，所以CD1＝＝＝.又CP＋PD1≥CD1＝，所以CP＋PD1的最小值为.
12. (1) 这个长方体是棱柱，是四棱柱．
(2) 截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC；截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.
13. (1) 如图，折起后的空间图形是三棱锥， 这个空间图形共有4个面．
(2) 由题意，得AD＝CD＝8，AE＝BE＝BF＝CF＝4，DE＝DF＝4，EF＝4，
所以PD＝8, PE＝PF＝4，
所以△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
则S△PEF＝×42＝8，
S△DPF＝S△DPE＝×8×4＝16，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝82－8－16－16＝24.

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