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【期末题型总复习】专题01 平行线的性质与判定
对“三线八角”的基本定义的考察
1．（2024春 东阳市期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列各角中∠2的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．（2024春 江山市期末）如图，AB，CD被DE所截，则∠D的同旁内角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
3．（2024春 海曙区期末）如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024春 莲都区期末）如图，∠1和∠5是一对（　　）
A．内错角 B．同旁内角 C．同位角 D．对顶角
5．（2024春 鹿城区校级期末）下列四幅图中，∠1和∠2是同旁内角的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024春 鹿城区校级期末）如图，属于同位角的是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠2和∠3
平移与面积
1．（2024春 镇海区校级期末）如图是镇海学伴小组的logo，下列图案能用原图平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 新昌县期末）下列物体的运动属于平移的是（　　）
A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千
C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶
3．（2024春 东阳市期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．20 C．10 D．30
4．（2024春 莲都区期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，已知点A，D之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024春 义乌市期末）如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若△ABC固定不动，将另一个三角形向左平移3cm并记为△DEF，其中∠B＝∠DEF＝90°，DE与AC相交于点H．若AB＝5cm，BC＝9cm，DH＝2cm，则△CEH的面积为 　 　 cm2．
6．（2024春 江山市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将三角形ABC沿AB方向平移2cm得到三角形DEF．
（1）求∠E的度数．
（2）若AE＝8cm，求出DB的长．
平行线的性质
1．（2024春 江北区期末）已知直线a∥b，将一块含60°角的直角三角板按如图方式放置，其中60°角的顶点在直线a上，30°角的顶点在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2024春 金华期末）如图，已知AD∥BC，AC平分∠BAD，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．（2024春 江干区校级期末）如图．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ACB＝30°）其中点A，B分别落在直线a、b上．若∠1＝44°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．46° C．47° D．22°
4．（2024春 东阳市期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝44°，则∠β的度数是（　　）
A．43° B．44° C．45° D．46°
5．（2024春 鄞州区校级期末）已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，P是直线AB上一动点，过P作直线EF的垂线交CD于点Q，连结EQ．若∠APQ＝∠EQP，∠APQ：∠EFQ＝5：4，则∠AEQ＝（　　）
A．90° B．100° C．108° D．110°
6．（2024春 瓯海区校级期末）如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝　 　 度．
7．（2024春 慈溪市期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　 ．
8．（2024春 江北区期末）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
平行线的中等简答题
1．（2024春 江干区校级期末）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．
求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°（ 　 　 ），
∴　 　 （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（ 　 　 ）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DCE（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（ 　 　 ）．
2．（2024春 鹿城区校级期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝4∠ABC，求∠1的度数．
3．（2024春 瓯海区校级期末）如图，AE∥DF，30°的三角板的直角顶点为A，∠C＝30°，BC平分∠ABD．
（1）若∠CAE＝20°，求∠BDF的度数；
（2）若∠BDF＝5∠CAE，求∠CAE的度数．
4．（2024春 金华期末）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明AE∥BC．
5．（2024春 慈溪市期末）如图，F，E分别是射线AB，CD上的点，连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠1＝∠2．
（1）判定AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AFE﹣∠1＝30°，求∠1的度数．
平行线与折叠、反射
1．（2024春 义乌市期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．若∠GFH＝30°，∠CEF＝125°，则∠BFH的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
2．（2024春 江山市期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ 　 　 °．
3．（2024春 鹿城区校级期末）如图1，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为5：4．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． B．
C．γ D．α+β＝180°﹣γ
4．（2024春 嘉兴期末）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠BCE＝3∠DCE，则∠ABE的度数为 　 　 ．
5．（2024春 江干区校级期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝　 　 度．
6．（2024春 金华期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　 　 ．
7．（2024春 江北区期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于　 　 ．
8．（2024春 鄞州区校级期末）有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光线EF经AB、BC、CD反射后，反射光线与入射光线EF平行，若∠AEF＝α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD＝　 　 .（结果用含α的代数式表示）
平行线判定与性质的综合
1．（2024春 新昌县期末）小明利用三角尺和直角尺画直线l1的平行线l2，如图所示，由此可得到的基本事实是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等．两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
2．（2024春 瓯海区校级期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ABD＝180°
3．（2024春 江干区校级期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3
4．（2024春 莲都区期末）如图，三角形ABC的三个顶点A，B，C都在5×5的正方形方格纸的格点上．
（1）作图：过点A，点C分别作BC，AB的平行线交于点D．
（2）若∠BAC+∠BCA＝117°，求∠ADC的度数．
5．（2024春 新昌县期末）如图，一束光线AB射到平面镜a上，经平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b反射得到光线CD，反射过程中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）若AB∥CD，且∠1＝40°，求∠4的度数．
（2）探究∠2与∠3有什么关系时，光线AB与光线CD平行．
6．（2024春 柯桥区期末）已知：如图所示，直线AB、直线DE被直线l所截，分别交直线AB、DE于点A、D．点C为其内部一点，连结AC，CD，且满足∠1+∠2＝∠ACD．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若∠ACD＝90°，且AC平分∠BAD，说明∠1和∠ADC的数量关系．
7．（2024春 鹿城区校级期末）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠N的度数．
平行线与旋转的综合
1．（2024春 嘉兴期末）将一副三角板如图放置，边EF与边BC在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠ABC＝60°，∠E＝45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）．当α＝　 　 时，AB∥DE．
2．（2024春 鹿城区校级期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝129°，则∠COE＝　 　 °．
3．（2024春 嵊州市期末）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，GH∥MN，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移．
①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数．
②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE，记∠BCE为α，∠CEF为β，当点E在BC左侧时，β﹣α的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
1．（2024春 镇海区校级期末）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠ABC＝5∠EBC，则∠1为（　　）
A．108° B．120° C．130° D．140°
2．（2024春 西湖区期末）如图，∠AEF＝∠C，∠AFD+∠EDF＝180°，则下列结论中正确的是（　　）
A．∠BFD＝∠A B．∠AFE＝∠EDC
C．∠A+∠AFD＝180° D．∠FDE＝∠CED
3．（2024春 江干区校级期末）如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB＝36°，一束光线（与水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，且∠CDB＝∠ODE，则∠AED的度数是 　 　 ．
4．（2024春 西湖区期末）如图，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△A′B′C′．若B′C＝4，则BC′的长是 　 　 ．
5．（2024春 长兴县期末）将长方形纸带先沿EF折叠成图1，再沿PQ折叠成图2，此时PB″恰好经过点F，若∠AFE＝∠FQP＝∠A″MF＝α，则α的度数为 　 　 度．
6．（2024春 鄞州区期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，则∠E＝　 　 ．
7．（2024春 鄞州区期末）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．若∠1为50°，则∠2的度数为 　 　 ．
8．（2024春 鹿城区校级期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形A′B′C′，连接A′C，若BC′＝12，B′C＝4，则三角形A′CC′的面积为 　 　 ．
9．（2024春 义乌市期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4．
（1）比较大小：∠1+∠2 　 　 ∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为 　 　 ．
10．（2024春 西湖区期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿直线MN折叠，点C，D的对应点分别为点C′，D′，折叠后C′N与AM交于点E．
（1）若C′N⊥AM，直接写出∠ENM的度数．
（2）如图2，设∠C′NM＝α．
①若α＝70°，求∠AMD′的度数．
②若，求α的值．中小学教育资源及组卷应用平台
【期末题型总复习】专题01 平行线的性质与判定
对“三线八角”的基本定义的考察
1．（2024春 东阳市期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列各角中∠2的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角的定义判断即可．
【解答】解：由图可得∠5与∠2是同位角．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键．
2．（2024春 江山市期末）如图，AB，CD被DE所截，则∠D的同旁内角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1与∠D是同位角，故A不符合题意；
B、∠2与∠D是同旁内角，故B符合题意；
C、∠3与∠D是内错角，故C不符合题意；
D、∠4与∠D不是同旁内角，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．
3．（2024春 海曙区期末）如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用同位角、内错角、同旁内角的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①∠A与∠B是同旁内角，正确；
②∠2与∠1是内错角，正确；
③∠A与∠C是内错角，错误，应为同旁内角；
④∠A与∠1是同位角，正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，正确把握相关定义是解题关键．
4．（2024春 莲都区期末）如图，∠1和∠5是一对（　　）
A．内错角 B．同旁内角 C．同位角 D．对顶角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：如图，∠1和∠5是一对同位角．
故选：C．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角，关键是掌握同位角的定义．
5．（2024春 鹿城区校级期末）下列四幅图中，∠1和∠2是同旁内角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．∠1和∠2是对顶角，不合题意，
B．∠1和∠2是内错角，不合题意，
C．∠1和∠2是同旁内角，符合题意，
D．∠1和∠2不是同旁内角，不合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角，理解对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
6．（2024春 鹿城区校级期末）如图，属于同位角的是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠2和∠3
【分析】根据两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线的同侧和截线的同旁，这样的两个角为同位角进行判断即可．
【解答】解：由同位角的定义可知，∠1和∠4是同位角，
故选：C．
【点评】本题考查同位角的定义，理解同位角的意义是正确判断的前提．
平移与面积
1．（2024春 镇海区校级期末）如图是镇海学伴小组的logo，下列图案能用原图平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、由旋转得到，故此选项不符合题意；
B、可以由原图案通过平移得到，故此选项符合题意；
C、可以由旋转得到，故此选项不符合题意；
D、可以由旋转得到，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
2．（2024春 新昌县期末）下列物体的运动属于平移的是（　　）
A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千
C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶
【分析】根据平移的定义的定义对各选项判断即可．
【解答】解：A．汽车方向盘的转动是旋转，故不符合题意；
B．小红荡秋千是旋转，故不符合题意；
C．电梯上顾客的升降运动是平移，故符合题意；
D．火车在弯曲的铁轨上行驶不是平移，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的定义是解题的关键．
3．（2024春 东阳市期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．20 C．10 D．30
【分析】先根据平移的性质得A C＝D F，A D＝C F＝4，于是可判断四边形ACFD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵直角△ABC沿BC边平移4个单位得到直角△DEF，
∴AC＝DF，AD＝CF＝4，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴S平行四边形ACFD＝CF AB＝4×5＝20，
即阴影部分的面积为20．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
4．（2024春 莲都区期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，已知点A，D之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平移的性质得到BE＝CF＝AD＝1，然后计算EC即可．
【解答】解：∵三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF，AD＝1，
∴BE＝CF＝AD＝1，
∵BF＝4，
∴EC＝BF﹣BE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
5．（2024春 义乌市期末）如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若△ABC固定不动，将另一个三角形向左平移3cm并记为△DEF，其中∠B＝∠DEF＝90°，DE与AC相交于点H．若AB＝5cm，BC＝9cm，DH＝2cm，则△CEH的面积为 　9　 cm2．
【分析】由平移的性质得，BE＝3cm，DE＝AB＝5cm，∠B＝∠DEF＝90°，分别求出CE、EH的长，即可求出△CEH的面积．
【解答】解：由平移的性质得，BE＝3cm，DE＝AB＝5cm，∠B＝∠DEF＝90°，
∵DH＝2cm，
∴EH＝DE﹣DH＝5﹣2＝3cm，
∵BC＝9cm，BE＝3cm，
∴CE＝BC﹣BE＝9﹣3＝6cm，
∴△CEH的面积为9cm2，
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6．（2024春 江山市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将三角形ABC沿AB方向平移2cm得到三角形DEF．
（1）求∠E的度数．
（2）若AE＝8cm，求出DB的长．
【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝55°，然后根据平移的性质确定∠E的值；
（2）根据平移的性质得到AB＝DE，则AD＝BE，然后利用AD+BD+BE＝AE，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝35°
∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，
∴∠E＝∠ABC＝55°；
（2）∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，
∴AB＝DE，
∴AD＝BE＝2cm，
∵AD+BD+BE＝AE＝8cm，
∴DB＝4cm．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
平行线的性质
1．（2024春 江北区期末）已知直线a∥b，将一块含60°角的直角三角板按如图方式放置，其中60°角的顶点在直线a上，30°角的顶点在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先作出辅助线，由两直线平行内错角相等，得出∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，则可得出结果．
【解答】解：如图：
作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
【点评】此题主要是考查了平行线的性质，能够作出辅助线，并熟练运用两直线平行内错角相等是解答此题题的关键．
2．（2024春 金华期末）如图，已知AD∥BC，AC平分∠BAD，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】先利用平行线的性质可得∠BAD＝100°，然后利用角平分线的定义可得∠DAC＝50°，再利用平行线的性质可得∠DAC＝∠C＝50°，即可解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝100°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC∠DAB＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
3．（2024春 江干区校级期末）如图．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ACB＝30°）其中点A，B分别落在直线a、b上．若∠1＝44°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．46° C．47° D．22°
【分析】根据平角定义求出∠3＝46°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠ABC+∠3＝180°，∠ABC＝90°，∠1＝44°，
∴∠3＝46°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝46°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
4．（2024春 东阳市期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝44°，则∠β的度数是（　　）
A．43° B．44° C．45° D．46°
【分析】过E作EM∥AB，则EM∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠β＝90°，再由∠α可求解．
【解答】解：由题意知：AB∥CD，∠FEG＝90°，
过E作EM∥AB，则EM∥CD，
∴∠FEM＝∠α，∠GEM＝∠β，
∵∠FEM+∠GEM＝∠FEG＝90°，
∴∠α+∠β＝90°，
∵∠α＝44°，
∴∠β＝90°﹣44°＝46°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
5．（2024春 鄞州区校级期末）已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，P是直线AB上一动点，过P作直线EF的垂线交CD于点Q，连结EQ．若∠APQ＝∠EQP，∠APQ：∠EFQ＝5：4，则∠AEQ＝（　　）
A．90° B．100° C．108° D．110°
【分析】由平行线的性质推出∠PEF＝∠EFQ，得到∠APQ：∠PEF＝5：4，由PQ⊥EF，求出∠APQ＝90°50°，得到∠EQP＝∠APQ＝50°，由三角形外角的性质得到∠AEQ＝∠APQ+∠EQP＝100°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠PEF＝∠EFQ，
∵∠APQ：∠EFQ＝5：4，
∴∠APQ：∠PEF＝5：4，
∵PQ⊥EF，
∴∠APQ＝90°50°，
∴∠EQP＝∠APQ＝50°，
∴∠AEQ＝∠APQ+∠EQP＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠PEF＝∠EFQ，由三角形外角的性质得到∠AEQ＝∠APQ+∠EQP．
6．（2024春 瓯海区校级期末）如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝　20　 度．
【分析】先利用平行线的性质求出∠EDC，再利用平角的定义求出∠BDC，最后根据三角形内角和定理求出∠DCB即可．
【解答】解：∵EF∥CD，∠AEF＝50°，
∴∠EDC＝∠AEF＝50°，
∵∠BDC+∠EDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B＝30°，
∴∠DCB＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣130°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2024春 慈溪市期末）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　28°　 ．
【分析】延长CD到H．由EF∥CH，可知∠F＝∠HDF，想办法求出∠HDF即可解决问题．
【解答】解：延长CD到H．
∵AB∥CH，
∴∠A+∠ADH＝180°，
∵∠A+∠ADF＝208°，
∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°，
∵EF∥CH，
∴∠F＝∠HDF＝28°．
故答案为28°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
8．（2024春 江北区期末）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠MCB＝∠O＝50°，由邻补角的性质得到∠ACM＝180°﹣50°＝130°，由角平分线定义得到∠DCM＝65°，于是得到∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝115°．
（2）由垂直的定义得到∠ACE+∠DCA＝90°，由平角定义得到∠ECO+∠DCM＝90°，由余角的性质推出∠ACE＝∠ECO，即可证明CE平分∠OCA．
【解答】解：（1）∵AB∥ON，
∴∠MCB＝∠O＝50°，
∠ACM+∠MCB＝180°，
∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°，
∵CD平分∠ACM，
∴∠DCM＝65°，
∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°；
（2）证明：∵CE⊥CD，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∵∠MCO＝180°，
∴∠ECO+∠DCM＝90°，
∵∠DCA＝∠DCM，
∴∠ACE＝∠ECO，
∴CE平分∠OCA．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠MCB＝∠O，由余角的性质推出∠ACE＝∠ECO．
平行线的中等简答题
1．（2024春 江干区校级期末）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．
求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°（ 　已知　 ），
∴　AB∥CD　 （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（ 　两直线平行，同位角相等　 ）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DCE（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠D＝∠DCE（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；AB∥CD；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
2．（2024春 鹿城区校级期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝4∠ABC，求∠1的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠FGC，再结合已知可得∠2＝∠FGC，然后利用平行线的判定，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠FHB＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABC＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC，
∵∠D＝4∠ABC，
∴∠ABC＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2024春 瓯海区校级期末）如图，AE∥DF，30°的三角板的直角顶点为A，∠C＝30°，BC平分∠ABD．
（1）若∠CAE＝20°，求∠BDF的度数；
（2）若∠BDF＝5∠CAE，求∠CAE的度数．
【分析】（1）根据平角得出∠BAG，进而利用平行线的性质解答即可；
（2）根据（1）中的结论得出方程解答即可．
【解答】解：（1）过B作BH∥DF，
∵DF∥AE，
∴∠BDF+∠DBH＝180°，∠HBA＝∠BAG，
∵∠CAE＝20°，∠BAC＝90°，
∴∠BAG＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∴∠HDA＝70°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝70°﹣60°＝10°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝120°，
∴∠DBH＝120°﹣70°＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°＝130°；
（2）设∠CAE＝x，则∠BAG＝90°﹣x，∠BDF＝5x，
由（1）可知，∠ABD＝120°，∠HBA＝∠BAG＝90°﹣x，
∴∠DBH＝120°﹣（90°﹣x）＝30°+x，
∴∠BDF＝180°﹣（30°+x）＝150°﹣x＝5x，
解得：x＝25°，
∴∠CAE＝25°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．
4．（2024春 金华期末）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明AE∥BC．
【分析】先证明DC∥AB，根据两直线平行，同位角相等，得到∠EDC＝∠A，推算出∠EDC＝∠C，根据内错角相等，两直线平行可以证得AE∥BC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DC∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠A＝∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴AE∥BC．
【点评】本题考查平行直线的判断和性质，关键是平行线判定定理的应用．
5．（2024春 慈溪市期末）如图，F，E分别是射线AB，CD上的点，连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠1＝∠2．
（1）判定AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AFE﹣∠1＝30°，求∠1的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1＝∠BAE，从而利用等量代换可得∠2＝∠BAE，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；
（2）根据已知可得∠AFE＝∠1+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE＝∠FED＝∠1+30°，从而利用角平分线的定义可得∠AED＝2∠FED＝2∠1+60°，再利用平角定义可得∠2+∠AED＝180°，最后进行计算可求出∠1＝40°．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）∵∠AFE﹣∠1＝30°，
∴∠AFE＝∠1+30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED＝∠1+30°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AED＝2∠FED＝2∠1+60°，
∵∠2+∠AED＝180°，
∴∠2+2∠1+60°＝180°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
平行线与折叠、反射
1．（2024春 义乌市期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．若∠GFH＝30°，∠CEF＝125°，则∠BFH的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】先利用平角定义可得∠DEF＝55°，然后利用平行线的性质可得∠GFB＝∠DEF＝55°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠CEF＝125°，
∴∠DEF＝180°﹣∠CEF＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠DEF＝55°，
∵∠GFH＝30°，
∴∠BFH＝∠GFB﹣∠GFH＝55°﹣30°＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2024春 江山市期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ 　31　 °．
【分析】根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，进而利用平角的定义解答即可．
【解答】解：由折叠可知，∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，
∵CB∥AE，
∴∠CBA＝∠BAE，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，
设∠DBE＝3x，∠CAB＝2x，
∴∠CBA＝2x，
∴3x+3x+2x+56°＝180°，
解得：x＝15.5，
∴∠ABC＝31°，
故答案为：31．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2解答．
3．（2024春 鹿城区校级期末）如图1，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为5：4．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． B．
C．γ D．α+β＝180°﹣γ
【分析】过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，依据平行线的性质以及光的折射原理，即可得到α，β，γ三者之间的数量关系．
【解答】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，
∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG，
由题可得，∠DBC∠ABP（90°﹣α），∠DFG∠HFQ（90°﹣β），
∴∠BDF（90°﹣α）（90°﹣β）（180°﹣α﹣β），
即γ＝144°（α+β），
即（α+β）＝144°﹣γ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2024春 嘉兴期末）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠BCE＝3∠DCE，则∠ABE的度数为 　72°　 ．
【分析】根据折叠的性质可得：∠ABE∠EBF，∠DCE＝∠1，从而可得∠BCE＝3∠1，然后根据平角定义可得∠DCE+∠1+∠BCE＝180°，从而可得∠1＝36°，最后利用平行线的性质可得∠1＝∠EBC＝36°，从而利用平角定义可得∠EBF＝144°，进而可得∠ABE＝72°，即可解答．
【解答】解：如图：
由折叠得：∠ABE∠EBF，∠DCE＝∠1，
∵∠BCE＝3∠DCE，
∴∠BCE＝3∠1，
∵∠DCE+∠1+∠BCE＝180°，
∴5∠1＝180°，
解得：∠1＝36°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝36°，
∴∠EBF＝180°﹣∠EBC＝144°，
∴∠ABE∠EBF＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5．（2024春 江干区校级期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝　70　 度．
【分析】先根据已知条件求出∠ACB的底数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出∠EFD，最后利用三角形内角和求出∠1即可．
【解答】解：由折叠可知：∠AED＝∠A′ED，
∵∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90，
∵EA'∥BC，
∴∠AEA′＝∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠A′ED＝45°，
∵EA'∥BC，∠B＝65°，
∴∠EFD＝∠B＝65°，
∵∠1+∠EFD+∠A′ED＝180°，
∴∠1＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，由折叠得到哪些角相等．
6．（2024春 金华期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　130°　 ．
【分析】延长DC到点E，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠ABC＝25°，再根据折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，进而得到答案．
【解答】解：延长DC到点E，如图：
∵AB∥CD，
∴∠BCE＝∠ABC＝25°，
由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及折叠问题，解决问题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
7．（2024春 江北区期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于　75°　 ．
【分析】由图形可得AD∥BC，可得∠CBF＝30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DEF＝30°，
∵AB为折痕，
∴2∠α+∠CBF＝180°，
即2∠α+30°＝180°，
解得∠α＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了平行线的性质，图形的翻折问题；找着相等的角，利用平角列出方程是解答翻折问题的关键．
8．（2024春 鄞州区校级期末）有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光线EF经AB、BC、CD反射后，反射光线与入射光线EF平行，若∠AEF＝α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD＝　90°+α　 .（结果用含α的代数式表示）
【分析】先根据入射角等于反射角画出反射光线，再根据平行线的性质和三角形内角和得出结论．
【解答】解：根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，使得GP∥EF∥HK，
∵入射角等于反射角，
∴∠BEG＝∠AEF＝α，
∴∠GEF＝180°﹣2α，
∵∠ABC＝110°，
∴∠BGE＝180°﹣110°﹣α＝70°﹣α，
∵入射角等于反射角，
∴∠HGC＝∠BGE＝70°﹣α，
∴∠EGH＝180°﹣2（70°﹣α）＝40°+2α，
∵GP∥EF∥HK，
∴∠GEF+∠ GP＝180°，∠PGH+∠GHK＝180°，
∵∠EGP+∠PGH＝∠EGH＝40°+2α，
∴∠GEF+∠EGH+∠GHK＝360°，
∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α）﹣（40°+2α）＝140°，
根据入射角等于反射角，可知：∠GHC＝∠KHD（180°﹣140°）＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CGH﹣∠GHC＝90°+α，
故答案为：90°+α．
【点评】本题考查了平行线的性质，入射角和反射角以及三角形的内角和等知识，解题的关键在于正确画出辅助线．
平行线判定与性质的综合
1．（2024春 新昌县期末）小明利用三角尺和直角尺画直线l1的平行线l2，如图所示，由此可得到的基本事实是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等．两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【分析】根据平行线的判定可得答案．
【解答】解：由图可知，∠1＝∠2，∠1与∠2为同位角，
∴l1∥l2，
∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【点评】本题考查作图—复杂作图、同位角、内错角、同旁内角、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
2．（2024春 瓯海区校级期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ABD＝180°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴AC∥BD，
故A不符合题意；
∵∠1＝∠4，
不能判断AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠D＝∠DCE，
∴AC∥BD，
故C不符合题意；
∵∠D+∠ABD＝180°，
∴AB∥CD，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
3．（2024春 江干区校级期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为“同旁内角互补，两直线平行”，
所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠2＝∠3，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
4．（2024春 莲都区期末）如图，三角形ABC的三个顶点A，B，C都在5×5的正方形方格纸的格点上．
（1）作图：过点A，点C分别作BC，AB的平行线交于点D．
（2）若∠BAC+∠BCA＝117°，求∠ADC的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质画图即可．
（2）由平行线的性质可得∠ACD＝∠BAC，∠ADC+∠BCD＝180°，则∠ACD+∠BCA＝∠BCD＝117°，∠ADC＝180°﹣∠BCD＝63°．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）由（1）知，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ACD＝∠BAC，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠BAC+∠BCA＝117°，
∴∠ACD+∠BCA＝∠BCD＝117°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝63°．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
5．（2024春 新昌县期末）如图，一束光线AB射到平面镜a上，经平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b反射得到光线CD，反射过程中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）若AB∥CD，且∠1＝40°，求∠4的度数．
（2）探究∠2与∠3有什么关系时，光线AB与光线CD平行．
【分析】（1）根据已知可得：∠2＝∠1＝40°，然后利用平角定义可得∠ABC＝100°，再利用平行线的性质∠BCD＝80°，最后利用平角定义可得∠3+∠4＝100°，从而进行计算即可解答；
（2）根据已知易得：∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，再利用平角定义可得：∠ABC+∠BCD＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD，即可解答．
【解答】解（1）∵∠1＝∠2，∠1＝40°，
∴∠2＝∠1＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1＝∠2＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，
∴∠3+∠4＝180°﹣∠BCD＝100°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4＝50°；
（2）当∠2+∠3＝90°时，光线AB与光线CD平行，
理由如下：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝2×180°﹣（∠2+∠1+∠3+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
6．（2024春 柯桥区期末）已知：如图所示，直线AB、直线DE被直线l所截，分别交直线AB、DE于点A、D．点C为其内部一点，连结AC，CD，且满足∠1+∠2＝∠ACD．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若∠ACD＝90°，且AC平分∠BAD，说明∠1和∠ADC的数量关系．
【分析】（1）根据三角形内角和定理结合等量代换求出∠BAD+∠ADC＝180°，即可判定AB∥DE；
（2）根据角平分线定义求出∠1＝∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠CAD+∠ADC＝90°，等量代换即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠1+∠2＝∠ACD，
∴∠CAD+∠ADC+∠1+∠2＝180°，
即∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥DE；
（2）解：∠1+∠ADC＝90°，理由如下：
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠CAD，
∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠ADC＝90°．
【点评】此题考查了平行线的判定、三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理、三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2024春 鹿城区校级期末）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠N的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得∠1＝∠AEF，再由内错角相等得出EF∥GH；
（2）过点N作NK∥CD，设∠BEN＝x，∠DFN＝y，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AEF，
∴EF∥GH；
（2）解：如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE＝∠BEN，∠DFN＝∠KNF，
设∠BEN＝x，∠DFN＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠FEN＝∠BEN＝x，∠KNF＝∠MFN＝∠DFN＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣（∠BEN+∠FEN）＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，EF∥GH，
∴EF⊥FM，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠KNF＝x﹣y＝45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
平行线与旋转的综合
1．（2024春 嘉兴期末）将一副三角板如图放置，边EF与边BC在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠ABC＝60°，∠E＝45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）．当α＝　15　 时，AB∥DE．
【分析】由平行线的性质可得∠DEF＝∠ABF＝45°，即可求α的值．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠DEF＝∠ABF＝45°，
∴α＝60﹣45＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2024春 鹿城区校级期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝129°，则∠COE＝　12　 °．
【分析】延长CB′交OE于点H，利用平行线的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：延长CB′交OE于点H，如图，
∵A'B'∥OE，
∴∠OHC＝∠CB'A'＝129°，
∴∠CHE＝180°﹣∠OHC＝51°，
∵∠CEO＝90°，
∴∠ECH＝90°﹣∠CHE＝39°．
∵CB'平分∠OCE，
∴∠ECO＝2∠ECH＝78°，
∴∠COE＝90°﹣∠ECO＝90°﹣78°＝12°．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握这些定理与性质是解题的关键．
3．（2024春 嵊州市期末）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，GH∥MN，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移．
①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数．
②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE，记∠BCE为α，∠CEF为β，当点E在BC左侧时，β﹣α的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】问题解决：①证明GH∥MN∥EH，∠AEF＝∠AEH+∠FEH＝75°；
②∠ECT＝360°﹣∠ECB﹣∠BCT＝360°﹣α﹣90°＝270°﹣α，在四边形FECT中，∠EFD+∠FTC+∠TCE+∠FEC＝360°，即45°+β+270°﹣α＝360°，即可求解；
思维拓展：当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°﹣180°，列式求解即可．
【解答】解：问题解决：①过点E作EH∥GH，
∵GH∥MN，故GH∥MN∥EH，
∴∠AEH＝∠CAB＝30°，∠HEF＝∠EFD＝45°，
∴∠AEF＝∠AEH+∠FEH＝75°；
②延长AC交MN于点T，
∵GH∥MN，则∠MTA＝∠BAC＝30°，
则∠ECT＝360°﹣∠ECB﹣∠BCT＝360°﹣α﹣90°＝270°﹣α，
在四边形FECT中，∠EFD+∠FTC+∠TCE+∠FEC＝360°，即45°+β+270°﹣α+15°＝360°，
则β﹣α＝25°为定值；
思维拓展：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30；
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
当DF∥BC时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120；
②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠MDE＝∠HAC，
即2t°﹣180°﹣90°＝t+30°，
∴t＝300（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的t的值为30s或120s．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
1．（2024春 镇海区校级期末）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠ABC＝5∠EBC，则∠1为（　　）
A．108° B．120° C．130° D．140°
【分析】两向延长BC到N和M，由折叠的性质得到∠ABM＝∠ABE，∠DCN＝∠DCE，由平角定义求出∠EBC＝20°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠MBE＝160°，∠DCN＝∠EBC＝20°，得到∠DCE＝20°，即可求出∠1＝∠BCD﹣∠DCE＝160°﹣20°＝140°．
【解答】解：两向延长BC到N和M，
由折叠的性质得到：∠ABM＝∠ABE，∠DCN＝∠DCE，
∵∠ABC＝5∠EBC，
∴∠ABM＝∠ABE＝4∠EBC，
∴∠MBE+∠EBC＝180°，
∴9∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝20°，
∴∠MBE＝8∠EBC＝160°，
∵CD∥BE，
∴∠BCD＝∠MBE＝160°，∠DCN＝∠EBC＝20°．
∴∠DCE＝20°，
∴∠1＝∠BCD﹣∠DCE＝160°﹣20°＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到∠ABM＝∠ABE，∠DCN＝∠DCE，由平角定义求出∠EBC的度数，由平行线的性质推出∠BCD＝∠MBE＝160°，∠DCN＝∠EBC＝20°．
2．（2024春 西湖区期末）如图，∠AEF＝∠C，∠AFD+∠EDF＝180°，则下列结论中正确的是（　　）
A．∠BFD＝∠A B．∠AFE＝∠EDC
C．∠A+∠AFD＝180° D．∠FDE＝∠CED
【分析】根据平行线的判定与性质并结合图形，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵∠AEF＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∴∠AFE＝∠EDC，
∵AC和DF不一定平行，
∴∠BFD和∠A不一定相等，∠A和∠AFD不一定互补，∠FDE和∠CED不一定相等，
故A、C、D不正确，B正确，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2024春 江干区校级期末）如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB＝36°，一束光线（与水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，且∠CDB＝∠ODE，则∠AED的度数是 　72°　 ．
【分析】由平行线的性质推出∠BDC＝∠AOB＝36°，∠AED+∠CDE＝180°，由平角定义求出∠CDE＝180°﹣36°﹣36°＝108°，即可得到∠AED的度数．
【解答】解：∵CD∥OA，
∴∠BDC＝∠AOB＝36°，∠AED+∠CDE＝180°，
∴∠ODE＝∠CDB＝36°，
∴∠CDE＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠AED＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BDC＝∠AOB＝36°，∠AED+∠CDE＝180°．
4．（2024春 西湖区期末）如图，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△A′B′C′．若B′C＝4，则BC′的长是 　8　 ．
【分析】根据平移的概念得到BB′＝CC′＝2，计算即可．
【解答】解：由平移的性质可知：BB′＝CC′＝2，
∵B′C＝4，
∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝2+4+2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握平移的概念是解题的关键．
5．（2024春 长兴县期末）将长方形纸带先沿EF折叠成图1，再沿PQ折叠成图2，此时PB″恰好经过点F，若∠AFE＝∠FQP＝∠A″MF＝α，则α的度数为 　72　 度．
【分析】由长方形纸带的对边平行得出B'E∥A'F，PB''∥QA''，由折叠的性质得，∠AFE＝∠A'FE＝α，∠B'PQ＝∠B''PQ，再分别求出∠MFQ、∠PFQ的度数，根据平行线的性质即可求出α的度数．
【解答】解：∵长方形纸带的对边平行，
∴B'E∥A'F，PB''∥QA''，
由折叠的性质得，∠AFE＝∠A'FE＝α，∠B'PQ＝∠B''PQ，
∴∠MFQ＝180°﹣∠AFE﹣∠A'FE＝180°﹣2α，
∵B'E∥A'F，
∴∠B'PQ＝∠FQP＝α，
∴∠FQP＝∠B''PQ＝α，
∴∠PFQ＝180°﹣∠FQP﹣∠B''PQ＝180°﹣2α，
∴∠PFM＝∠MFQ+∠PFQ＝360°﹣4α，
∵PB''∥QA''，
∴∠A''FM＝∠PFM，
∴α＝360°﹣4α，
∴α＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
6．（2024春 鄞州区期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，则∠E＝　30°　 ．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠EAB＝∠EFC＝70°，进而利用三角形的外角得出答案．
【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，
∴∠EAB＝∠EFC＝70°，
∴∠E＝100°﹣70°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
7．（2024春 鄞州区期末）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．若∠1为50°，则∠2的度数为 　80°　 ．
【分析】由平行线的性质推出∠EDF＝∠1＝50°，∠2＝∠BDC，由折叠的性质得到∠BDE＝∠EDF＝50°，由平角定义求出∠BDC＝80°，即可得到∠2＝80°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EDF＝∠1＝50°，∠2＝∠BDC，
由折叠的性质得到：∠BDE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠2＝80°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠EDF＝∠1，∠2＝∠BDC，由折叠的性质得到∠BDE＝∠EDF＝50°．
8．（2024春 鹿城区校级期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形A′B′C′，连接A′C，若BC′＝12，B′C＝4，则三角形A′CC′的面积为 　10　 ．
【分析】过点A'作A'D'⊥B'C'，根据平移的性质得：A'D'＝AD＝5，BC＝B'C'，BB'＝CC'，再根据BC'＝12，B'C＝4可求出CC'＝4，然后再利用三角形的面积公式求出△A'CC'的面积即可．
【解答】解：过点A'作A'D'⊥B'C'，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴根据平移的性质得：A'D'＝AD＝5，BC＝B'C'，BB'＝CC'，
∵BC'＝12，
∴BB'+B'C+CC'＝12，
∴2CC'+B'C＝12，
∵B'C＝4，
∴CC'＝4，
∴S△A'CC'CC' A'D'4×5＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
9．（2024春 义乌市期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4．
（1）比较大小：∠1+∠2 　＝　 ∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为 　30°β　 ．
【分析】（1）根据平行线的性质求解；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义求解．
【解答】解：（1）根据“箭头模型”得：∠1+∠2＝∠G＝90°，∠3+∠4＝∠M＝90°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
故答案为：＝；
（2）∵AB∥CD，EH∥MN，
∴∠AFP＝∠FPD＝β，∠MND＝∠EHD＝α，
由“箭头模型”得∠BFM＝90°﹣∠MND＝90°﹣α，
∴∠AFN＝180°﹣30°﹣（90°﹣α），＝60°+α，
∵FP平分∠AFN，
∴∠AFP∠AFN＝30°β，
∴30°β．
【点评】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
10．（2024春 西湖区期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿直线MN折叠，点C，D的对应点分别为点C′，D′，折叠后C′N与AM交于点E．
（1）若C′N⊥AM，直接写出∠ENM的度数．
（2）如图2，设∠C′NM＝α．
①若α＝70°，求∠AMD′的度数．
②若，求α的值．
【分析】（1）根据垂直的定义，平行线的性质，得到∠CNE＝90°，再根据折痕是角平分线，求出∠ENM的度数即可；
（2）①折叠的性质，得到∠C′NM＝∠CNM＝α，∠D′MN＝∠DMN，平行得到∠EMN＝∠CNM，∠CNM+∠DMN＝180°，再根据角的和差关系进行求解即可；
②由角平分线的定义，平行线的性质，再结合三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）∵长方形纸片ABCD沿直线MN折叠，
∴AD∥CB，∠CNM＝∠ENM，
∵C′N⊥AM，
∴∠MEN＝90°，
∴∠CNE＝180°﹣∠NEM＝90°，
∴∠CNM＝∠ENM＝45°，
∴∠ENM的度数为45°；
（2）①∵折叠，
∴∠C′NM＝∠CNM＝α＝70°，∠D'MN＝∠DMN，
∵BC∥AD，
∴∠CNM＝∠AMN＝70°，∠D'MN＝∠DMN＝180°﹣∠CNM＝110°，
∴∠AMD'＝∠D'MN﹣∠AMN＝40°，
∴∠AMD′的度数为40°；
②由①知：∠CNM＝∠CN′M＝∠AMN＝α，
∵∠NEMα，且∠NEM+∠CN′M+∠AMN＝180°，
∴α+αα＝180°，
∴α＝72°，
∴α的值为72°．
【点评】本题考查翻折变化（折叠问题），利用平行线的性质、矩形的性质，三角形内角和定理，垂线，求角的度数，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．

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