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【期末题型总复习】专题02 平行线综合压轴题
1．（2024春 海曙区期末）如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b．
（1）若∠AED＝40°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠AED＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点M，连结ME，MQ，请直接写出∠MEQ、∠EMQ、∠MQF之间的数量关系（用含m的式子表示）．
【分析】（1）过点B作直线BH∥a，结合平行线性质即可得出结论．
（2）过点B作直线BH∥a，结合平行线性质即可．
（3）结合题意画出图形，分类讨论即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B作直线BH∥a，
∴∠ABH＝∠AED＝40°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBH＝90°﹣∠ABH＝50°，
∵BH∥a，a∥b，
∴BH∥b，
∴∠CBH+∠BFG＝180°，
∴∠BFG＝180°﹣∠CBH＝130°；
（2）∠AED+∠PFG＝90°，理由如下：
如图2，过点B作直线BH∥a，由（1）得，BH∥a∥b，
∴∠ABH＝∠AED，
∵∠CBH+∠ABH＝∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠AED＝90°，
∵BH∥b，
∴∠CBH+∠BFG＝180°，
∴∠PFG+∠BFG＝180°，
∴∠CBH＝∠PFG，
∴∠AED+∠PFG＝90°；
（3）∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣m或∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣m．理由如下：
当点P在DC上时，如图3（1），
在△QEM中，∠MEQ+∠EMQ+∠EQM＝180°，
∵a∥b，
∴∠EQF＝∠AED＝m，
∵∠EQM＝∠EQF﹣∠MQF，
∴∠MEQ+∠EMQ+∠EQF﹣∠MQF＝180°，
∴∠MEQ+∠EMQ+m﹣∠MQF＝180°，
∴∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣m．
当点M在DC的延长线上时，如图3（2），
在△QEM中，∠MEQ+∠EMQ+∠EQM＝180°，
∵a∥b，
∴∠EQF＝∠AED＝m，
∵∠EQM＝∠EQF+∠MQF，
∴∠MEQ+∠EMQ+∠EQF+∠MQF＝180°，
∴∠MEQ+∠EMQ+m+∠MQF＝180°，
∴∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣m．
综上，∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣m或∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣m．
【点评】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一．
2．（2024春 鄞州区期末）如图，直线PQ∥MN，一副三角板（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠A＝45°，∠DEC＝60°，∠DCE＝30°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将△ABC绕点B以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在△ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以每秒2°的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边FG与△CDE的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值．
【分析】（1）根据角平分线可得出∠ECN＝67.5°，再根据平行线的性质求解即可；
（2）①先求出∠DCN＝67.5°，再根据BG∥CD得出∠CBG＝∠DCN，进而建立关于t的方程即可求解；
②由题知FG与△CDE的一边互相平行，则需分三种情况讨论，画出图形利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°，
∴∠ACN＝135°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝67.5°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC＝180°﹣∠ECN＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∵∠DEC＝60°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠DEC＝112.5°﹣60°＝52.5°；
（2）①∵∠DCE＝30°，
∴∠DCN＝67.5°﹣30°＝37.5°，
∵BG∥CD，
∴∠CBG＝∠DCN，
∴3t＝37.5，
∴t＝12.5秒；
②由题知FG与△CDE的一边互相平行，则需分三种情况讨论，
Ⅰ，当FG∥HK，
t1＝16.5s；
t2＝52.5s；
Ⅱ，当FG∥EK，
t3＝34.5s；
Ⅲ，当FG∥HE，
t4＝22.5s；
t5＝58.5s；
故答案为：16.5s，22.5s，34.5s，52.5s，58.5s．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、旋转动点问题、三角板的放置问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2024春 西湖区期末）已知直线AB∥CD，点F在CD上，射线FE与AB交于点E．点P在射线FE上（不与点E，F重合），点Q在射线EA上（不与点E重合），连接PQ．
（1）如图1，若点P在线段EF上，∠AQP＝115°，∠PFD＝75°，求∠QPF的度数．
（2）如图2，点P在线段EF上，QM平分∠AQP，且与∠CFP的角平分线交于点M，若MQ∥PF，MF∥PQ，求∠AEF的度数．
（3）当60°＜∠FEA＜90°时，PG⊥PQ交直线CD于点G，EN∥PG交直线CD于点N，若∠PQE∠PEQ＝α，请直接写出∠NEP的度数．（用含α的代数式表示）
【分析】（1）过点P作PT∥AB，根据平行线的性质得出∠QPF＝∠QPT+∠TPF，即可求解；
（2）设∠AEF＝β，根据平行线的性质得出∠CFM＝∠MFP＝∠PFD＝β，结合平角的定义，即可求解；
（3）分情况讨论即可．
【解答】解：（1）如图所示，过点P作PT∥AB，
∵AB∥CD，
∴TP∥CD，
∵∠AQP＝115°，∠PFD＝75°，
∴∠QPT＝180°﹣∠AQP＝65°，∠TPF＝∠PFD＝75°，
∴∠QPF＝∠QPT+∠TPF＝65°+75°＝140°；
（2）设∠AEF＝β，
∵AB∥CD，
∴∠PFD＝∠AEF＝β，
∵MQ∥PF，
∴∠AQM＝∠AEF＝β，
∵QM平分∠AQP，
∴∠MQP＝∠AQM＝β，
∵MQ∥PF，
∴∠QPE＝∠MQP＝β，
∵PQ∥MF，
∴∠MFP＝∠QPE＝β，
∵MF是∠CFP的角平分线，
∴∠CFM＝∠MFP＝β，
∴∠CFM＝∠MFP＝∠PFD＝β，
又∵∠CFM+∠MFP+∠PFD＝180°，即3β＝180°，
解得：β＝60°，
∴∠AEF＝60°；
（3）当P在EF下方时，如图所示，
∵PG⊥PQ，
∴∠QPG＝90°，
∵∠PQE∠PEQ＝α，
∴∠PEQ＝2α，
由（1）可得∠QPG＝∠EQP+∠PGF，
∴∠PGF＝90°﹣α，
∵EN∥PG，
∴∠ENF＝∠PGF＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴∠QEN＝∠ENF＝90°﹣α，
∴∠NEP＝∠QEP﹣∠QEN＝2α﹣（90°﹣α）＝3α﹣90°．
当P在EF上方时，如图所示，
∵PG⊥PQ，
∴∠QPG＝90°，
∵∠PQE∠PEQ＝α，
∴∠PEQ＝2α，
∴∠PEB＝180°﹣2α，∠QPG+∠EQP+∠PGF＝180°，
∴∠PGF＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵EN∥PG，
∴∠ENF＝∠PGF＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴∠QEN＝∠END＝180°﹣∠ENF＝90°+α，
∴∠BEN＝180°﹣∠QEN＝90°﹣α，
∴∠NEP＝∠BEN+∠PEB＝90°﹣α+（180°﹣2α）＝270°﹣3α°．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．（2024春 越城区期末）如图1，点A，B分别在直线GH，MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．
（1）求证：GH∥MN．（温馨提示：可延长AC交MN于点P进行探索）
（2）如图2，已知AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，探索∠GAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如图3，已知BF平分∠DBM，点K在射线BF上，，若∠AKB＝∠ACD．请直接写出∠GAC的度数．
【分析】（1）延长AC交MN于P，根据∠ACD＝∠D得AP∥BD，则∠APB＝∠NBD，再根据∠GAC＝∠NBD得∠APB＝∠GAC，由此即可得出结论；
（2）延长AC交MN于P，交ED于Q，根据角平分线定义可设∠GAE＝∠CAE＝α，∠CDE＝∠BDE＝β，则∠GAC＝2α，∠CDB＝2β，进而得∠GAC＝∠NBD＝2α，∠ACD＝∠CDB＝2β，∠AED＝∠GAC＝2α，则∠AQE＝180°﹣（∠AED+∠CAE）＝180°﹣3α，∠QCD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣2β，进而得∠CQD＝180°﹣∠AQE＝3α，再根据三角形内角和定理得∠CQD+∠QCD+∠CDE＝180°，进而得β＝3α，则∠ACD＝6α，据此可得∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）根据点K在射线BF上，分以下两种情况：①当点K在GH上方时，过点K作KM∥GH，设∠KAG＝θ，则∠GAC＝∠NBD＝4θ，∠MBD＝180°﹣∠NBD＝180°﹣4θ，根据BF平分∠DBM得∠MBF∠MBD＝90°﹣2θ，证明KM∥GH∥MN得∠MKB＝∠MBF＝90°﹣2θ，∠MKA＝∠KAG＝θ，则∠AKB＝∠MKB﹣∠MKA＝90°﹣3θ，再根据在（2）的条件下这∠ACD＝3∠GAC＝12θ，则∠AKB＝∠ACD＝12θ，由此得90°﹣3θ＝12θ，据此解出θ＝6°，则可得∠GAC的度数；②当点K在GH下方时，过点K作KN∥GH，设∠KAG＝θ，同理∠GAC＝∠NBD＝4θ，∠AKB＝∠ACD＝12θ，∠MBF＝90°﹣2θ，KM∥GH∥MN，则∠AKN＝∠KAG＝θ，∠BKN＝∠MBF＝90°﹣2θ，进而得∠AKB＝∠AKN+∠BKN＝90°﹣θ，由此得90°﹣θ＝12θ，据此解出θ，则可得∠GAC的度数，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）延长AC交MN于P，如图1所示：
∵∠ACD＝∠D，
∴AP∥BD，
∴∠APB＝∠NBD，
∵∠GAC＝∠NBD，
∴∠APB＝∠GAC，
∴GH∥MN；
（2）∠GAC与∠ACD之间的数量关系是：∠ACD＝3∠GAC，理由如下：
延长AC交MN于P，交ED于Q，如图2所示：
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴设∠GAE＝∠CAE＝α，∠CDE＝∠BDE＝β，
则∠GAC＝2α，∠CDB＝2β，
∴∠GAC＝∠NBD＝2α，∠ACD＝∠CDB＝2β，∠AED＝∠GAC＝2α，
∴∠AQE＝180°﹣（∠AED+∠CAE）＝180°﹣3α，∠QCD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣2β，
∴∠CQD＝180°﹣∠AQE＝180°﹣（180°﹣3α）＝3α，
∵∠CQD+∠QCD+∠CDE＝180°，
∴3α+180°﹣2β+β＝180°，
∵β＝3α，
∴∠ACD＝2β＝6α，
∴∠GAC＝2α，
∴∠ACD＝3∠GAC；
（3）∠GAC的度数为：24°或，理由见解答过程．
∵点K在射线BF上，
∴有以下两种情况：
①当点K在GH上方时，过点K作KR∥GH，如图3①所示：
设∠KAG＝θ，
∵∠KAG∠GAC，
∴∠GAC＝4∠KAG＝4θ，
∴∠GAC＝∠NBD＝4θ，
∴∠MBD＝180°﹣∠NBD＝180°﹣4θ，
∵BF平分∠DBM，
∴∠MBF∠MBD（180°﹣4θ）＝90°﹣2θ，
由（1）可知：GH∥MN，
∵KR∥GH，
∴KR∥GH∥MN，
∴∠RKB＝∠MBF＝90°﹣2θ，∠RKA＝∠KAG＝θ，
∴∠AKB＝∠RKB﹣∠RKA＝90°﹣2θ﹣θ＝90°﹣3θ，
∵在（2）的条件下，
∴∠ACD＝3∠GAC＝12θ，
∴∠AKB＝∠ACD＝12θ，
∴90°﹣3θ＝12θ，
解得：θ＝6°，
∴∠GAC＝4θ＝24°；
②当点K在GH下方时，过点K作KR∥GH，如图3②所示：
设∠KAG＝θ，
同理：∠GAC＝∠NBD＝4θ，∠AKB＝∠ACD＝12θ，∠MBF＝90°﹣2θ，KF∥GH∥MN，
∴∠AKR＝∠KAG＝θ，∠BKR＝∠MBF＝90°﹣2θ，
∴∠AKB＝∠AKR+∠BKR＝θ+90°﹣2θ＝90°﹣θ，
∴90°﹣θ＝12θ，
解得：θ，
∴∠GAC＝4θ．
综上所述：∠GAC的度数为24°或．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
5．（2023春 南浔区期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．AB，AC分别交DG于M，N点．
（1）求∠1和∠2的度数；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°，如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时：
①请用含n的代数式表示∠2的度数；
②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解．
（2）①根据平行线的性质即可求解．
②分情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵EF∥DG，
∴∠AMN＝∠ABC＝60°，∠ANM＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝180﹣∠AMN＝120°，
∠2＝180﹣∠ANM＝90°，
故∠1和∠2的度数为120°，90°．
（2）①∵EF∥DG，
∴∠MCB＝∠CBF＝n°，
∴∠ACM＝90﹣∠MCB＝90﹣n°，
∴∠2＝180﹣∠ACM＝（90+n）°，
故∠2的度数为（90+n）°．
②存在．理由如下：
当n＝30°时，AB⊥DG（EF），
当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝120°时，AB⊥DE（GF）；
当n＝180°时，AC⊥DG（EF），BC⊥DE（GF）；
当n＝210°时，AB⊥DG（EF）；
当n＝270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝300°时，AB⊥DE （GF）．
【点评】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
6．（2024春 平湖市期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ∥CN，A，B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D，E为AD上一点，连接BE，AF平分∠BAD交BE于点F．
（1）若∠EAP＝100°，则∠C＝　20°　 ；
（2）若点G为线段CD上一点，且满足∠ADC＝2∠GAD，当∠BED+∠GAF＝180°时，试说明：AC∥BE；
（3）在（1）问的条件下，探照灯A，D射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯A射出的光线lA从AC处开始以每秒4°的速度绕点A逆时针转动，探照灯D射出的光线lD从DN处开始以每秒12°的速度绕点D逆时针转动，当lD转至射线DC后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当lD回到出发时的位置DN时同时停止转动．设转动时间为t秒，则在转动过程中，当lA⊥lD时，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出∠CAB＝2∠BAD＝160°，继而得出∠PAC，再根据两直线平行，内错角相等求解即可；
（2）设∠GAD＝x，则∠ADC＝2∠GAD＝2x，根据平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝2x，由角平分线的意义得出，∠BAD＝∠CAD＝2x，根据已知条件可得∠CAD＝∠AEF，由内错角相等，即可判断两直线平行；
（3）分两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠EAP+∠BAD＝180°，∠EAP＝100°，
∴∠BAD＝180°﹣∠EAP＝80°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠BAD＝160°，
∴∠PAC＝180°﹣∠CAB＝20°，
∵PQ∥CN，
∴∠C＝∠PAC＝20°，
故答案为：20°；
（2）设∠GAD＝x，则∠ADC＝2∠GAD＝2x，
∵PQ∥CN，
∴∠ADC＝∠BAD＝2x，
∵AF平分∠BAD，AD平分∠CAB，
∴，∠BAD＝∠CAD＝2x，
∴∠GAF＝∠GAD+∠EAF＝2x，
∵∠BED+∠GAF＝180°＝∠BED+∠AEF，
∴∠GAF＝∠AEF＝2x，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴AC∥BE；
（3）360°÷12°＝30s，
由题意得∠PAC＝20°+4t，
当0＜t≤15时，如图，AC⊥DN，此时，∠CDN＝180°﹣12t，
∴∠CND＝90°，
∴∠NCD+∠CDN＝90°，
∵PQ∥CN，
∴∠PAC＝20°+4t＝∠NCD，
∴20°+4t+180°﹣12t＝90°，
解得；
当当15＜t≤30时，如图，AC⊥DN，此时，∠CDN＝360°﹣12t，
∴∠CND＝90°，
∴∠NCD+∠CDN＝90°，
∵PQ∥CN，
∴∠PAC+∠NCD＝180°，
∵∠PAC＝20°+4t，
∴∠NCD＝180°﹣（4t+20°）＝160°﹣4t，
∴160°﹣4t+360°﹣12t＝90°，
解得；
综上，或．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（2024春 萧山区校级期末）如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β．
①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数．
②点H在运动过程中，请直接写出α和β的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；
（2）①依据∠HEG＝40°，即可得到∠FEG＝70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH＝∠QGE＝20°，根据∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ进行计算即可；
②根据∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，即可得到∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH，最后依据∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ进行计算，即可得到αβ．
【解答】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠GEF，
又∵∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴AB∥CD；
（2）①∵∠HEG＝40°，
∴∠FEG（180°﹣40°）＝70°，
又∵QG平分∠EGH，
∴∠QGH＝∠QGE＝20°，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝70°﹣20°＝50°；
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ
（∠AEG﹣∠EGH）
∠EHG，
即αβ．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
8．（2024春 鄞州区期末）阅读下列材料：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC．
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC．
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（1）如图2，已知AB∥ED，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．
深化拓展：（2）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝50°，求∠BED的度数．
③如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．
【分析】（1）过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（2）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
【解答】（1）证明：如图2，过C作CF∥AB
，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（2）解：①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线．
9．（2024春 海曙区期末）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF．
【探索发现】：
（1）如图1，当∠F＝60°时，求证：∠AEF+∠FGC＝60°；
【深入探究】：
（2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，∠NKQ＝∠AEF，“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
【分析】（1）过F作HI∥AB，可得HI∥CD，再根据两直线平行内错角相等，可推出∠AEF+∠FGC＝∠EFI+∠GFI＝∠EFG，从而得出结果；
（2）∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，利用平行线的性质即可求证；
（3）过点M作RS∥AB，设∠AEF＝∠NKQ＝α，利用平行线的性质即可求证．
【解答】（1）证明：如图所示，过F作HI∥AB，
∵AB∥CD，
∴HI∥CD，
∴∠AEF＝∠EFI，∠FGC＝∠GFI，
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFI+∠GFI＝∠EFG，
∵∠EFG＝60°，
∴∠AEF+∠FGC＝60°；
（2）解：∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，理由如下：
设∠FKM＝∠NKQ＝α，
∴∠FKN＝180°﹣∠NKQ＝180°﹣α，
∵MN∥FG，
∴∠FKM＝∠GFQ＝α，
又∵∠PFQ＝∠EFG＝90°，
∴∠EFK＝∠EFG﹣∠GFQ＝90°﹣α，
∴∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣α，
∴∠FKN＝∠PFE；
（3）解：∠CPF＝2∠EFK；理由如下：
∵∠NKQ＝∠AEF，
∴设∠AEF＝∠NKQ＝α，
过点M作RS∥AB，
∵AB∥CD，
∴RS∥CD，
∴∠EFS＝∠AEF＝α，
∴∠SFP＝∠PFE﹣∠EFS＝180°﹣2α，
∴∠CPF＝∠SFP＝180°﹣2α，
又∵∠EFK＝90°﹣α，
∴∠CPF＝2∠EFK．
【点评】本题考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键．
10．（2024春 东阳市期末）如图1，一块三角板如图放置，∠G＝90°，AB∥CD，直线CD分别交AG，BG于点N，E，∠BAG的角平分线AK交CD于点K，交BG于点M，F是线段AB上的一点（不与A，B重合），连接EF交AK于点H．
（1）判断∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系，并说明理由；
（2）若∠BEF∠BAK，∠BEC＝n∠BEF．
①用含n的代数式表示∠AHE的度数；
②当n＝2时，将△KHE绕着点E以每秒6°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，求出此时t的值．
【分析】（1）作HP∥AB，根据AB∥CD，得出HP∥CD，根据平行线的性质得出∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP，即可求解；
（2）①设∠BEF＝x，则∠BAK＝nx，∠BEC＝nx，根据AB∥CD，得出∠ABE＝∠BEC＝nx，结合AK平分∠BAG，AG⊥BE，即可得出3nx＝90°，解得，由（1）得∠AHE＝∠KEH+∠FAH即可求解；
②当n＝2时，∠BEF＝15°，∠KEH＝45°，∠HKE＝30°，分为（i）当KH∥NG时，（ii）当HK∥EG时，（iii）当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，（iv）当KE∥NG时，（v）当HE∥NG时，分别画图求解．
【解答】解：（1）∠AHE＝∠FAH+∠KEH．
理由如下：
作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∴∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP，
∴∠AHE＝∠AHP+∠PHE＝∠KEH+∠FAH．
（2）①设∠BEF＝x，则∠BAK＝nx，∠BEC＝nx，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC＝nx，
∵AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠GAK＝nx，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3nx＝90°，
∴，
由（1）得；
②当n＝2时，∠BEF＝15°，∠KEH＝45°，∠HKE＝30°，
（i）当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，
∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
∴；
（ii）当HK∥EG时，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，
∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠NEK＝60°，
∴∠CEK＝120°，
∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，
∴；
（iii）当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
∴，
（iv）当KE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．
∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．
∴；
（v）当HE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．
∴，
当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为5秒或20秒或25秒或10秒或秒．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
11．（2024春 江干区校级期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
【分析】【探索发现】小刚的方法：先证AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质得∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，据此即可得出结论；小红的方法：先由AB∥CD得∠BAP＝∠PMC，再根据三角形的外角定理得∠APC＝∠PMC+∠PCD，据此即可得出结论；
【深入思考】先根据三角形的外角定理得∠AGE＝∠APE+∠PEG，再根据∠AGE＝∠PAC+∠PEG得∠APE＝∠PAC，然后根据平行线的判定可得出结论；
【拓展延伸】设∠PEG＝α，则∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α，进而可得∠AGE＝130°﹣3α，根据在（2）的条件下∠PAC+∠PEG＝∠AGE，得50°+α＝130°﹣3α，由此解出α＝20°，设∠PFH＝β，则∠PFC＝2∠PFH＝2β，再根据AB∥CD得∠AEF＝∠PFC＝2β，进而得∠AEG＝∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°，然后根据在（2）的条件下得AC∥EF，则∠AHF＝∠CAH+∠PFH，由此得2β﹣20°＝25°+β，据此求出β即可得∠PFC的度数．
【解答】【探索发现】解：小刚的证明如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠BAP+∠PCD，
即∠APC＝∠BAP+∠PCD；
小红的证明如下：
延长AP交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠PMC，
∵∠APC是△PCM的一个外角，
∴∠APC＝∠PMC+∠PCD，
即∠APC＝∠BAP+∠PCD；
【深入思考】证明：∵∠AGE是△PGE的一个外角，
∴∠AGE＝∠APE+∠PEG，
∵∠AGE＝∠PAC+∠PEG，
∴∠APE＝∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°，
∴∠PAC＝2∠CAH＝50°，
设∠PEG＝α，
∴∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α，
∴∠AGE＝180°﹣∠PGE＝130°﹣3α，
∵在（2）的条件下，
∴∠PAC+∠PEG＝∠AGE，
∴50°+α＝130°﹣3α，
解得：α＝20°，
∴∠PEG＝20°，
设∠PFH＝β，
∵FH平分∠PFC，
∴∠PFC＝2∠PFH＝2β，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠PFC＝2β，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠PEG＝2β﹣20°，
∴∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°，
∵在（2）的条件下，
∴AC∥EF，
∴∠AHF＝∠CAH+∠PFH，
即2β﹣20°＝25°+β，
解得：β＝45°，
∴∠PFC＝2β＝90°
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
12．（2024春 金华期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
（1）如图2，已知有两个平面镜镜面MO与镜面ON，入射光线AB能够经镜面ON，OM形成反射，记反射光线分别为BC，CD．
①当∠ABN＝50°，AB∥CD时，求∠MCD的度数．
②记∠ABN＝α，∠DCM＝β，当AB∥CD时，求α，β之间的等量关系．
（2）如图3，已知有三个平面镜AB，BC，CD，其中镜面CD放在水平地面上固定，调整镜面AB与镜面BC的摆放角度，使得入射光线EF能够经镜面AB，BC，CD形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI．
①当∠AFE＝40°，∠ABC＝110°，FE∥HI时，求∠BCD的度数．
②记∠AFE＝m，∠BCD＝n，当m，n存在怎样的等量关系时，有FE∥HI成立．请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由．
【分析】（1）①依题意得∠1＝∠ABN＝50，则∠ABC＝80°，由AB∥CD得∠DCB＝100°，根据∠2＝∠MCD，∠2+∠MCD+∠DCB＝180°可得∠MCD的度数；
②依题意得∠1＝∠ABN＝α，∠2＝∠DCM＝β，则∠CABC＝180°﹣2α，∠BCD＝180°﹣2β，根据AB∥CD得∠ABC+∠BCD＝180°，由此可得α，β之间的等量关系；
（2）①过点G作GP∥EF，依题意得∠1＝∠AEF＝40°，则∠5＝100°，根据∠ABC＝110°得∠2＝∠3＝30°，则∠FGH＝120°，再根据GP∥EF得∠FGP＝80°，则∠PGH＝40°，证明GP∥HI得∠6＝140°，然后根据∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，得∠4＝20°，由此可得∠BCD的度数；
②依题意得∠1＝∠AEF＝m，则∠5＝180°﹣2m，根据∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°得∠4＝90°∠6，根据∠2＝∠3，∠2+∠3+∠FGH＝180°得∠3＝90°∠FGH，则∠BCD（∠6+∠FGH），则∠FGH＝2∠BCD﹣∠6＝2n﹣∠6，证明FE∥GP∥HI得∠EGP+∠5＝180°，∠6+∠PGH＝180°，即∠FGP+∠5+∠6+∠PGH＝360°，进而得2n﹣∠6+180°﹣2m+∠6＝360°，据此可得m，n之间的等量关系．
【解答】解：（1）①如图2所示：
∵∠ABN＝50°，
∴∠1＝∠ABN＝50，
∴∠ABC＝180°﹣（∠1+∠ABN）＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵∠2＝∠MCD，∠2+∠MCD+∠DCB＝180°，
∴∠MCD（180°﹣∠DCB）（180°﹣100°）＝40°；
②α，β之间的等量关系是：α+β＝90°，理由如下：
依题意得：∠1＝∠ABN＝α，∠2＝∠DCM＝β，
∴∠CABC＝180°﹣（∠1+∠ABN）＝180°﹣2α，∠BCD＝180°﹣（∠2+∠DCM）＝180°﹣2β，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
即180°﹣2α+180°﹣2β＝180°，
∴α+β＝90°；
（2）①过点G作GP∥EF，如图3①所示：
∵∠1＝∠AEF＝40°，
∴∠5＝180°﹣（∠1+∠AEF）＝100°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣（∠1+∠ABC）＝180°﹣（40°+110°）＝30°，
∴∠FGH＝180°﹣（∠2+∠3）＝120°，
∵GP∥EF，
∴∠FGP＝180°﹣∠5＝180°﹣100°＝80°，
∴∠PGH＝∠EGH﹣∠EGP＝120°﹣80°＝40°，
∵FE∥HI，GP∥EF，
∴GP∥HI，
∴∠6＝180°﹣∠PGH＝180°﹣40°＝140°，
∵∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，
∴∠4（180°﹣∠6）（180°﹣140°）＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
②m，n之间的等量关系是：n﹣m＝90°，理由如下：
如图3所示：∠1＝∠AEF＝m，
∴∠5＝180﹣（∠1+∠AEF）＝180°﹣2m，
∵∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，
∴∠4（180°﹣∠6）＝90°∠6，
∵∠2＝∠3，∠2+∠3+∠FGH＝180°，
∴∠3（180°﹣∠FGH）＝90°∠FGH，
∵∠BCD+∠3+∠4＝180°
∴n+90°∠6+90°∠FGH＝180°，
∴∠FGH＝2n﹣∠6
∵GP∥EF，FE∥HI，
∴FE∥GP∥HI，
∴∠EGP+∠5＝180°，∠6+∠PGH＝180°，
∴∠FGP+∠5+∠6+∠PGH＝360°，
∵∠FGP+∠PGH＝∠FGH，
即∠FGH+∠5+∠6＝360°，
∴2n﹣∠6+180°﹣2m+∠6＝360°，
∴n﹣m＝90°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【期末题型总复习】专题02 平行线综合压轴题
1．（2024春 海曙区期末）如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b．
（1）若∠AED＝40°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠AED＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点M，连结ME，MQ，请直接写出∠MEQ、∠EMQ、∠MQF之间的数量关系（用含m的式子表示）．
2．（2024春 鄞州区期末）如图，直线PQ∥MN，一副三角板（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠A＝45°，∠DEC＝60°，∠DCE＝30°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将△ABC绕点B以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在△ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以每秒2°的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边FG与△CDE的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值．
3．（2024春 西湖区期末）已知直线AB∥CD，点F在CD上，射线FE与AB交于点E．点P在射线FE上（不与点E，F重合），点Q在射线EA上（不与点E重合），连接PQ．
（1）如图1，若点P在线段EF上，∠AQP＝115°，∠PFD＝75°，求∠QPF的度数．
（2）如图2，点P在线段EF上，QM平分∠AQP，且与∠CFP的角平分线交于点M，若MQ∥PF，MF∥PQ，求∠AEF的度数．
（3）当60°＜∠FEA＜90°时，PG⊥PQ交直线CD于点G，EN∥PG交直线CD于点N，若∠PQE∠PEQ＝α，请直接写出∠NEP的度数．（用含α的代数式表示）
4．（2024春 越城区期末）如图1，点A，B分别在直线GH，MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．
（1）求证：GH∥MN．（温馨提示：可延长AC交MN于点P进行探索）
（2）如图2，已知AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，探索∠GAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如图3，已知BF平分∠DBM，点K在射线BF上，，若∠AKB＝∠ACD．请直接写出∠GAC的度数．
5．（2023春 南浔区期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．AB，AC分别交DG于M，N点．
（1）求∠1和∠2的度数；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°，如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时：
①请用含n的代数式表示∠2的度数；
②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，说明理由．
6．（2024春 平湖市期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ∥CN，A，B为PQ上两点，AD平分∠CAB交CN于点D，E为AD上一点，连接BE，AF平分∠BAD交BE于点F．
（1）若∠EAP＝100°，则∠C＝　 　 ；
（2）若点G为线段CD上一点，且满足∠ADC＝2∠GAD，当∠BED+∠GAF＝180°时，试说明：AC∥BE；
（3）在（1）问的条件下，探照灯A，D射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯A射出的光线lA从AC处开始以每秒4°的速度绕点A逆时针转动，探照灯D射出的光线lD从DN处开始以每秒12°的速度绕点D逆时针转动，当lD转至射线DC后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当lD回到出发时的位置DN时同时停止转动．设转动时间为t秒，则在转动过程中，当lA⊥lD时，请直接写出此时t的值．
7．（2024春 萧山区校级期末）如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β．
①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数．
②点H在运动过程中，请直接写出α和β的数量关系．
8．（2024春 鄞州区期末）阅读下列材料：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC．
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC．
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（1）如图2，已知AB∥ED，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．
深化拓展：（2）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝50°，求∠BED的度数．
③如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．
9．（2024春 海曙区期末）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF．
【探索发现】：
（1）如图1，当∠F＝60°时，求证：∠AEF+∠FGC＝60°；
【深入探究】：
（2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，∠NKQ＝∠AEF，“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
10．（2024春 东阳市期末）如图1，一块三角板如图放置，∠G＝90°，AB∥CD，直线CD分别交AG，BG于点N，E，∠BAG的角平分线AK交CD于点K，交BG于点M，F是线段AB上的一点（不与A，B重合），连接EF交AK于点H．
（1）判断∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系，并说明理由；
（2）若∠BEF∠BAK，∠BEC＝n∠BEF．
①用含n的代数式表示∠AHE的度数；
②当n＝2时，将△KHE绕着点E以每秒6°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，求出此时t的值．
11．（2024春 江干区校级期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
12．（2024春 金华期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
（1）如图2，已知有两个平面镜镜面MO与镜面ON，入射光线AB能够经镜面ON，OM形成反射，记反射光线分别为BC，CD．
①当∠ABN＝50°，AB∥CD时，求∠MCD的度数．
②记∠ABN＝α，∠DCM＝β，当AB∥CD时，求α，β之间的等量关系．
（2）如图3，已知有三个平面镜AB，BC，CD，其中镜面CD放在水平地面上固定，调整镜面AB与镜面BC的摆放角度，使得入射光线EF能够经镜面AB，BC，CD形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI．
①当∠AFE＝40°，∠ABC＝110°，FE∥HI时，求∠BCD的度数．
②记∠AFE＝m，∠BCD＝n，当m，n存在怎样的等量关系时，有FE∥HI成立．请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由．

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