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【知识过关】 分式 全章知识题型讲练
01 分式的基础
分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
1）分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0；
2）分式判断的易错点：
①分式可看成是两个整式的商，如可以表示为x÷y，但x÷y不满足分式的形式，它不是分式；
②判断一个代数式是否是分式的方法：
a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式.
对于分式来说 条件
分式有意义 分母不等于零，即B≠0
分式无意义 分母等于零，即B=0
分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可）
02 分式的性质
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
字母表示：或，其中A，B，C是整式且B C≠0.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
即：.
【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.
03 分式运算
1.分式的约分
根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
2.分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
确定最简公分母的方法：
1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；
②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母；
③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
3.分式的加减法
1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为：
2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：
4.分式的乘除法
1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即.
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即.
3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0）
5.分式的混合运算
运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
【补充说明】
①分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
②分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
04 分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
2）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
05 分式方程的实际运用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
【考点题型一】分式的判断（）
1．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式定义是解题的关键，式子（是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．不含分母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．不含分母，不是分式，故本选项不符合题意．
故选：A
2．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列各式：中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的定义：形如， A、B是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母．
【详解】解：在中，分式有，共2个．
故选B．
3．（23-24八年级上·广西贵港·期中）下列各式，，，，，中，分式的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】此题主要考查了分式的定义“分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简”，正确把握分式的定义是解题关键．
【详解】解：分式有：，，共3个．
故选：A．
【考点题型二】分式有无意义，值为0的条件（）
4．（2023·浙江宁波·一模）对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为
【答案】C
【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．
【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意；
B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意；
C 当时，当时，，分式无意义，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 －4 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键．
首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论．
【详解】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故选：C．
6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A． B．
C．或 D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．由题意得，即可得到答案．
【详解】解：依题意得：，
故且．
故选D．
7．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）要使的值为0，则x的值是 ．
【答案】3
【分析】根据分式值为0的条件列式计算即可．
【详解】解：∵的值为0，
∴且，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，结合已知条件列得且是解题的关键．
【考点题型三】分式的求值（）
8．（21-22七年级下·浙江杭州·阶段练习）若则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】给出的已知等式和要求解的式子中的特点，应该用整体思想，把已知等式化成能代入要求解的式子中，使其简化，进而求出值．
【详解】解：变形为，
∴ y-x=2xy，
=．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的求值，整体代入（用2xy代替y-x，代入式子）分式求值是解题的关键．
9．（20-21七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的求值，解题的关键是先求倒数．
先将已知的式子化为倒数形式，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，求分式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把代入所求式子中约分化简即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
11．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴4即
∴，∴
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求x的值．
(3)若，，，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键．
（1）由，可得，从而可得答案；
（2）由，可得，再进一步可得答案；
（3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
代入，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【考点题型四】分式的基本性质（）
12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为
，
所以分式的值扩大为原来的2倍，
故选：A．
13．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）小德不小心将墨汁滴到了作业纸上，导致分式中有部分代数式被墨汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　）
A．2 B．x C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、若■的内容是2，则，值不变，故本选项不符合题意；
B、若■的内容是x，则，值扩大为原来的2倍，故本选项符合题意；
C、若■的内容是，则，值扩大为原来的4倍，故本选项不符合题意；
D、若■的内容是4，则，值不变，故本选项不符合题意；
故选：B．
14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解并运用分式的基本性质．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变，即可得出答案．
【详解】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C.当，时，，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项符合题意；
故选：D．
16．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）下列分式的变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行判断即可解答．
【详解】解：A、，故本选项的变形错误；
B、，故本选项的变形错误；
C、，故本选项的变形错误；
D、，故本选项的变形正确．
故选：D
17．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据分式的基本性质即可解答
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
18．（21-22八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案.
【详解】解：①；
②；
③；
④
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的三个符号问题是解题的关键.
【考点题型五】约分、通分、最简公分母、最简分式（）
19．（2024七年级下·浙江·专题练习）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解即可；
（1）约去公因式，即可；
（2）先对分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）．
（2）
．
20．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列分式化为最简分式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分子分母同除以即可得；
（2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得；
（3）分子分母同除以即可得．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
21．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
22．（2022八年级上·全国·专题练习）（1）通分：和；
（2）约分：．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：（1），；
（2）．
【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
【考点题型六】分式的乘除混合运算（）
23．（2023·安徽·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算乘方，再计算乘法，即可求解．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
24．（2023·河北沧州·模拟预测）分式运算的结果是，则□处的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】D
【分析】根据分式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
25．（20-21七年级下·山东青岛·期中）计算： ．
【答案】
【分析】直接根据分式的乘方以及乘除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方以及乘除法混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键．
26．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1 ）先乘方，再计算乘除．
（2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
27．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【分析】（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）（4）直接根据分式的除法法则进行计算即可；
（3）根据分式的乘法法则进行计算即可；
（5）、（6）、（7）根据分式的乘法及除法法则进行计算即可；
（8）、（9）、（10）、（11）、（12）根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
（7）解：
（8）解：
；
（9）解：
；
（10）解：
；
（11）解：
（12）解：
．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法计算，分式的乘除法混合计算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键．
【考点题型七】分式的加减混合运算（）
28．（23-24七年级下·浙江金华·期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两分式通分，再约分化简即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
29．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的的值是 ．

【答案】4
【分析】先根据分式的加法运算法则化简分式，再根据计算结果确定x值即可．
【详解】解：
，
由题意，，
∴，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故答案为：4．
【点睛】本题考查分式的加法、解分式方程，熟练掌握分式的加法运算法则，正确得到化简结果是解答的关键．
30．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算并化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了分式加减法，解题关键是掌握分式加减法则，准确进行计算；
（1）变成同分母直接相加，然后约分即可；
（2）先通分，再相加，然后约分即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
．
31．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；
（3）通分，最简公分母为；
（4）把看成是一项，为，再通分；
（5）前两项先通分，再依次计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键．
【考点题型八】判断分式方程（）
32．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、不是方程，不符合题意；
、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
、，含有分式，是分式方程，符合题意；
故选：．
33．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】
解：①分母中含有未知数，故是分式方程；
②分母中不含有未知数，故是整式方程；
③分母中含有未知数，故是分式方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
34．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；
关于的分式方程的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
【考点题型九】解分式方程（）
35．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：分式方程的最简公分母是，
方程两边都乘同一个整式去分母是，
故选：C．
36．（2023·河南南阳·一模）方程的解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论．
【详解】解：方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．
37．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】将代入方程，即可求a的值．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
解得，
经检验是方程的解．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
38．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学：解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学：解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
(1)请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
(2)请写出你认为正确的过程解答此方程．
【答案】(1)甲、乙的解法都是错误的，理由见解析；
(2)分式方程的解为．
【分析】（）根据分式方程的解法逐步进行判断即可；
（）根据分式方程的解法进行解答即可；
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，
∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学：解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学：解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
39．（2024七年级下·浙江·专题练习）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
【详解】（1）解：，
方程两边同乘以，
得：，
去括号，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
方程两边同乘以，
得：，
去括号，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【考点题型十】根据分式方程解的情况求参数（）
40．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求这个分式方程的解；
(2)若此分式方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解．
【详解】（1）解：把代入分式方程得：，
整理得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是分式方程的解；
（2）分式方程变形得：，
去分母，得：，即，
若，即时，此方程无解，即分式方程无解；
若，即时，
分式方程无解，
，即，
把代入整式方程得：，
综上所述，或．
41．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，且方程无解．
(1)方程的增根是　　　　；
(2)求出分式方程中“？”所代表的数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据分式方程增根的定义即可得出答案；
（）将分式方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可；
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解题的关键．
【详解】（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是，
故答案为：；
（2）将关于的分式方程的两边都乘以，
得：，
把代入得，．
42．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）（1）若方程有增根，求m的值．
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了分式方程的增根，同底数幂乘除法，熟练掌握解分式方程的步骤及幂的运算性质和法则是解题的关键；
（1）首先化分式方程为整式方程，然后让最简公分母为0确定增根，再把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（2）首先化简方程得，然后将转化为同底数幂乘除法，再把指数代入即可．
【详解】（1）
，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
将代入中得
，
解得：；
（2），
，
．
43．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把▲代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：，
所以是原分式方程的解；
（2）设▲，，
方程两边同乘，得：，
把代入，得：
，
解得：．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【考点题型十一】列分式方程解决实际问题（）
44．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查从实际问题中抽取分式方程，理解题意是解题的关键．根据题中的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，
根据等量关系即可得到，
故选B．
45．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波远的某风景区游玩．途中……设原计划以每小时的速度开往该景区，可得方程，根据此情景，题中“……”表示的缺失条件应为（ ）
A．实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达
B．实际每小时比原计划慢，结果提前1小时到达
C．实际每小时比原计划快，结果延迟1小时到达
D．实际每小时比原计划慢，结果延迟1小时到达
【答案】A
【分析】本题主要考查了列分式方程，先根据原计划的速度为，可知是实际速度，再结合时间的差为1，可知答案．
【详解】由原计划每小时的速度开往景区，可知是实际速度，再根据时间差为1，可知实际比原计划提前了1小时．
所以缺失的条件是“实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达”．
故选：A．
46．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在解决“甲乙两站相距千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车速度的倍，结果客车比货车早小时到达乙站，求客车与货车的速度分别是多少？”这一问题时，小林通过设某一未知量为，得到分式方程，则小林设的未知量是（ ）
A．货车的速度 B．客车的速度 C．客车运动时间 D．货车运动时间
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据所列方程中未知数的表示即可判断出未知数所表示的含义．
【详解】解：根据客车的速度是货车速度的倍，客车比货车早小时到达乙站，分式方程为
∴小林设的未知量是货车的速度．
故选：A．
47．（2024七年级下·浙江·专题练习）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了到达，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
原计划速度为，则实际速度为，根据时间路程速度结合实际比原计划提前到达，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
48．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）某项工程甲队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，如果甲，乙两队合作，可比规定时间提前天完成任务，若设规定的时间为天，由题意列出的方程是 ．
【答案】
【分析】设规定的时间为天，甲单独完成这项工程需要天，乙单独完成这项工程需要天，根据题意列方程即可解答．
【详解】解：设规定的时间为天，甲单独完成这项工程需要天，乙单独完成这项工程需要天，根据题意可得，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，明确题意，找准等量关系是解题的关键．
【考点题型十二】分式方程与实际问题（）
49．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 　 　 　
单价（元/千克） 　 　 　
商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克．
【答案】　
【分析】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，用总价除以总量就是什锦糖的单价，根据题意列方程求解即可．
【详解】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，根据题意得：
，解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴需再加入丙种糖千克，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
50．（22-23八年级下·广东深圳·期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
【答案】
【分析】利用分式方程中的工程问题，工作量除以工作效率等于工作时间，列出方程求解即可．
【详解】
解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工套校服，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙厂每天加工套校服．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的分式方程的实际应用---工程问题，熟练掌握工程问题的数量关系式是解答此题的关键．
51．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄（x≤13），如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁．
【答案】6
【分析】根据“一个儿童的服药量恰好是成人服药量的”为等量关系，列出方程，解出即可．
【详解】解：当儿童服药量占成人服药量的时，
即，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x＋12≠0，
∴x＝6是原方程的根，
即：6岁的儿童服药量占成人服药量的．
故答案为6．
【点睛】本题考查分式方程的应用，关键是正确理解题意，列出方程，注意分式方程要检验．
52．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）随着新能源汽车的普及，越来越多的企业加入新能源汽车生产的行列．
(1)某公司决定生产A型和B型两款新能源汽车1500辆，经市场调研，A型车的市场反应较好，所以计划生产A型车的数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各生产了多少辆？
(2)公司计划12000万用于生产A型车，8000万用于生产B型车，已知每辆A型车的成本是每辆B型车成本的1.5倍，随着技术的提升，每辆A型车的成本比预计的降低了，B型车成本保持不变，结果A型车比B型车多生产了100辆，求两种车型的实际生产成本各是多少？
【答案】(1)生产了1000辆A型车，500辆B型车；
(2)每辆A型车的实际生产成本是24万元，每辆B型车的实际生产成本是20万元．
【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
（1）设生产了x辆B型车，则生产了辆A型车，根据该公司决定生产A型和B型两款新能源汽车共1500辆，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即生产B型车的数量），再将其代入中，即可求出生产A型车的数量；
（2）设每辆B型车的预计成本是y万元，则每辆A型车的实际生产成本是万元，每辆B型车的实际生产成本是y万元，利用数量总价单价，结合A型车比B型车多生产了100辆，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值（即每辆B型车的实际生产成本），再将其代入中，即可求出每辆A型车的实际生产成本．
【详解】（1）解：设生产了x辆B型车，则生产了辆A型车，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：生产了1000辆A型车，500辆B型车；
（2）解：设每辆B型车的预计成本是y万元，则每辆A型车的预计成本是万元，每辆A型车的实际生产成本是（万元），每辆B型车的实际生产成本是y万元，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：每辆A型车的实际生产成本是24万元，每辆B型车的实际生产成本是20万元．
53．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．某影院在上映期间采购了两批同样的《满江红》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个纪念品挂件的进价；
(2)影院在电影热映期间以50元一个进行售卖，卖出总量的后，随着电影热度的降低，影院进行打折促销活动，剩余挂件都按原售价7折销售，请问影院最终获利多少元？（获利=总销售额-总成本）
【答案】(1)第二批进价为每个40元
(2)获利925元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，对于（1），设第二批的进价，可表示第一批的进价，再表示两批挂件的个数，然后根据两批挂件的数量差等于25列出分式方程，求出解即可；
对于（2），根据可求出答案．
【详解】（1）解：设第二批进价为x元，则第一批进价为元，根据题意，得
可得，
.
经检验，是原方程的解，符合题意，
所以第二批进价为每个40元；
（2）电影院总共购进：（个），
（个），
获利：（元）.中小学教育资源及组卷应用平台
【知识过关】 分式 全章知识题型讲练
01 分式的基础
分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
1）分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0；
2）分式判断的易错点：
①分式可看成是两个整式的商，如可以表示为x÷y，但x÷y不满足分式的形式，它不是分式；
②判断一个代数式是否是分式的方法：
a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式.
对于分式来说 条件
分式有意义 分母不等于零，即B≠0
分式无意义 分母等于零，即B=0
分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可）
02 分式的性质
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
字母表示：或，其中A，B，C是整式且B C≠0.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
即：.
【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.
03 分式运算
1.分式的约分
根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
2.分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
确定最简公分母的方法：
1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；
②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母；
③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
3.分式的加减法
1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为：
2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：
4.分式的乘除法
1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即.
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即.
3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0）
5.分式的混合运算
运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
【补充说明】
①分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
②分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
04 分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
2）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
05 分式方程的实际运用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
【考点题型一】分式的判断（）
1．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列各式：中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级上·广西贵港·期中）下列各式，，，，，中，分式的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点题型二】分式有无意义，值为0的条件（）
4．（2023·浙江宁波·一模）对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 －4 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A． B．
C．或 D．且
7．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）要使的值为0，则x的值是 ．
【考点题型三】分式的求值（）
8．（21-22七年级下·浙江杭州·阶段练习）若则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
9．（20-21七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ．
10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，求分式的值．
11．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴4即
∴，∴
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求x的值．
(3)若，，，，且，求的值．
【考点题型四】分式的基本性质（）
12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
13．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）小德不小心将墨汁滴到了作业纸上，导致分式中有部分代数式被墨汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　）
A．2 B．x C． D．4
14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）下列分式的变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
18．（21-22八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
①；②；③；④．
【考点题型五】约分、通分、最简公分母、最简分式（）
19．（2024七年级下·浙江·专题练习）化简：
(1)；
(2)．
20．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列分式化为最简分式．
（1）；
（2）；
（3）．
21．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．
22．（2022八年级上·全国·专题练习）（1）通分：和；
（2）约分：．
【考点题型六】分式的乘除混合运算（）
23．（2023·安徽·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·河北沧州·模拟预测）分式运算的结果是，则□处的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
25．（20-21七年级下·山东青岛·期中）计算： ．
26．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
27．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)．
【考点题型七】分式的加减混合运算（）
28．（23-24七年级下·浙江金华·期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
29．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的的值是 ．

30．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算并化简：
(1)；
(2)．
31．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．
【考点题型八】判断分式方程（）
32．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
33．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点题型九】解分式方程（）
35．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B． C． D．
36．（2023·河南南阳·一模）方程的解为（ ）
A． B． C． D．无解
37．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
38．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学：解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学：解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
(1)请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
(2)请写出你认为正确的过程解答此方程．
39．（2024七年级下·浙江·专题练习）解方程：
(1)；
(2)
【考点题型十】根据分式方程解的情况求参数（）
40．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求这个分式方程的解；
(2)若此分式方程无解，求的值．
41．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，且方程无解．
(1)方程的增根是　　　　；
(2)求出分式方程中“？”所代表的数．
42．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）（1）若方程有增根，求m的值．
（2）若，求的值．
43．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【考点题型十一】列分式方程解决实际问题（）
44．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
45．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波远的某风景区游玩．途中……设原计划以每小时的速度开往该景区，可得方程，根据此情景，题中“……”表示的缺失条件应为（ ）
A．实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达
B．实际每小时比原计划慢，结果提前1小时到达
C．实际每小时比原计划快，结果延迟1小时到达
D．实际每小时比原计划慢，结果延迟1小时到达
46．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在解决“甲乙两站相距千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车速度的倍，结果客车比货车早小时到达乙站，求客车与货车的速度分别是多少？”这一问题时，小林通过设某一未知量为，得到分式方程，则小林设的未知量是（ ）
A．货车的速度 B．客车的速度 C．客车运动时间 D．货车运动时间
47．（2024七年级下·浙江·专题练习）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了到达，则可列方程 ．
48．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）某项工程甲队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，如果甲，乙两队合作，可比规定时间提前天完成任务，若设规定的时间为天，由题意列出的方程是 ．
【考点题型十二】分式方程与实际问题（）
49．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 　 　 　
单价（元/千克） 　 　 　
商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克．
50．（22-23八年级下·广东深圳·期中）甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
51．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄（x≤13），如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁．
52．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）随着新能源汽车的普及，越来越多的企业加入新能源汽车生产的行列．
(1)某公司决定生产A型和B型两款新能源汽车1500辆，经市场调研，A型车的市场反应较好，所以计划生产A型车的数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各生产了多少辆？
(2)公司计划12000万用于生产A型车，8000万用于生产B型车，已知每辆A型车的成本是每辆B型车成本的1.5倍，随着技术的提升，每辆A型车的成本比预计的降低了，B型车成本保持不变，结果A型车比B型车多生产了100辆，求两种车型的实际生产成本各是多少？
53．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．某影院在上映期间采购了两批同样的《满江红》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个纪念品挂件的进价；
(2)影院在电影热映期间以50元一个进行售卖，卖出总量的后，随着电影热度的降低，影院进行打折促销活动，剩余挂件都按原售价7折销售，请问影院最终获利多少元？（获利=总销售额-总成本）

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