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第5章 《分式》单元测试卷A
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．（3分）在代数式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列各式中，约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
4．（3分）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
6．（3分）已知x为实数，且，那么x2+9x的值为（　　）
A．1 B．﹣3或1 C．3 D．﹣1或3
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2023，y+a2＝2024，z+a2＝2025，且xyz＝5，则代数式的值等于（　　）
A．0 B．0.6 C．2 D．404.8
9．（3分）已知A为整式，计算的结果为，则A＝（　　）
A．x2﹣y2 B．xy+y2 C．x2 D．x
10．（3分）实数a，b，c满足a+b+c＝57，a2+b2+c2＝2025，则（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分）
11．（3分）分式和的最简公分母是 　 　 ．
12．（3分）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为 　 　 ．
13．（3分）关于x的分式方程1有一个正数解，则a的取值范围是　 　 ．
14．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为 　 　 元/斤．
15．（3分）已知，则的值是 　 　 ．
16．（3分）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有　 　 个．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第　 　 （填序号）步开始出现错误．错误的原因是　 　 ．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当x＝﹣2时，该代数式的值．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（10分）某文化用品商店用2000元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了．商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一批贵4元，商店用了6300元，所购数量是第一批的3倍．求第一批采购的书包的单价是多少元．
22．（10分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k．
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4．
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为　 　 ．
23．（12分）阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则m＝ 　 　 ；如果，则m＝ 　 　 ；
总结：
（2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
24．（12分）笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相同．
（1）求两种型号“文房四宝”的单价；
（2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套？中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 《分式》单元测试卷A
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．（3分）在代数式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【解答】解：在代数式，，，中，分式有，，，共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2．（3分）下列各式中，约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的约分法则计算，判断即可．
【解答】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意；
B、a2，故本选项结论不正确，不符合题意；
C、，结论正确，符合题意；
D、，故本选项结论不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
3．（3分）若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
∴若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值扩大为原来的3倍，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（3分）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据公式s＝vt列代数式，两地路程一样，可列出提速后的时间，即可算出提速后比原来减少多少时间．
【解答】解：A地到B地的路程＝vt（千米），
提速后的速度＝v+m（千米每小时），
提速后的时间：（小时），
∴提速后从A地到B地需要的时间比原来减少＝t，
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，关键是根据公式s＝vt运算．
5．（3分）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】将x＝1代入方程，即可求a的值．
【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
6．（3分）已知x为实数，且，那么x2+9x的值为（　　）
A．1 B．﹣3或1 C．3 D．﹣1或3
【分析】设x2+9x＝y，方程变形后，求出解得到y的值，经检验即可确定出所求式子的值．
【解答】解：设x2+9x＝y，方程变形为y＝2，
去分母得：3﹣y2＝2y，即y2+2y﹣3＝0，
分解因式得：（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，
经检验y＝1与y＝﹣3都为分式方程的解，
则x2+9x的值为﹣3或1，
故选：B．
【点评】此题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】若设规定时间为x天，则快马所需时间为（x﹣3）天，慢马所需时间为（x+2）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：若设规定时间为x天，则快马所需时间为（x﹣3）天，慢马所需时间为（x+2）天，
根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2023，y+a2＝2024，z+a2＝2025，且xyz＝5，则代数式的值等于（　　）
A．0 B．0.6 C．2 D．404.8
【分析】先根据已知条件，把x用含a的式子表示出来，再把y，z用x表示出来，然后求出x﹣y，y﹣z和x﹣z的值，最后把所求分式进行通分，把分子化成含义x﹣y，y﹣z和x﹣z的式子进行计算即可．
【解答】解：∵x+a2＝2023，y+a2＝2024，z+a2＝2025，
∴x＝2023﹣a2，y＝2024﹣a2＝2023﹣a2+1＝x+1，z＝2025﹣a2＝2024﹣a2+1＝x+1+1＝x+2，
∴x﹣y＝1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝2，
原式
＝0.6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是根据已知条件求出x﹣y，y﹣z和x﹣z的值．
9．（3分）已知A为整式，计算的结果为，则A＝（　　）
A．x2﹣y2 B．xy+y2 C．x2 D．x
【分析】利用被减数等于减数与差的和得到，然后把等式右边进行通分，再进行同分母的加法运算，接着约分得到，从而得到A与x相等．
【解答】解：∵，
∴，
∴A＝x．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的混合运算：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
10．（3分）实数a，b，c满足a+b+c＝57，a2+b2+c2＝2025，则（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
【分析】先由条件可得a2+b2＝2025﹣c2，可得，同法可得，，再进一步计算即可．
【解答】解：由条件可知a2+b2＝2025﹣c2，
∴，
同理可得，，，
∴原式＝45+c+45+a+45+b
＝135+a+b+c
＝135+57
＝192，
故选：D．
【点评】本题考查的是求解分式的值，平方差公式的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分）
11．（3分）分式和的最简公分母是 　6a2b3c　 ．
【分析】先确定各分母系数的最小公倍数，再确定字母因式的最高次幂，求出最简公分母．
【解答】解：和的最简公分母是6a2b3c，
故答案为：6a2b3c．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
12．（3分）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为 　　 ．
【分析】把分子分母都乘以2即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键．
13．（3分）关于x的分式方程1有一个正数解，则a的取值范围是　a＞﹣3且a≠1　 ．
【分析】先解分式方程，求出，再根据分式方程有一个整数解，分式有意义的条件，可得且，进而得出答案．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得x﹣a+x﹣2＝1，
解得：，
∵分式方程有一个整数解，
∴且，
解得：a＞﹣3且a≠1．
故答案为：a＞﹣3且a≠1．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式有意义的条件，掌握解分式方程的方法，分式方程的解，分式有意义的条件是解题的关键．
14．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为 　5　 元/斤．
【分析】设该水果打折前的单价为x元/斤，则打折后的单价为0.8x元/斤，利用数量＝总价÷单价，结合“若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设该水果打折前的单价为x元/斤，则打折后的单价为0.8x元/斤，
根据题意得：2，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴该水果打折前的单价为5元/斤．
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（3分）已知，则的值是 　7　 ．
【分析】根据（x±y）2＝x2±2xy+y2，直接作答即可．
【解答】解：∵，
∴，
则，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
16．（3分）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有　4　 个．
【分析】先将分式化为，再根据分式的值为整数，x为整数分别计算即可．
【解答】解：，
∵分式的值为整数，x取整数，
∴2x+1＝±6或2x+1＝±3或2x+1＝±2或2x+1＝±1，
∴x＝2.5（舍去）或x＝﹣3.5（舍去）或x＝1或x＝﹣2或x＝0.5（舍去）或x＝﹣1.5（舍去）或x＝0或x＝﹣1，
综上，符合题意的x的值有4个，
故选：4．
【点评】本题考查了分式的值，将分式拆分为整数与分式相加减的形式是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据数的乘方法则，负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1+4﹣3+2
＝2；
（2）
．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，涉及到数的乘方法则，负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
18．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
去分母得：2x＝x+1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2），
去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的增根，原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（8分）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第　①　 （填序号）步开始出现错误．错误的原因是　计算顺序错误　 ．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当x＝﹣2时，该代数式的值．
【分析】（1）根据分式的运算顺序即可得出答案；
（2）先计算分式的除法，再计算分式的加法进行化简，再把x＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：（1）化简过程中，从第①步开始出现错误．错误的原因是计算顺序错误；
故答案为：①，计算顺序错误；
（2）原式
1
，
当x＝﹣2 时，
原式0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法化为乘法运算，则约分得到原式，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式

，
当a1时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
21．（10分）某文化用品商店用2000元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了．商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一批贵4元，商店用了6300元，所购数量是第一批的3倍．求第一批采购的书包的单价是多少元．
【分析】根据“商店用了6300元，所购数量是第一批的3倍”列方程求解．
【解答】解：设第一批采购的书包的单价是x元，
则：，
解得：x＝80，
经检验：x＝80是原方程的解，
答：第一批采购的书包的单价是80元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
22．（10分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k．
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4．
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为　1或2　 ．
【分析】（1）根据分式的加减法的运算法则求出A+B＝3，即可得出结论．
（2）①由题意可得，再去分母、整理求出G的值即可．
②将①所求G的值代入D，再化简D得到最简结果，根据x为正整数，分式D的值也为正整数可得出x的值．
【解答】解：（1）∵A+B3，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝3．
（2）①∵，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4，
∴，
去分母得：（4x﹣2）（x+3）+G＝4（x+3）（x﹣3），
整理得：G＝4（x+3）（x﹣3）﹣（4x﹣2）（x+3）＝﹣10x﹣30．
②∵G＝﹣10x﹣30，
∴D．
∵分式D的值为正整数，
∴x﹣3＝﹣1或﹣2或﹣5．
当x﹣3＝﹣1时，x＝2，
当x﹣3＝﹣2时，x＝1，
当x﹣3＝﹣5时，x＝﹣2（舍去），
∴x值为1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查分式的加减法、分式的值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（12分）阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则m＝ 　1　 ；如果，则m＝ 　﹣4　 ；
总结：
（2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【分析】（1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可．
【解答】解：（1）原式
，
又，
∴m＝1；
∵，
又，
∴m＝﹣4，
故答案为：1；﹣4；
（2）∵，
∴m＝ac+b；
（3），
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴x＝0或﹣2或2或﹣4．
【点评】本题考查了分式的运算，解题的关键是类比范例进行解答．
24．（12分）笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相同．
（1）求两种型号“文房四宝”的单价；
（2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套？
【分析】（1）设B型号“文房四宝”的单价为x元，则A型号“文房四宝”的单价为（x﹣20）元，由题意可得，进而求解即可；
（2）设购买B型号“文房四宝”m套，则购买A型号“文房四宝”（3m﹣5）套，由题意可得100m+80（3m﹣5）≤1200，然后问题可求解
【解答】解：（1）设B型号“文房四宝”的单价为x元，则A型号“文房四宝”的单价为（x﹣20）元．
依题意得，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，
∴100﹣20＝80（元），
答：B型号“文房四宝”的单价为100元，A型号“文房四宝”的单价为80元；
（2）设购买B型号“文房四宝”m套，则购买A型号“文房四宝”（3m﹣5）套．依题意得：
100m+80（3m﹣5）≤1200，
整理得，340m≤800，
解得．
∵m取正整数，
∴m的最大值为4，
所以最多购买B型号“文房四宝”4套，
答：最多购买B型号“文房四宝”4套．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意找到关系式．

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