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13.3.1　空间图形的表面积
一、 单项选择题
1 (2024河南三模)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为(　　)
A. 6π B. 8π C. 10π D. 12π
2 (2024枣庄期中)一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的表面积为(　　)
A. 41π B. 42π C. 29π D. (18＋7)π
3 已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(　　)
A. 80 B. 240 C. 320 D. 640
4 (2023临沂期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中，有四个顶点A，B1，C，D1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为(　　)
A. ∶1 B. 1∶ C. ∶2 D. ∶3
5 (2024重庆月考)若正三棱锥P-ABC的表面积是底面积的5倍，则等于(　　)
A. B. C. D. 2
6 (2024济宁期中)如图，将一个圆柱四等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是(　　)
A. 10π B. 20π C. 100π D. 200π
二、 多项选择题
7 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为V，A，B是底面圆周上的两个动点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆锥的侧面积为4π
B. 圆锥的母线长为2
C. △VAB可能为等腰直角三角形
D. △VAB面积的最大值为
8 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是A1B1，AC1的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线MN∥平面BCC1B1
B. △ABC1的面积为2
C. 四棱锥C1-ABB1A1的表面积为 2＋8
D. 四棱锥C1-ABB1A1的表面积为 ＋＋8
三、 填空题
9 (2023上海月考)若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则圆柱侧面积的最大值为________．
10 (2024白城期中)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若△SAB的面积为 5，则该圆锥的侧面积为________．
11 (2024安徽期中)如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥A1-BB1D1D，则这个四棱锥的表面积为________．
四、 解答题
12 (2024潮州期中)如图，一个空间图形是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1) 求圆锥的底面半径；
(2) 求该空间图形的表面积．
13 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2) PC与NC的长；
(3) 此三棱柱的表面积．
13.3.1　空间图形的表面积
1. A　因为底面半径r＝2，所以底面周长L＝2πr＝4π，又圆锥母线长l＝＝3，所以圆锥侧面积S＝πrl＝6π.
2. B　由题意，设圆台的高为h，则πh(12＋42＋1×4)＝28π，解得h＝4，所以圆台的母线长为＝5，则圆台的表面积为π(12＋42)＋π(1＋4)×5＝42π.
3. B　由题意可知，该棱台的侧面是上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，所以等腰梯形的高为＝8，所以等腰梯形的面积为S′＝×(4＋16)×8＝80，所以该棱台的侧面积为S＝3S′＝3×80＝240.
4. D　设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2，正四面体AB1CD1的棱长为a，所以正四面体的表面积是4××(a)2×＝2a2，故正四面体的表面积与正方体的表面积之比为∶3.
5. A　设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则底面面积为S1＝a2，侧面积为S2＝3×a×，且表面积是底面积的5倍，则侧面积是底面积的4倍，即4S1＝S2，化简可得＝a，即＝，所以＝＝.
6. A　设原圆柱的底面圆半径为r，高为h，则原圆柱的表面积为2πr2＋2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，故2rh＝10，故圆柱的侧面积为2πrh＝10π.
7. BD　设圆锥母线长为l.由题意，得πl＝2π×1，解得l＝2，故B正确；侧面积为S＝πrl＝π×1×2＝2π，故A错误；显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为，因此△VAB的顶角∠AVB≤，不可能为直角三角形，故C错误；因为轴截面面积为S′＝×22＝，所以△VAB面积的最大值为，故D正确．故选BD.
8. AD　如图，取AB的中点E，连接ME，NE.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是A1B1，AC1的中点，所以ME∥BB1，EN∥BC1.又BB1 平面MNE，BC1 平面MNE，ME 平面MNE，EN 平面MNE，所以BB1∥平面MNE，BC1∥平面MNE.又BB1∩BC1＝B，BB1 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以平面BCC1B1∥平面MNE.因为MN 平面MNE，所以MN∥平面BCC1B1，故A正确；连接C1M，由条件，知△AA1C1≌△BB1C1，所以BC1＝AC1＝＝2，所以S△ABC1＝×2×＝，故B不正确；四棱锥C1-ABB1A1的表面积S＝S△ABC1＋2S△BB1C1＋S△A1B1C1＋S矩形ABB1A1＝＋2××2×2＋×2×2×sin 60°＋2×2＝＋＋8，故C不正确，D正确．故选AD.
9. 162π　如图，不妨设矩形的长与宽分别为a，b，旋转形成的圆柱的底面半径为r＝a，母线长l＝b，则2a＋2b＝36，即a＋b＝18，所以18＝a＋b≥2，即ab≤81，当且仅当a＝b＝9时，取得等号，所以旋转形成的圆柱侧面积S＝2πrl＝2abπ≤162π，所以旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为162π.
10. 40π　如图，设顶点S在底面圆的射影点为H，连接HA，HB，AB，因为圆锥的母线是底面半径的倍，设HB＝x，则SH＝x，SB＝x，因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以sin ∠ASB＝＝＝，又△SAB的面积为SA·SB·sin∠ASB＝·x·x·＝5，所以x＝2， SA＝SB＝4，所以该圆锥的侧面积为×2π×2×4＝40π.
11. 6＋4　 由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为，可得矩形BB1D1D的面积为S1＝BD·BB1＝2×＝4，△A1B1D1的面积为S2＝A1B1·A1D1＝×2×2＝2，△A1B1B的面积为S3＝A1B1·BB1＝×2×＝，△A1D1D的面积为S4＝S3＝.在△A1BD中，因为A1B＝A1D＝，BD＝2，则BD边上的高为h＝＝2，其面积为S5＝×2×2＝2，所以四棱锥A1BB1D1D的表面积为S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝6＋4.
12. (1) 设圆锥的底面半径为r，则该底面圆为三棱柱的底面正三角形的内切圆，
利用等面积法，得×r×(2＋2＋2)＝×2×2×，解得r＝.
(2) 因为正三棱柱的表面积为2××2×2×＋3×2×4＝24＋2，
倒圆锥的底面圆面积为π×＝，倒圆锥的母线长为＝，
所以倒圆锥的侧面积为π××＝，
所以该空间图形的表面积为(24＋2)－＋＝24＋2＋2π.
13. (1) 正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.
(2) 如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC＝x，即P1C＝x.
在Rt△MAP1中，(3＋x)2＋22＝29，
解得x＝2或x＝－8(舍去)，
所以PC＝P1C＝2.
又因为＝＝＝，
所以NC＝2×＝.
(3) 此三棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底＝9×4＋2×××32＝.

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