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浙江省温州市实验中学2025年第二学期八年级（下）期中阶段检测（数学试题卷）
1．（2025八下·温州期中）下列新能源车标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·温州期中）下列二次根式中，最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·温州期中）用反证法证明命题“已知，求证：．”的第一步应先假设（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·温州期中）一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·温州期中）某校举办“十佳歌手”比赛，有八位评委为选手打分，其中甲选手的7个分数分别是92，90，89，88，93，90，91，则甲选手成绩的中位数是（　　）
A．89分 B．90分 C．91分 D．92分
6．（2025八下·温州期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（　　）
A．-4 B．-3 C．4 D．5
7．（2025八下·温州期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米
A． B． C． D．
8．（2025八下·温州期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·温州期中）如图，在中，E，F分别是边BC，AD上的点，且，连结AC交EF于点，连结DG，AE，若，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（2025八下·温州期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·温州期中）要使二次根式有意义，则的取值范围为　 　．
12．（2025八下·温州期中）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数为　 　．
13．（2025八下·温州期中）某校举行科技创新选拔赛，甲、乙、丙、丁四个小组在选拔赛中取得成绩的平均数与方差如下表所示。若考虑从中选出成绩好且较稳定的小组去参加市级比赛，则应选的小组是　 　．
甲 乙 丙 丁
平均数 88 92 92 88
方差 0.9 1.5 1 1.8
14．（2025八下·温州期中）在中，若，则的度数为　 　.
15．（2025八下·温州期中）如图，在中，BD垂直平分AC，点在BC，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若，则DE的长为　 　.
16．（2025八下·温州期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为　 　．
17．（2025八下·温州期中）如图，两对角线AC，BD交于点，已知，若，则AB的长为　 　.
18．（2025八下·温州期中）如图1，在平行四边形纸片ABCD中，，对角线，且，作于，将纸片沿DB，DE剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证C，E两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则CT的长度为　 　，AB的长度为　 　．
19．（2025八下·温州期中）
（1）计算；．
（2）解方程：．
20．（2025八下·温州期中）如图，已知直线，点A，B分别在直线和上，点在上且位于点右侧，连结AB，请根据尺规作图的要求完成如下作图。
（1）在图中作点，使，且点在上．
（2）在图中作点，使PD与AB互相平分．
21．（2025八下·温州期中）温州市实验中学第39届艺术节心理剧比赛落下帷幕，联盟1班、联盟2班、联盟3班的成绩如下表（单位：分）：
剧本创作 表演效果 舞美创作 团队过程性评价
联盟1班 88 78 82 84
联盟2班 84 87 83 90
联盟3班 90 89 84 85
（1）计算得联盟1班、联盟2班的平均分分别为83分和86分，请求出联盟3班的平均分，并从高到低进行排序。
（2）学校认为这四个项目的重要程度有所不同，每个联盟在剧本创作、表演效果、舞美创作、团队过程性评价的成绩应按照3：5：5：7的比例计算其成绩，联盟1班的成绩明显最低，请问哪个联盟的成绩最好？
22．（2025八下·温州期中）如图，在Rt中，，点在AB上，作交AC于点，延长ED至点使得，连结BF，CD．
（1）求证：四边形BCDF是平行四边形．
（2）若BD平分，求四边形BCDF的面积．
23．（2025八下·温州期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
24．（2025八下·温州期中）如图1，在中，对角线AC与BD交于点，点关于AC的对称点为点，连结．
（1）求证：．
（2）当，且时．
①如图2，若三点共线，求四边形的周长．
②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的新能源车标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的新能源车标是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的新能源车标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的新能源车标不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开方数为5，是质数，无法分解出平方因数，且不含分母，故是最简二次根式，此选项符合题意；
B、 的被开方数含有分母3， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，即此选项二次根式的被开方数含有开得尽方的因数， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、， 即此选项二次根式的被开方数含有开得尽方的因数， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”的第一步应该先假设∠B≥90°.
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2=8x，
移项，得2x2-8x=0，
方程两边同时除以2，得x2-4x=0，
将方程左边分解因式得x(x-4)=0，
∴x=0或x-4=0，
∴x1=0，x2=4.
故答案为：C.
【分析】此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将甲选手的7个分数从低到高排列为： 88，89，90，90，91，92，93；中间位置为第4个数 ，这个数据为90，
所以甲选手成绩的中位数是90分.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=k2-4×1×4＞0，
即k2-16＞0，
解得k＞4或k＜-4，
由于A、B、C三个选项中的数字都不满足k＞4或k＜-4，只有D选项中的数字满足k＞4，故A、B、C三个选项都不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围后，再逐一判断可得答案.
7．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，
又∵CD∥AB，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF；
∵扶梯AD的坡比为1∶1，
∴DE∶AE=1∶1，
∴AE=DE，
在等腰Rt△AED中，AD=4米，
∴米
∴CF=米，
∵滑梯BC的坡比为1∶2，
∴CF∶BF=1∶2，
∴BF=2CF=，
在Rt△BCF中，米
故答案为：B.
【分析】由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DE∥CF，由两组对边分别平行且有一个内角为直角的四边形是矩形得四边形CDEF是矩形，由矩形的对边相等得DE=CF，根据坡比的定义“坡面的垂直高度与水平宽度的比就是坡比”得出AE=DE，BF=2CF，然后根据勾股定理依次算出DE、BC即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
故答案为：C.
【分析】假设两年前的价格为单位“1”，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ABEF与四边形CDFE都是平行四边形，
∴AF=BE，
设CD与EF之间的距离为h1，则S△CDG=CD×h1，S平行四边形CDFE=CD×h1，
∴S平行四边形CDFE=2S△CDG=8；
∵，
∴AF=2DF，
设AD与BC之间的距离为h2，则S平行四边形CDFE=FD×h2=8，
∴S平行四边形ABEF=AF×h2=2DF×h2=16，
∴S△ABE=BE×h2=AF×h2=8.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，AD∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥EF∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABEF与四边形CDFE都是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AF=BE；设CD与EF之间的距离为h1，根据三角形与平行四边形面积计算公式可得S平行四边形CDFE=2S△CDG=8；由已知得AF=2DF，设AD与BC之间的距离为h2，由平行四边形的面积计算公式得S平行四边形ABEF=AF×h2=2DF×h2=16，最后再结合三角形面积计算公式可求出△ABE的面积.
10．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
11．【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x+3≥0，解得x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】由二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”建立出关于字母x的不等式，求解即可.
12．【答案】9
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和的公式，得( n - 2 )×180°=1260°
解得n=9
因此，这个多边形有9条边.
故答案为：9.
【分析】由“n边形的内角和=(n-2)×180°”建立方程，求解即可.
13．【答案】丙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从表格提供的数据看乙组和丙组成绩的平均数都是92分，大于甲组和丁组的成绩的平均数，所以乙组和丙组的成绩较好；从方差看乙组的方差为1.5大于丙组的方差为1，所以丙组的成绩更稳定，综合平均数和方差，丙组成绩最好且最稳定.
故答案为：丙.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数越高说明成绩越好；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断得出答案.
14．【答案】80
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
又∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠C=80°.
故答案为：80.
【分析】由平行四边形的对角相等，对边平行得∠A=∠C，AB∥CD，结合已知可求出∠A=∠C=100°，进而根据二直线平行，同旁内角互补，可求出∠B的度数.
15．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴BC=AB=9，D是AC的中点，
又∵点E是AF的中点，
∴FC=2DE，
又∵BF=DE，
∴BC=FC+BF=2DE+DE=3DE=9，
∴DE=3.
故答案为：3.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=AB=9，D是AC的中点，根据三角形中位线等于第三边的一半可得FC=2DE，结合BF=DE，由线段和差及等量代换可得BC=FC+BF=3DE=9，从而求解即可得出答案.
16．【答案】y1=3，y2=4
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：y-1=2或y-1=3，
解得y1=3，y2=4.
故答案为：y1=3，y2=4.
【分析】把“y-1”看成一个整体，通过观察题干中的两个方程发现第二个方程中的“y-1”相当于第一个方程中的“x”，然后根据第一个方程给出的x的值，可得y-1=2或y-1=3，求解即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AED=∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=，AC=2OA，OB=OD
在Rt△AED中，∵∠AED=90°，∠ADE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∵AE2+DE2=AD2，
∴AE=DE=，
∵AC=2AB，AC=2OA，
∴AB=AO，
又AE⊥BD，
∴BO=DO=2BE=2OE
∵DE=OE+OD，
∴3BE=3，
∴BE=1，
在Rt△ABE中，.
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，则∠AED=∠AEB=90°，由平行四边形的对边相等，对角线互相平分得AD=BC=，AC=2OA，OB=OD，由三角形内角和定理可推出∠ADE=∠DAE=45°，由等角对等边得AE=DE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE=DE=3；易得AB=AO，由等腰三角形的三线合一得BO=DO=2BE=2OE，然后根据线段和差及等量代换得3BE=3，求解得出BE的长，最后在Rt△ABE中，利用勾股定理算出AB的长即可.
18．【答案】1；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC=2，
由图形剪拼可得图2中∠TCA=∠TAC，AM=AD=2，CQ=BC=2，TN=QN，
∴CT=AT，
∵BD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠DBC=90°，即∠ACM=∠Q=90°，
∴∠CAT+∠M=90°，∠ACT+∠TCM=90°，
∴∠TCM=∠M，
∴CT=TM，
∴AT=TM=CT，
∴CT=AM=1；
设AB=CD=x，则图2中CN=x，
∴QN=TN=x-1，
在Rt△CQN中，∵CQ2+QN2=CN2，
∴22+(x-1)2=x2，
解得x=，
即AB=.
故答案为：1，.
【分析】由平行四边形的性质得∠A=∠C，AD=BC=2，由图形剪拼得图2中∠TCA=∠TAC，AM=AD=2，CQ=BC=2，TN=QN，由等角对等边得CT=AT，由垂直的定义、角的构成、直角三角形量锐角互余及等角的余角相等得∠TCM=∠M，由等角对等边得AT=TM=CT，从而即可得出CT的长；设AB=CD=x，则图2中CN=x，则QN=TN=x-1，在Rt△CQN中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AB的长.
19．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：移项，得，
配方，得，
∴
开方，得，
解得．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质将第一个二次根式化简，再计算二次根式的除法，最后合并同类二次根式即可；
（2）首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
20．【答案】（1）解：以点A为圆心，BP长为半径在点A右侧作弧，交l1于点C，连结PC，则PC就是所求的与AB平行得直线；
（2）解：以点A为圆心，BP长为半径在点A左侧作弧，交于点D，连结PD，则AB与PD互相平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，BP长为半径在点A右侧作弧，交l1于点C，连结PC，由于BP=AC，且AC∥BP，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABPC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行得出AB∥PC；
（2）以点A为圆心，BP长为半径在点A左侧作弧，交于点D，连结PD，连接BD、AP，由于BP=AD，且AD∥BP，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形APBD是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分得出AB与PD互相平分.
21．【答案】（1）解：（分），（分）
（分）
；
（2）解：（分）
（分）
，即联盟2班的成续最好.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）一组数据之和，除以这组数的个数即可得到这组数据的平均数，据此计算出联盟3班的平均成绩，进而根据有理数比较大小的方法进行比较即可；
（2）根据加权平均数的计算方法，首先将各项成绩与其权重的积相加得到总和，再将乘积的总和除以权重的总和即可得出加权平均数，据此求出联盟2班与联盟3班的加权平均数，再比大小即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：，
．
又，
．
．
四边形BCDF是平行四边形．
（2）解：平分，
．
．
∵四边形BCDF是平行四边形，
．
，且，
．
在Rt中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠F+∠FBC=180°，结合已知，由等量代换得出∠BCD+∠FBC=180°，由同旁内角互补，两直线平行，得BF∥CD，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠FDB=∠FBD=∠DBC，由等角对等边得FD=FB=8，由平行四边形的对边相等得CD=BF=8，由二直线平行，同旁内角互补得∠DEC=90°，在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长，最后根据平行四边形面积计算公式计算可得答案.
23．【答案】（1）解：能，理由如下：
由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为25+5=30元或25+10=35元；
（2）解：①由题意可得，
化简，得
②日总利润为：
即
此时，此方程没有实数根，
所以厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润达不到1450元.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，
∵点B关于AC的对称点为点B'，
∴OB=OB'，
∴B'O=DO，
∴∠OB'D=∠ODB'；
（2）解：①三点共线，且点与关于AC对称，
．
，
为等腰直角三角形．
．
∵四边形ABCD是平行四边形，且B、A、B'三点再同一直线上，AB=AB'
．
四边形ACDB'是平行四边形．
．
．
②.
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②过点C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，
∵点B与点B'关于AC对称，
∴∠AOB=∠AOB'=∠COD，
∵∠AOB'+∠B'OD+∠COD=2∠AOB'+∠B'OD=180°，∠OB'D+∠B'DO+∠B'OD=2∠OB'D+∠B'OD=180°，
∴∠OB'D=∠AOB'，
∴AC∥B'D，
又∵OB'∥CF，
∴四边形OCFB'是平行四边形，
∴CF=OB'，
∵AC∥B'D，
∴∠CAD=∠ADF=∠CAD，
在△EFD与△ECD中，∠FED=∠CED，ED=ED，∠EDF=∠EDC，
∴△EDF≌△EDC，
∴EF=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，
又∵CE⊥AD，
∴AE=DE=AD=4，
∵OB'∥CF，且OA=OC，
∴AH=HE=AE=2，CE=2OH，
设，则．
在Rt中，，
解，得．
．
.
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，由轴对称性质得OB=OB'，则OB'=OD，然后根据等边对等角可得结论；
（2）①由轴对称性质得AB=AB'，∠BAC=∠B'AC=90°，则△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得；由平行四边形的对边平行且相等可推出AB'∥CD，且AB'=CD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ACDB'是平行四边形，进而根据平行四边形轴上计算方法可算出答案；
②过C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，由轴对称的性质及对顶角相等得∠AOB=∠AOB'=∠COD，由三角形的内角和定理及平角定义推出∠OB'D=∠AOB'，由内错角相等两直线平行得AC∥B'D，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCFB'是平行四边形，由平行四边形的对边相等得CF=OB'，由二直线平行，内错角相等及等量代换得∠CAD=∠ADF=∠CAD，用ASA判断出△EDF≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得EF=EC；由平行四边形性质得AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，有等腰三角形的三线合一得AE=DE=AD=4，由三角形的中位线定理得AH=HE=AE=2，CE=2OH，设OH=x，则CE=EF=2x，OD=OB'=CF=4x，在Rt△OHD中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而得出CE、HB'的长，最后根据三角形面积公式，由列式计算即可.
1 / 1浙江省温州市实验中学2025年第二学期八年级（下）期中阶段检测（数学试题卷）
1．（2025八下·温州期中）下列新能源车标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的新能源车标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的新能源车标是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的新能源车标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的新能源车标不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2025八下·温州期中）下列二次根式中，最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开方数为5，是质数，无法分解出平方因数，且不含分母，故是最简二次根式，此选项符合题意；
B、 的被开方数含有分母3， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，即此选项二次根式的被开方数含有开得尽方的因数， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、， 即此选项二次根式的被开方数含有开得尽方的因数， 不是最简二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．（2025八下·温州期中）用反证法证明命题“已知，求证：．”的第一步应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”的第一步应该先假设∠B≥90°.
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
4．（2025八下·温州期中）一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2=8x，
移项，得2x2-8x=0，
方程两边同时除以2，得x2-4x=0，
将方程左边分解因式得x(x-4)=0，
∴x=0或x-4=0，
∴x1=0，x2=4.
故答案为：C.
【分析】此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
5．（2025八下·温州期中）某校举办“十佳歌手”比赛，有八位评委为选手打分，其中甲选手的7个分数分别是92，90，89，88，93，90，91，则甲选手成绩的中位数是（　　）
A．89分 B．90分 C．91分 D．92分
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将甲选手的7个分数从低到高排列为： 88，89，90，90，91，92，93；中间位置为第4个数 ，这个数据为90，
所以甲选手成绩的中位数是90分.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．（2025八下·温州期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（　　）
A．-4 B．-3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=k2-4×1×4＞0，
即k2-16＞0，
解得k＞4或k＜-4，
由于A、B、C三个选项中的数字都不满足k＞4或k＜-4，只有D选项中的数字满足k＞4，故A、B、C三个选项都不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围后，再逐一判断可得答案.
7．（2025八下·温州期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，
又∵CD∥AB，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF；
∵扶梯AD的坡比为1∶1，
∴DE∶AE=1∶1，
∴AE=DE，
在等腰Rt△AED中，AD=4米，
∴米
∴CF=米，
∵滑梯BC的坡比为1∶2，
∴CF∶BF=1∶2，
∴BF=2CF=，
在Rt△BCF中，米
故答案为：B.
【分析】由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DE∥CF，由两组对边分别平行且有一个内角为直角的四边形是矩形得四边形CDEF是矩形，由矩形的对边相等得DE=CF，根据坡比的定义“坡面的垂直高度与水平宽度的比就是坡比”得出AE=DE，BF=2CF，然后根据勾股定理依次算出DE、BC即可得出答案.
8．（2025八下·温州期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
故答案为：C.
【分析】假设两年前的价格为单位“1”，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．（2025八下·温州期中）如图，在中，E，F分别是边BC，AD上的点，且，连结AC交EF于点，连结DG，AE，若，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ABEF与四边形CDFE都是平行四边形，
∴AF=BE，
设CD与EF之间的距离为h1，则S△CDG=CD×h1，S平行四边形CDFE=CD×h1，
∴S平行四边形CDFE=2S△CDG=8；
∵，
∴AF=2DF，
设AD与BC之间的距离为h2，则S平行四边形CDFE=FD×h2=8，
∴S平行四边形ABEF=AF×h2=2DF×h2=16，
∴S△ABE=BE×h2=AF×h2=8.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，AD∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥EF∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABEF与四边形CDFE都是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AF=BE；设CD与EF之间的距离为h1，根据三角形与平行四边形面积计算公式可得S平行四边形CDFE=2S△CDG=8；由已知得AF=2DF，设AD与BC之间的距离为h2，由平行四边形的面积计算公式得S平行四边形ABEF=AF×h2=2DF×h2=16，最后再结合三角形面积计算公式可求出△ABE的面积.
10．（2025八下·温州期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
11．（2025八下·温州期中）要使二次根式有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x+3≥0，解得x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】由二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”建立出关于字母x的不等式，求解即可.
12．（2025八下·温州期中）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数为　 　．
【答案】9
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和的公式，得( n - 2 )×180°=1260°
解得n=9
因此，这个多边形有9条边.
故答案为：9.
【分析】由“n边形的内角和=(n-2)×180°”建立方程，求解即可.
13．（2025八下·温州期中）某校举行科技创新选拔赛，甲、乙、丙、丁四个小组在选拔赛中取得成绩的平均数与方差如下表所示。若考虑从中选出成绩好且较稳定的小组去参加市级比赛，则应选的小组是　 　．
甲 乙 丙 丁
平均数 88 92 92 88
方差 0.9 1.5 1 1.8
【答案】丙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从表格提供的数据看乙组和丙组成绩的平均数都是92分，大于甲组和丁组的成绩的平均数，所以乙组和丙组的成绩较好；从方差看乙组的方差为1.5大于丙组的方差为1，所以丙组的成绩更稳定，综合平均数和方差，丙组成绩最好且最稳定.
故答案为：丙.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数越高说明成绩越好；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断得出答案.
14．（2025八下·温州期中）在中，若，则的度数为　 　.
【答案】80
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
又∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠C=80°.
故答案为：80.
【分析】由平行四边形的对角相等，对边平行得∠A=∠C，AB∥CD，结合已知可求出∠A=∠C=100°，进而根据二直线平行，同旁内角互补，可求出∠B的度数.
15．（2025八下·温州期中）如图，在中，BD垂直平分AC，点在BC，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若，则DE的长为　 　.
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴BC=AB=9，D是AC的中点，
又∵点E是AF的中点，
∴FC=2DE，
又∵BF=DE，
∴BC=FC+BF=2DE+DE=3DE=9，
∴DE=3.
故答案为：3.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=AB=9，D是AC的中点，根据三角形中位线等于第三边的一半可得FC=2DE，结合BF=DE，由线段和差及等量代换可得BC=FC+BF=3DE=9，从而求解即可得出答案.
16．（2025八下·温州期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为　 　．
【答案】y1=3，y2=4
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：y-1=2或y-1=3，
解得y1=3，y2=4.
故答案为：y1=3，y2=4.
【分析】把“y-1”看成一个整体，通过观察题干中的两个方程发现第二个方程中的“y-1”相当于第一个方程中的“x”，然后根据第一个方程给出的x的值，可得y-1=2或y-1=3，求解即可.
17．（2025八下·温州期中）如图，两对角线AC，BD交于点，已知，若，则AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AED=∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=，AC=2OA，OB=OD
在Rt△AED中，∵∠AED=90°，∠ADE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∵AE2+DE2=AD2，
∴AE=DE=，
∵AC=2AB，AC=2OA，
∴AB=AO，
又AE⊥BD，
∴BO=DO=2BE=2OE
∵DE=OE+OD，
∴3BE=3，
∴BE=1，
在Rt△ABE中，.
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，则∠AED=∠AEB=90°，由平行四边形的对边相等，对角线互相平分得AD=BC=，AC=2OA，OB=OD，由三角形内角和定理可推出∠ADE=∠DAE=45°，由等角对等边得AE=DE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE=DE=3；易得AB=AO，由等腰三角形的三线合一得BO=DO=2BE=2OE，然后根据线段和差及等量代换得3BE=3，求解得出BE的长，最后在Rt△ABE中，利用勾股定理算出AB的长即可.
18．（2025八下·温州期中）如图1，在平行四边形纸片ABCD中，，对角线，且，作于，将纸片沿DB，DE剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证C，E两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则CT的长度为　 　，AB的长度为　 　．
【答案】1；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC=2，
由图形剪拼可得图2中∠TCA=∠TAC，AM=AD=2，CQ=BC=2，TN=QN，
∴CT=AT，
∵BD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠DBC=90°，即∠ACM=∠Q=90°，
∴∠CAT+∠M=90°，∠ACT+∠TCM=90°，
∴∠TCM=∠M，
∴CT=TM，
∴AT=TM=CT，
∴CT=AM=1；
设AB=CD=x，则图2中CN=x，
∴QN=TN=x-1，
在Rt△CQN中，∵CQ2+QN2=CN2，
∴22+(x-1)2=x2，
解得x=，
即AB=.
故答案为：1，.
【分析】由平行四边形的性质得∠A=∠C，AD=BC=2，由图形剪拼得图2中∠TCA=∠TAC，AM=AD=2，CQ=BC=2，TN=QN，由等角对等边得CT=AT，由垂直的定义、角的构成、直角三角形量锐角互余及等角的余角相等得∠TCM=∠M，由等角对等边得AT=TM=CT，从而即可得出CT的长；设AB=CD=x，则图2中CN=x，则QN=TN=x-1，在Rt△CQN中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AB的长.
19．（2025八下·温州期中）
（1）计算；．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：移项，得，
配方，得，
∴
开方，得，
解得．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质将第一个二次根式化简，再计算二次根式的除法，最后合并同类二次根式即可；
（2）首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
20．（2025八下·温州期中）如图，已知直线，点A，B分别在直线和上，点在上且位于点右侧，连结AB，请根据尺规作图的要求完成如下作图。
（1）在图中作点，使，且点在上．
（2）在图中作点，使PD与AB互相平分．
【答案】（1）解：以点A为圆心，BP长为半径在点A右侧作弧，交l1于点C，连结PC，则PC就是所求的与AB平行得直线；
（2）解：以点A为圆心，BP长为半径在点A左侧作弧，交于点D，连结PD，则AB与PD互相平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，BP长为半径在点A右侧作弧，交l1于点C，连结PC，由于BP=AC，且AC∥BP，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABPC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行得出AB∥PC；
（2）以点A为圆心，BP长为半径在点A左侧作弧，交于点D，连结PD，连接BD、AP，由于BP=AD，且AD∥BP，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形APBD是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分得出AB与PD互相平分.
21．（2025八下·温州期中）温州市实验中学第39届艺术节心理剧比赛落下帷幕，联盟1班、联盟2班、联盟3班的成绩如下表（单位：分）：
剧本创作 表演效果 舞美创作 团队过程性评价
联盟1班 88 78 82 84
联盟2班 84 87 83 90
联盟3班 90 89 84 85
（1）计算得联盟1班、联盟2班的平均分分别为83分和86分，请求出联盟3班的平均分，并从高到低进行排序。
（2）学校认为这四个项目的重要程度有所不同，每个联盟在剧本创作、表演效果、舞美创作、团队过程性评价的成绩应按照3：5：5：7的比例计算其成绩，联盟1班的成绩明显最低，请问哪个联盟的成绩最好？
【答案】（1）解：（分），（分）
（分）
；
（2）解：（分）
（分）
，即联盟2班的成续最好.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）一组数据之和，除以这组数的个数即可得到这组数据的平均数，据此计算出联盟3班的平均成绩，进而根据有理数比较大小的方法进行比较即可；
（2）根据加权平均数的计算方法，首先将各项成绩与其权重的积相加得到总和，再将乘积的总和除以权重的总和即可得出加权平均数，据此求出联盟2班与联盟3班的加权平均数，再比大小即可得出答案.
22．（2025八下·温州期中）如图，在Rt中，，点在AB上，作交AC于点，延长ED至点使得，连结BF，CD．
（1）求证：四边形BCDF是平行四边形．
（2）若BD平分，求四边形BCDF的面积．
【答案】（1）证明：，
．
又，
．
．
四边形BCDF是平行四边形．
（2）解：平分，
．
．
∵四边形BCDF是平行四边形，
．
，且，
．
在Rt中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠F+∠FBC=180°，结合已知，由等量代换得出∠BCD+∠FBC=180°，由同旁内角互补，两直线平行，得BF∥CD，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠FDB=∠FBD=∠DBC，由等角对等边得FD=FB=8，由平行四边形的对边相等得CD=BF=8，由二直线平行，同旁内角互补得∠DEC=90°，在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长，最后根据平行四边形面积计算公式计算可得答案.
23．（2025八下·温州期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】（1）解：能，理由如下：
由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为25+5=30元或25+10=35元；
（2）解：①由题意可得，
化简，得
②日总利润为：
即
此时，此方程没有实数根，
所以厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润达不到1450元.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
24．（2025八下·温州期中）如图1，在中，对角线AC与BD交于点，点关于AC的对称点为点，连结．
（1）求证：．
（2）当，且时．
①如图2，若三点共线，求四边形的周长．
②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，
∵点B关于AC的对称点为点B'，
∴OB=OB'，
∴B'O=DO，
∴∠OB'D=∠ODB'；
（2）解：①三点共线，且点与关于AC对称，
．
，
为等腰直角三角形．
．
∵四边形ABCD是平行四边形，且B、A、B'三点再同一直线上，AB=AB'
．
四边形ACDB'是平行四边形．
．
．
②.
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②过点C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，
∵点B与点B'关于AC对称，
∴∠AOB=∠AOB'=∠COD，
∵∠AOB'+∠B'OD+∠COD=2∠AOB'+∠B'OD=180°，∠OB'D+∠B'DO+∠B'OD=2∠OB'D+∠B'OD=180°，
∴∠OB'D=∠AOB'，
∴AC∥B'D，
又∵OB'∥CF，
∴四边形OCFB'是平行四边形，
∴CF=OB'，
∵AC∥B'D，
∴∠CAD=∠ADF=∠CAD，
在△EFD与△ECD中，∠FED=∠CED，ED=ED，∠EDF=∠EDC，
∴△EDF≌△EDC，
∴EF=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，
又∵CE⊥AD，
∴AE=DE=AD=4，
∵OB'∥CF，且OA=OC，
∴AH=HE=AE=2，CE=2OH，
设，则．
在Rt中，，
解，得．
．
.
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，由轴对称性质得OB=OB'，则OB'=OD，然后根据等边对等角可得结论；
（2）①由轴对称性质得AB=AB'，∠BAC=∠B'AC=90°，则△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得；由平行四边形的对边平行且相等可推出AB'∥CD，且AB'=CD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ACDB'是平行四边形，进而根据平行四边形轴上计算方法可算出答案；
②过C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，由轴对称的性质及对顶角相等得∠AOB=∠AOB'=∠COD，由三角形的内角和定理及平角定义推出∠OB'D=∠AOB'，由内错角相等两直线平行得AC∥B'D，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCFB'是平行四边形，由平行四边形的对边相等得CF=OB'，由二直线平行，内错角相等及等量代换得∠CAD=∠ADF=∠CAD，用ASA判断出△EDF≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得EF=EC；由平行四边形性质得AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，有等腰三角形的三线合一得AE=DE=AD=4，由三角形的中位线定理得AH=HE=AE=2，CE=2OH，设OH=x，则CE=EF=2x，OD=OB'=CF=4x，在Rt△OHD中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而得出CE、HB'的长，最后根据三角形面积公式，由列式计算即可.
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