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数 学
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。时西写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A.5 B.3 C. D.2
3.在△ABC中，点M是BC的中点，，，则（ ）
A. B. C.5 D.21
4.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.甲、乙两队篮球比赛中，甲队每局获胜的概率为，甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为，不上场的情况下甲队获胜的概率为，则A队员每局上场的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知抛物线C：（）的焦点为F，点A是C上一点，点B是其准线上一点，若，，，则p的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
8.已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面统计了某公司近6年经营情况，得出科研经费与产品的收益数据如下：
科研经费x（单位：万元） 2 4 5 71 8 10
产品收益y（单位：万元） 73 m 84 94 101 110
若产品收益y关于科研经费x的经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.产品收益数据的第60百分位数为94
C.产品收益数据的方差大于其极差
D.预测科研经费为16万元时，产品收益约为138.57万元
10.如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（ ）
A.平面DEF B.
C.球O的表面积为 D.点F到平面DEM的距离为
11.设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ）
A.是奇函数 B.
C.点为曲线的对称中心 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.的展开式中项的系数为 .（用数字作答）
13.已知角，的终边不重合，且，则 .
14.已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求A；
（2）若，，求△ABC的周长.
16.（15分）
已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求a的值；
（2）证明：不存在极值.
17.（15分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，，△ABC为等腰直角三角形，斜边，M，Q分别为BC，PB的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面PAC与平面所成二面角的正弦值.
18.（17分）
已知双曲线C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知，，过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线PM与直线交于点A.
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）若直线与直线交于点B，直线与直线BP交于点D，求面积的最小值.
19.（17分）
对于数列，若存在正整数k，，都有，则称数列为“k倍递增数列”.
（1）在等比数列中，，，判断数列是否为“3倍递增数列”？并说明理由；
（2）若等差数列为“2倍递增数列”，且，求的公差d的取值范围；
（3）若数列是一个5项的“1倍递增数列”，且（，2，3，4，5），记X表示的值，求X的分布列与数学期望.
数学参考答案
1.C 因为，，所以.故选C.
2.A ，则，所以.故选A.
3.A 由题意，得，，由M为BC的中点，得，所以.故选A.
4.D 因为，，所以.故选D.
5.B 设A队员每局上场的概率为p，则不上场的概率为，由全概率公式可知，解得.故选B.
6.C 由题知，.当时，，因为在上恰有2个零点，所以，解得.故选C.
7.B 如图，过A作垂直于C的准线，垂足为，由抛物线的定义可知，，则，所以.设，则.所以.因为轴，所以，过A作轴，垂足为D.因为，，所以.又，所以，解得.故选B.
8.D 当时，，当时，，不符合题意；当时，取，则，不符合题意；当时，设，，则，当且仅当时取等号.若，即，取，，，不满足题意；若，即，在上恒成立，则需在上恒成立，又，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，故，解得，所以.综上可知，.故选D.
9.BCD 因为，所以，所以，解得，A错误；产品的收益数据从小到大排列为73，78，84，94，101，110，因为，所以产品收益数据的第60百分位数为94，B正确；产品收益数据的方差，产品收益数据的极差为，C正确；当时，，即预测科研经费为16万元时，产品收益约为138.57万元，D正确.故选BCD.
10.AB 如图，因为D，E分别为BC，AC的中点，所以.又，所以.因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，A正确；取AB的中点N，连接MN，则，连接CN，则.又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF.因为平面MNCF，所以.又，所以，B正确；设，则，，.因为，所以，即，解得，所以.易得△ABC外接圆的半径为，设正三棱柱外接球的半径为R，则，所以其外接球的表面积为，C错误；因为，，，DE，平面DEF，所以平面DEF，由上可得，，，，，所以，.设点F到平面DEM的距离为h，由，得，所以，即点F到平面DEM的距离为，D错误，故选AB.
11.ACD令，则，所以，所以是奇函数，A正确；由为奇函数，知，令，得，B错误；因为，所以，即，又，所以，所以点为曲线的对称中心，C正确；因为是奇函数，所以是偶函数，又函数的图象关于点中心对称，所以的周期为4.而，所以，即，所以，D正确.故选ACD.
12. 的展开式通项为，令，解得，所以项的系数为，
13. 由题知，则，即，其中，.因为角，的终边不重合，所以，，则，，所以.
14. 如图，由，得，由知P，，Q三点共线.设，则，所以.由椭圆的对称性知，，由椭圆的定义知，.因为，所以，整理得，解得或（舍去），则，，所以.在中，，即，则，所以.
15.解：
（1）由正弦定理及，得，
又，，所以，
所以.
又，所以，所以.
（2）由，，得，由正弦定理，得.
由（1）知，，所以，
所以，所以.
由余弦定理，得，
解得或（舍去），
故△ABC的周长为.
16.（1）解：，则，
由题知，，整理得，
令（），则，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，所以，使得.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
又，所以，所以在上仅有一个零点，又，所以.
（2）证明：易知的定义域为，.
令（），则.
令（），则，
所以在区间上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
所以在区间上单调递增，故在上不存在极值.
17.（1）证明：取PC的中点E，连接，与PM交于F，连接AF，AM，
则为△PBC的中位线，所以F为PM的中点，.
又，所以，则A，D，E，Q四点共面.
因为P，M为BC中点，所以，则.
因为△ABC为等腰直角三角形，斜边，所以，且，
所以△PAM为等边三角形，故，
因为，AF，平面ADEQ，所以平面ADEQ，即平面.
（2）解：由（1）可知，，，，PM，平面PAM，所以平面PAM，
以M为原点，MC，MA所在直线分别为x轴，y轴，过M且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面PAC的法向量为，
由得，取，则.
由（1）知，为平面的一个法向量.
设平面PAC与平面所成二面角为，
则，
所以，
即平面PAC与平面所成二面角的正弦值为.
18.（1）解：因为点在渐近线上方，所以双曲线C的焦点在x轴上，
设双曲线C的方程为（，）.
由题知，解得，，
故双曲线C的方程为.
（2）（ⅰ）证明：因为两点P，Q在双曲线C的右支，所以直线与x轴不重合，设直线的方程为，，.
联立方程得，
则，
，，
直线PM的方程为，
令，得点A的坐标为，
所以直线的方程为，
令，得直线与x轴交点的横坐标
.
故直线恒过定点.
（ⅱ）解：由（ⅰ）同理可得，直线BP也过定点，
因为直线与直线BP交于点D，所以.
因为过点N的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以或或，即.
.
令，则，，
易知函数在上单调递增，故，
故的面积的最小值为.
19.解：
（1）设等比数列的公比为q，
由，，得，
所以，.
数列不是“3倍递增数列”.
理由：因为，
所以，，，
即，不满足定义
故数列不是“3倍递增数列”.
（2）由题知，则.
因为为“2倍递增数列”，所以对于任意的，单调递增，
则，即，解得或.
当时，令，得，，
所以当，即时，单调递增，
又，所以对于任意的，单调递增，符合题意；
当时，，
因为，所以对于任意的，单调递增，符合题意.
综上可知，的公差d的取值范围为.
（3）由（，2，3，4，5）可知的最小值为0，最大值为5.
若时，则，或，
则，，，，所以，或，或，或，
此时满足条件的数列共有个；
若时，则，则或4.
①当时，或，
则，，，所以，或，或，
此时满足条件的数列共有个；
②当时，，则或2，
ⅰ°若，则，此时或1.当时，，则，或，所以或；当时，则或，，所以；
ⅱ°若，所以或，则，，即或，，
此时满足条件的数列共有；
由上可知，满足条件的数列共有.
X的可能取值为1，9，10，且，，，
所以X的分布列为
X 1 9 10
P
故.

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