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15．3　互斥事件和独立事件
15.3.1　互斥事件和独立事件(1)
一、 单项选择题
1 (2024安徽月考)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法中正确的是(　　)
A. A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B. B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C. A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D. A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
2 (2023衡水月考)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A为“第一枚硬币正面朝上”，事件B为“第二枚硬币正面朝上”，那么下列结论中正确的是(　　)
A. A与B互为对立事件 B. A与B互斥
C. A与B相等 D. P(A)＝P(B)
3 (2024江苏月考)已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(C)＝，P(A＋B)＝，则P(B＋C)等于(　　)
A. B. C. D.
4 (2024湖南月考)假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法中正确的是(　　)
A. 事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B. 事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C. 该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
D. 该家庭3个小孩中至少有2个男孩的概率为
5 (2023福建月考)已知事件A与事件B是互斥事件，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(　)＝0 B. P(AB)＝P(A)P(B)
C. P(A)＝1－P(B) D. P(＋)＝1
6 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，如果事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是(　　)
A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡
C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡
二、 多项选择题
7 (2024无锡月考)抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件A表示“出现点数为偶数”，事件B表示“出现点数为3”，事件C表示“出现点数为3的倍数”，事件D表示“出现点数为奇数”，则下列选项中正确的是(　　)
A. A与B互斥 B. A与D互为对立事件
C. P(C)＝ D. P(CD)＝P(B)
8 (2023苏州月考)一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B. 若不放回地抽取，则第2次抽到红球的概率与第1次抽到红球的概率相等
C. 若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D. 若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
三、 填空题
9 (2023上海徐汇南洋中学期末)为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品. 从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为________．
10 (2024江西月考)保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是________．
11 (2023北京房山期末)某中学调查了某班全部30名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示(单位：人)：
合计
参加演讲社团 6 8 14
未参加演讲社团 4 12 16
合计 10 20 30
从该班随机选1名同学，则该同学参加书法社团的概率为________；该同学至少参加上述一个社团的概率为________.
四、 解答题
12 (2024上海月考)从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(x，y)，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件A表示“第一次取出的数字是1”，事件B表示“第二次取出的数字是2”．
(1) 写出此试验的样本空间及P(A)，P(B)的值；
(2) 判断事件A与事件B是否为互斥事件，并求P(A＋B).
13 (2024重庆期末)骰子是中国传统民间娱乐用来投掷的博具．起源于战国时期，通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔(或数字)，其相对两面之数字和必为七．中国的骰子习惯给一点和四点漆上红色．骰子是容易制作和取得的乱数产生器．现甲、乙两人玩掷骰子(质地均匀)游戏，每人掷同一颗骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1) 记事件A：“甲、乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A包含的样本点；
(2) 若连玩三次，记事件B：“甲至少赢一次”，事件C：“乙至少赢两次”，则事件B与事件C是否为互斥事件？为什么；
(3) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．
15．3.2　互斥事件和独立事件(2)
一、 单项选择题
1 (2024北京期中)据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3.已知这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则春节期间两地都不降雪的概率是(　　)
A. 0.7 B. 0.42 C. 0.12 D. 0.46
2 (2023西安长安一中模拟)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，则下列结论中错误的是(　　)
A. 两个球都是红球的概率为
B. 两个球中恰有1个红球的概率为
C. 两个球不都是红球的概率为
D. 至少有1个红球的概率为
3 将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，设事件M为“第一次出现奇数点”，事件N为“第二次出现偶数点”，则事件M与N的关系为(　　)
A. 互斥但不对立 B. 相互对立
C. 相互独立 D. 独立且互斥
4 (2024江苏模拟)一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A表示“x1＝3”，事件B表示“x2＝6”，事件C表示“x1＋x2＝9”，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB＝C B. A＋B＝C
C. A，B互斥 D. B，C相互独立
5 (2023邯郸期末)甲、乙、丙、丁进行足球单循环小组赛(每两队只进行一场比赛)，每场小组赛结果相互独立. 已知甲与乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p1>p2>p3>0.记甲连胜两场的概率为p，则下列说法中正确的是　(　　)
A. 甲在第二场与乙比赛时，p最大
B. 甲在第二场与丙比赛时，p最大
C. 甲在第二场与丁比赛时，p最大
D. p与甲和乙、丙、丁的比赛次序无关
6 (2024上海奉贤二模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则下列结论中正确的是(　　)
A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立
C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
二、 多项选择题
7 随机投掷一颗质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数. 设事件A为“第一次为偶数”，B为“第二次为偶数”，C为“两次点数之和为偶数”，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(A)＝1－P(B) B. A与B对立
C. B与C相互独立 D. P(A＋B)＝
8 (2023怀化期末)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A表示事件“第1枚正面向上”，B表示事件“第2枚反面向上”，C表示事件“恰有1枚正面向上”，D表示事件“两枚都正面向上”，则下列结论中正确的是(　　)
A. B与C 互斥 B. B与D 互斥
C. A与C 相互独立 D. A与D 相互独立
三、 填空题
9 (2024上海期中)已知事件A与事件B相互独立，　为事件A的对立事件．若P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B)＝________．
10 (2024淮安期中)甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是，，那么至少有1人解对题的概率是________．
11 (2023厦门一中期中)已知甲、乙两人三分球投篮的命中率分别为0.4和0.5，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为________．
四、 解答题
12 (2024湖南月考)甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动中，甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1) 求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率；
(2) 求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率．
13 (2023宁德期末)一个袋子中有大小和质地均相同的4个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件A为第一次取出的是2号球；事件B为两次取出的球号码之和为5.
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由；
(3) 两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
15．3　互斥事件和独立事件
15.3.1　互斥事件和独立事件(1)
1. D　由于A，B，C，D彼此互斥且0.2＋0.2＋0.3＋0.3＝1，则A＋B＋C＋D是一个必然事件，所以任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，所以A＋B与C是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件，故B错误；A＋C与B＋D是互斥事件，也是对立事件，故C错误；A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件，故D正确．
2. D　抛掷两枚质地均匀的硬币的样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，事件A包含的样本点有(正，正)，(正，反)，共2个，事件B包含的样本点有(正，正)，(反，正)，共2个．显然事件A和事件B都包含(正，正)这一结果，即事件A和事件B能同时发生，所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故A，B错误；事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故C错误；由古典概型，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(A)＝P(B)，故D正确．
3. B　因为事件A，B，C两两互斥，P(A)＝，P(C)＝，P(A＋B)＝，所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝－＝，所以P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
4. D　对于A，事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生，是互斥但不对立事件，故B错误；对于C，有3个小孩的家庭包含的样本点有8个，分别为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，该家庭3个小孩中只有1个男孩包含的样本点有3个，所以该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为P＝，故C错误；对于D，该家庭3个小孩中至少有2个男孩包含的样本点有4个，所以该家庭3个小孩中至少有2个男孩的概率为＝，故D正确．
5. D　因为事件A与事件B是互斥事件，而，不一定是互斥事件，所以P(　)不一定为0，故A错误；因为事件A与事件B是互斥事件，所以AB＝ ，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)不一定为0，故B错误；事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，＋是必然事件，所以P(＋)＝1，故D正确．
6. A　事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1可知它的对立事件的概率是，对立事件为“2张不全是移动卡”，即为“至多有一张是移动卡”．
7. ABD　抛掷一颗质地均匀的骰子一次，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，则A＝{2，4，6}，B＝{3}，C＝{3，6}，D＝{1，3，5}．对于A和B，根据互斥与对立事件的概念可知，A与B互斥，A与D互为对立事件，故A，B正确；对于C，P(C)＝＝，故C错误；对于D，C∩D＝{3}＝B，所以P(CD)＝P(B)，故D正确．故选ABD.
8. BD　由题意，知不放回地抽取2个球包括2个都是红球，2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3，不放回地从中取2个球的样本空间Ω1＝{ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3，1a，1b，12，13，2a，2b，21，23，3a，3b，31，32}，共20种，记事件A为“第1次取到红球”，事件B为“第2次取到红球”，则A＝{ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3}，B＝{ab，ba，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P(A)＝P(B)，故B正确；有放回地从中取2个球的样本空间Ω2＝{aa，ab，a1，a2，a3，bb，ba，b1，b2，b3，1a，1b，11，12，13，2a，2b，21，22，23，3a，3b，31，32，33}，共25种，记事件C为“取出1个红球和1个白球”，则C＝{a1，a2，a3，b1，b2，b3，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，共12种，所以P(C)＝，故C错误；记事件D为“取出2个白球”，则D＝{11，12，13，21，22，23，31，32，33}，共9种，所以P(D)＝，所以至少取出1个红球的概率为 1－＝，故D正确．故选BD.
9. 0.76　设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，由题意可得P(A)＋P(B)＝0.93，P(A)＋P(C)＝0.83，P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，解得P(A)＝0.76，P(B)＝0.17，P(C)＝0.07，所以抽到一等品的概率为0.76.
10. 　密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有(1，3，5，7)，(1，3，5，9)，(1，3，7，9)，(1，5，7，9)，(3，5，7，9)，共5个，它们是等可能的．设最多输入2次就能开锁为事件A，输入1次能开锁为事件A1，第2次输入才能开锁为事件A2，事件A是事件A1和事件A2的和，且它们互斥，P(A1)＝，P(A2)＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝，故最多输入2次就能开锁的概率是.
11. 　　由题可知该班参加书法社团的同学有10人，两个社团都没参加的同学有12人，所以从该班随机选1名同学，该同学参加书法社团的概率为＝；该同学至少参加上述一个社团的概率为1－＝.
12. (1) 样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，
所以n(Ω)＝12.
因为A＝{(1，0)，(1，2)，(1，3)}，B＝{(0，2)，(1，2)，(3，2)}，
所以n(A)＝3，n(B)＝3，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(2) 因为A∩B＝{(1，2)}，故A与B不是互斥事件．
又A＋B＝{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(0，2)，(3，2)}，
所以n(A＋B)＝5，
所以P(A＋B)＝.
13. (1) 用x，y表示甲、乙两人投出的点数，则(x，y)表示这个实验的一个样本点，
所以该实验的样本空间为Ω＝{(x，y)∣x∈N*，y∈N*，1≤x≤6，1≤y≤6}，共有36个样本点，
事件A包含的样本点共5个，即A＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}．
(2) B与C不是互斥事件，理由如下：
因为连玩三次，
事件B与C可以同时发生，
如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，
所以事件B与C不是互斥事件．
(3) 这种游戏规则公平，理由如下：
由题可知甲、乙两人投出的点数和为偶数的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(4，4)，(4，6)，(5，5)，(6，6)，(5，1)，(3，1)，(6，2)，(4，2)，(5，3)，(6，4)，共18个，
所以甲赢的概率为＝，所以乙赢的概率为1－＝，所以这种游戏规则公平．
15．3.2　互斥事件和独立事件(2)
1. B　设“甲地降雪”为事件A，“乙地降雪”为事件B，“甲乙两地都不降雪”即事件与同时发生，即　，P()＝1－0.4＝0.6，P()＝1－0.3＝0.7，利用独立事件的性质可知，事件与相互独立，所以P(　)＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42.故所以甲乙两地都不降雪的概率为0.42.
2. C　对于A，两个球都是红球的概率为×＝，故A正确；对于B，两个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，故B正确；对于C，两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1－＝，故C错误；对于D，至少有1个红球包含两个球都是红球，两个球中恰有1个红球，所以概率为＋＝，故D正确．
3. C　掷一颗质地均匀的骰子两次，包含的样本点共有36个，事件M包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，共18个；事件N包含的样本点有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18个；事件MN包含样本点为(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足．因为P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝＝，所以P(MN)＝P(M)P(N)，故事件M与事件N的关系为相互独立．
4. D　对于A，事件C发生时，事件AB不一定发生，故A错误；对于B，当x1＝1，x2＝8时，A，B同时不发生，故B错误；对于C，当x1＝3，x2＝6时，A，B同时发生，故C错误；对于D，P(B)＝，P(C)＝，P(BC)＝，P(B)P(C)＝P(BC)，故D正确．
5. A　因为甲连胜两场，则第二场甲必胜，①设甲在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为P1，则P1＝2(1－p2)p1p3＋2(1－p3)p1p2＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3；②设甲在第二场与丙比赛，且两场连胜的概率为P2，则P2＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p3)p1p2＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3；③设甲在第二场与丁比赛，且两场连胜的概率为P3，则P3＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p2)p1p3＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3，所以P1－P2＝2p3(p1－p2)>0，P1－P3＝2p2(p1－p3)>0，P2－P3＝2p1(p2－p3)>0，所以P1>P2>P3，当甲在第二场与乙比赛时，p最大，故A正确，B，C，D错误．
6. A　由题意，得P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝＝， P(丁)＝＝.对于A，因为P(甲乙)＝，所以P(甲)×P(乙)＝P(甲乙)，所以甲与乙相互独立，故A正确；对于B，因为P(乙丙)＝，所以P(乙)×P(丙)≠P(乙丙)，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确；对于C，因为P(甲丙)＝，所以P(甲)×P(丙)≠P(甲丙)，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确；对于D，P(乙丁)＝，所以P(乙)×P(丁)≠P(乙丁)，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确．
7. ACD　由题意可得P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(A)＝1－P(B)，故A正确；因为事件A，B可以同时发生，所以A与B不是对立事件，故B错误；因为事件A，B互不影响，所以事件A，B相互独立，则P(C)＝P(AB)＋P(　)＝×＋×＝.因为事件BC表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以P(BC)＝×＝，又P(B)P(C)＝＝P(BC)，所以B与C相互独立，故C正确；事件A＋B表示第一次或第二次为偶数，它的对立事件为第一次和第二次都是奇数，所以P(A＋B)＝1－×＝，故D正确．故选ACD.
8. BC　设m，M分别表示第1枚硬币正面向下、向上，n，N分别表示第2枚硬币正面向下、向上，则抛掷两枚硬币的样本空间为Ω＝{(m，n)，(m，N)，(M，n)，(M，N)}，共4种，A＝{(M，n)，(M，N)}，B＝{(m，n)，(M，n)}，C＝{(m，N)，(M，n)}，D＝{(M，N)}，易得B与C 不互斥，B与D互斥，故A错误，B正确；P(A)＝P(C)＝，P(D)＝，P(AC)＝P(AD)＝，则P(AC)＝P(A)P(C)，P(AD)≠P(A)P(D)，即A与C相互独立，A与D不相互独立，故C正确，D错误．故选BC.
9. 0.42　因为事件A与事件B相互独立，所以事件与事件B也相互独立，又P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，所以P()＝1－P(A)＝0.7，所以P(B)＝P()P(B)＝0.7×0.6＝0.42.
10. 　由题意，得至少有1人解对题的概率是1－(1－p1)(1－p2)＝1－＝.
11. 0.37 　设甲两个三分球都投中为事件A，乙两个三分球都投中为事件B，至少有一人两球都投中为事件C，则P(A)＝0.16，P()＝0.84，P(B)＝0.25，P()＝0.75.由题可知事件A与事件B相互独立，所以P(C)＝1－P(　)＝1－0.84×0.75＝0.37，所以至少有一人两球都投中的概率为0.37.
12. (1) 一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率为×＝.
(2) 两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为2××＝，
乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为2××＝，
则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为×＋×＝.
13. (1) 用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1表示第一次抽到球的标号，x2表示第二次抽到球的标号，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)(4，3)}．
(2) 因为A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}，B＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，AB＝{(2，3)}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立．
(3) 两次取出的号码之和有3，4，5，6，7，分别记作事件C，D，E，F，G，
则C＝{(1，2)，(2，1)}，D＝{(1，3)，(3，1)}，E＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，F＝{(2，4)，(4，2)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，
所以P(C)＝＝，P(D)＝＝，
P(E)＝＝，P(F)＝＝，
P(G)＝＝.
因为P(E)>P(C)＝P(D)＝P(F)＝P(G).
所以两次取出的号码之和最有可能是5.

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