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13．3.2　空间图形的体积(1)
一、 单项选择题
1 (2024杭州期中)如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2 (2023南京师大附中月考)若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
3 (2024信阳期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若点E，F分别满足＝，＝，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，则V1∶V2等于(　　)
A. 19∶8
B. 2∶1
C. 17∶10
D. 16∶11
4 已知正四棱锥S-ABCD，底面边长是2，体积是，则这个四棱锥的侧棱长为(　　)
A. B. 2 C. D. 2
5 (2024阜阳期中)已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为(　　)
A. B. 2 C. D.
6 (2024安徽月考)学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形ABCD边AB的中点M，沿MC，MD折叠，将MA，MB用胶水粘起来，使得点A，B重合于点E，这样就做成了一个簸箕E-MCD，若这个簸箕的容量为576 cm3，则原正方形铁皮的边长是(　　)
　　
A. 12 cm B. 24 cm
C. 12 cm D. 24 cm
二、 多项选择题
7 (2024河源期中)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝，PA＝4，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为，则下列结论中正确的是(　　)
A. 该圆锥的体积为8π
B. 该圆锥的侧面积为4π
C. AC＝4
D. △PAC的面积为4
8 (2024岳阳期中)在高为3的正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1＝4，且上底面的面积为，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线AA1与CC1异面
B. 直线AB与B1C1异面
C. 正三棱台ABC-A1B1C1的体积为7
D. 正三棱台ABC-A1B1C1的体积为8
三、 填空题
9 一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．
10 (2024张家口月考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，M，N分别为AB，CC1的中点，则三棱锥D1-MN-D的体积为________．
11 (2024临汾三模)宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12 cm，中间圆的直径是20 cm，上底面圆的直径是8 cm，高是14 cm，且上、下两圆台的高之比是3∶4，则该汝窑双耳罐的体积是________cm3.
图1 图2
四、 解答题
12 (2024长春期中)如图，三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等．
(1) 求圆柱的表面积；
(2) 求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
13 (2024成都月考)如图，AE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，F为CE的中点．
(1) 求证：DF∥平面EAB；
(2) 求三棱锥E-BDC的体积；
(3) 求点C到平面BDE的距离．
13．3.2　空间图形的体积(2)
一、 单项选择题
1 (2024安康月考)若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为(　　)
A. B. C. D.
2 (2023浙江期中)如图为扇形ABC，圆心角A＝90°，D为半径AB的中点，CB，CD把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积V1，V2，V3之比是(　　)
A. 1∶2∶2 B. 1∶2∶3
C. 1∶3∶3 D. 1∶3∶4
3 (2023南平高级中学期中)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体. 已知AB＝，则该半正多面体外接球的表面积为(　　)
A. 18π B. 16π C. 14π D. 12π
4 (2024张家口月考)已知球O为四棱锥S-ABCD的外接球，AS为球的直径，且AS＝6，AB⊥BC，则当△SAC面积最大时，三棱锥SABC体积的最大值为(　　)
A. B. 9 C. D.
5 (2024常德期中)在棱长为2的正四面体ABCD中，正四面体的内切球的表面积为(　　)
A. 2π B. C. D.
6 (2023保定第三中学期中)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1，BC＝. 若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于(　　)
A. B. C. 2 D.
二、 多项选择题
7 (2024湖南月考)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论中正确的是(　　)
　　
A. 圆柱的侧面积为2πR2
B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
8 (2024攀枝花月考)《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥PABCD为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则下列结论中正确的是(　　)
A. 该阳马的体积为4
B. 该阳马的表面积为10＋2
C. 该阳马外接球的半径为
D. 该阳马内切球的半径为
三、 填空题
9 (2023深圳期中)已知一个球的半径为R，其体积的数值V球和表面积的数值S球满足关系V球＝2S球，则半径R＝________．
10 (2024南京月考)正四棱台ABCD-EFGH，其上、下底面的面积分别为2 cm2，8 cm2，该正四棱台的外接球表面积为 20π cm2，则该正四棱台的体积为________cm3.
11 (2023广东期中)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝CD＝4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024安徽月考)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥A1-APB的体积为.
(1) 求圆柱OO1的表面积；
(2) 求三棱锥A1-APB外接球的体积．
13 (2023浙江期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，PC＝4，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°.求：
(1) 三棱锥P-ABC的体积；
(2) 三棱锥P-ABC外接球的表面积．
13．3.2　空间图形的体积(1)
1. C　因为棱锥C-A′B′C′与棱柱ABC-A′B′C′同底同高，棱柱ABC-A′B′C′体积为1，则棱锥CA′B′C′的体积为，故四棱锥C-AA′B′B的体积为1－＝.
2. A　由题意可知圆锥的侧面展开图扇形的半径l＝1.设底面圆的半径为r，则×1×2πr＝，所以r＝，则圆锥的高为h＝＝，故该圆锥的体积为×π×＝π.
3. A　因为＝，＝，所以EF∥BC，EF＝BC，所以S△AEF＝S△ABC.因为＝＝＝，所以几何体AEF-A1B1C1为三棱台，设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，所以V1＝(S△AEF＋＋S△A1B1C1)·h＝(S△ABC＋S△ABC＋S△ABC)·h＝S△ABC·h＝VABC-A1B1C1，所以V2＝VABC-A1B1C1－V1＝VABC-A1B1C1，所以V1∶V2＝19∶8.
4. C　因为正四棱锥SABCD的底面边长是2，所以底面积为2×2＝4.设正四棱锥的高为h，由V＝×4h＝，得h＝，所以侧棱长为l＝＝＝.
5. B　如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝1，AB＝3，连接AC，A1C1，则A1C1＝，AC＝3，设侧棱长为a(a>0)，则棱台的高为＝，所以该正四棱台的体积为V＝(12＋32＋1×3)＝，解得a＝2.
6. B　在三棱锥E-MCD中，设F为CD的中点，连接EF，MF.由题意，得MC＝MD，EC＝ED，则EF⊥CD，MF⊥CD，EF 平面MEF，MF 平面MEF，EF∩MF＝F，得CD⊥平面MEF，设正方形ABCD的边长为2a，则有EC＝ED＝CD＝2a，EF＝a，MC＝MD＝a，MF＝2a，ME＝a，则有MF2＝ME2＋EF2，则ME⊥EF，S△MEF＝ME·EF＝，VE-MCD＝S△MEF·CD＝××2a＝＝576，得a3＝1 728，即a＝12，所以原正方形铁皮的边长是24 cm.
7. AC　由题意，得∠APB＝，PA＝4，所以OP＝2，OA＝OB＝2，对于A，圆锥的体积为×π×(2)2×2＝8π，故A正确；对于B，圆锥的侧面积为π×2×4＝8π，故B错误；对于C，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO＝，所以OP＝OD＝2，故AD＝CD＝＝2，则AC＝4，故C正确；对于D，PD＝＝2，所以S△PAC＝×2×4＝8，故D错误．故选AC.
8. BC　如图，对于A，直线AA1与CC1相交，故A错误；对于B，因为B1C1 平面CBB1C1，B∈平面CBB1C1，A 平面CBB1C1，所以平面直线AB与B1C1异面，故B正确；对于C，D，因为正三棱台ABC-A1B1C1下底面的面积为×42＝4，所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积V＝×3×(＋4＋)＝7，故C正确，D错误．故选BC.
9. 　设在长方体中，同顶点的三条棱的长分别为a，b，c，则可设三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.
10. 　因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，又AB 平面CDD1C1，CD 平面CDD1C1，所以AB∥平面CDD1C1，所以点M到平面CDD1C1的距离等价于点A到平面CDD1C1的距离，又AD⊥平面CDD1C1，所以点M到平面CDD1C1的距离为AD.因为AB＝AD＝2，AA1＝4，N为CC1的中点，则DD1＝4，CD＝2，又在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形CDD1C1是矩形，所以S△D1DN＝DD1·CD＝×4×2＝4，则三棱锥D1-MND的体积为VD1-MND＝VM-D1DN＝S△D1DN·AD＝×4×2＝.
11. 　上、下两圆台的高之比是3∶4，故上圆台的高为14×＝6(cm)，下圆台的高为14×＝8(cm)，故上圆台的体积为V1＝6×＝312π(cm3)，下圆台的体积为V2＝8×＝π(cm3)，故该汝窑双耳罐的体积为V1＋V2＝312π＋π＝(cm3).
12. (1) 设底面圆的直径为2r，
由题意，得圆柱的体积V＝πr2·2r＝2π，
解得r＝1，即圆柱的底面半径为1，
则圆柱的表面积为2π×12＋2π×1×2＝6π.
(2) 因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，
由正弦定理，得AB＝2×1×sin 60°＝，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V＝(××)×2＝.
13. (1) 如图，取BE的中点G，连接AG，FG，
因为F为CE的中点，所以GF∥BC且GF＝BC，
又因为AD∥BC，AD＝1，BC＝2，
即AD∥BC且AD＝BC，
可得AD∥GF且AD＝GF，即四边形ADFG为平行四边形，则AG∥DF，
又AG 平面EAB，DF 平面EAB，
所以DF∥平面EAB.
(2) 因为AD⊥AB，AD∥BC，所以AB⊥BC，
所以S△BCD＝×2×1＝1，
又因为AE⊥平面ABCD，可知三棱锥E-BDC的高为AE＝2，
所以三棱锥E-BDC的体积VEBCD＝×2×1＝.
(3) 因为AD⊥AB，AD＝AB＝1，
所以BD＝＝，
因为AE⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AE⊥AB，AE⊥AD，
又因为AE＝2，AD＝AB＝1，
则EB＝ED＝＝，
所以S△BED＝××＝，
设点C到平面BDE的距离为h，
则VC-BDE＝VE-BCD＝×h＝，解得h＝，
所以点C到平面BDE的距离为.
13．3.2　空间图形的体积(2)
1. B　设球的半径为R，则球的体积为V1＝πR3，圆柱的体积V2＝πR2×2R＝2πR3，所以球与圆柱体积的比值为＝＝.
2. D　不妨设扇形ABC的半径为2，则V1＝π×12×2＝，V2＝π×22×2－π×12×2＝2π，V3＝××23－π×22×2＝，故V1∶V2∶V3＝∶2π∶＝1∶3∶4.
3. A　如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，取正方体、正方形E1F1G1H1的中心分别为O，O1，连接E1G1，OO1，OA，O1A.因为A，B分别为E1H1，H1G1的中点，则E1G1＝2AB＝3，所以正方体的棱长为EF＝3，故OO1＝O1A＝，可得OA＝＝，根据对称性可知，点O到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O，半径R＝OA＝，故该半正多面体外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝18π.
4. A　由题意，得OB＝OC＝OD＝SA，SB⊥AB，SC⊥AC，又AB⊥BC，SB∩BC＝B，SB 平面SBC，BC 平面SBC，所以AB⊥平面SBC，又SC 平面SBC，所以AB⊥SC，又AB∩AC＝A，AB 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以SC⊥平面ABCD，显然62＝SA2＝AC2＋SC2≥2AC·SC，当且仅当AC＝SC＝3时取等号，即当AC＝SC＝3时，(S△SAC)max＝(AC·SC)max＝9.因为18＝AC2＝AB2＋BC2≥2AB·BC，即AB·BC≤9，当且仅当AB＝BC＝3时取等号，所以当AB＝BC＝3时，△ABC的面积最大，此时三棱锥S-ABC体积最大，最大体积为××9×3＝.
5. B　正四面体ABCD的底面BCD的中心记为点E，连接AE，DE.由正四面体的性质可得AE⊥平面BCD.因为正四面体ABCD棱长为2，所以底面三角形BCD的高为2sin ＝，则DE＝×＝，所以正四面体ABCD的高AE＝＝.设正四面体ABCD内切球的半径为r，球心为O.由等体积法可得V正四面体A-BCD＝4V正三棱锥O-BCD，即×S△BCD×AE＝4××S△BCD×r，解得r＝AE＝，所以正四面体的内切球的表面积为4πr2＝4π×＝.
6. B　设球O的半径为R.因为球O的体积为，所以＝，解得R＝.因为AB＝AC＝1，BC＝，所以cos ∠CAB＝＝＝－.又0<∠CAB<π，所以∠CAB＝，所以S△ABC＝×12×sin ＝，所以△ABC外接圆的半径2r＝＝＝2，解得r＝1.设球心到底面的距离为h，则h＝＝2，所以这个直三棱柱的体积VABC-A1B1C1＝2h·S△ABC＝2×2×＝.
7. CD　对于A，圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误；对于B，圆锥的母线长为＝R，圆锥的侧面积为R×πR＝πR2，故B错误；对于C，球的表面积为4πR2，故C正确；对于D，圆柱的体积V1＝πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积V2＝×πR2×2R＝πR3，球的体积V3＝πR3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，故D正确．故选CD.
8. BD　如图，不妨设PA⊥底面ABCD，AB＝AD，PA，AD，AB两两互相垂直，易得AD⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，又PB 平面PAB，PD 平面PAD，所以AD⊥PB，所以AB⊥PD.因为BC∥AD，AB∥CD，所以PB⊥BC，PD⊥CD，由对称性得PB＝PD＝＝3，解得PA＝，所以VP-ABCD＝×2×2×＝，故A错误；该阳马的表面积S＝2×2＋2××2×＋2××2×3＝10＋2，故B正确；△PCB，△PDC，△PAC都是以PC为斜边的直角三角形，则点P，A，B，C，D都在以PC为直径的球上，PC＝＝，故C错误；设该阳马内切球的半径为r，则VP-ABCD＝Sr，即(10＋2)r＝，解得r＝，故D正确．故选BD.
9. 6　因为V球＝2S球，所以πR3＝2×4πR2，解得R＝6.
10. 14或　 设正四棱台的高为h cm，外接球的半径为r cm，则4πr2＝20π，解得r＝.如图，取正方形EFGH的中心为M，正方形ABCD的中心为N，连接MN，则MN＝h cm，可知该几何体的外接球的球心O在MN上，连接ME，NA，OE，OA.设上、下底面正方形的边长分别为a cm，b cm，则a2＝2，b2＝8，解得a＝，b＝2，故EM＝1 cm，NA＝2 cm.设ON＝y cm，当O在线段MN上时，则OM＝(h－y)cm，由勾股定理得解得所以该正四棱台的体积为(2＋8＋)×3＝14(cm3)；当O在MN的延长线上时，OM＝(h＋y)cm，由勾股定理得解得 所以该正四棱台的体积为(2＋8＋)×1＝(cm3).综上所述，该正四棱台的体积为14 cm3或 cm3.
11. 32π　设底面BCD的外接圆的半径为r，∠CBD＝θ，θ∈(0，π)，则在△BCD中，CD＝4，可得2r＝，所以r＝.设△BCD的外心为O1，过点O1作底面BCD的垂线．由于AB⊥平面BCD，故所作垂线与AB的中垂线的交点即为三棱锥A-BCD外接球的球心．设外接球的半径为R，而O1O＝AB＝2，则外接球的半径为R＝＝≥2，当sinθ＝1，即BC⊥BD时，三棱锥的外接球的半径取得最小值2，此时三棱锥A-BCD的外接球表面积取得最小值4π×(2)2＝32π.
12. (1) 因为在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝120°，
所以AP＝＝2，
又在△BOP中，OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，
所以BP＝2，
因为点P在圆柱OO1的底面圆O上，
所以PA⊥PB，
所以S△APB＝AP·BP＝×2×2＝2，
所以VA1-APB＝S△APB·AA1＝，
得×2AA1＝，
所以AA1＝4，
所以圆柱OO1的表面积S表＝S侧＋2S底＝2π×2×4＋2π×22＝24π.
(2) 三棱锥A1-APB的外接球即为圆柱OO1的外接球，
则外接球的球心是OO1的中点，半径R＝＝2，
所以三棱锥A1-APB外接球的体积V＝πR3＝π×(2)3＝π.
13. (1) 因为AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，PC⊥底面ABC，
所以S△ABC＝×AB×BC×sin 120°＝×3×3×＝，
故VP-ABC＝S△ABC×PC＝××4＝3.
(2) 由AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，得∠ACB＝30°.
设△ABC的外接圆半径为r，
则2r＝＝＝6，所以r＝3.
设△ABC的外接圆圆心为O′，过点O′作平面ABC的垂线O′O，则O′O∥PC.
设PC的中点为D，过点D作PC的垂线交O′O于点O，则四边形OO′CD为矩形，O即为三棱锥PABC外接球的球心．
设外接球半径为R，
则R2＝OC2＝O′O2＋O′C2＝22＋32＝13，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2＝52π.

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