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2025年数学二模
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为 150分,考试时间为120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.下列各数中,与-2互为倒数的是
A.2 B. C.-2 D.-
2.下列运算正确的是
A.a2+a2=a4 B.a2·a3=a6 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a5
3.《博鳌亚洲论坛可持续发展的亚洲与世界2024年度报告》指出:2022年全球能源发电相关碳排放创历史新高,达到132亿吨,同比增长1.3%.亚洲能源需求和碳排放居全球首位.数据132亿用科学记数法表示为
A.1.32×108 B.132×108 C.13.2×109 D.1.32×1010
4.将一个三棱柱展开,其展开图是
5.若a2-2a-2024=0,则代数式2024+4a-2a2的值为
A.2024 B.-2024 C.2025 D.-2025
6.如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠ABO=30°,则∠ACB的度数是
A.50°
B.60°
C.65°
D.70°
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC于点C,AC=2,AB=3,则BD的长为
A.
B.2
C.
D.2
8.3张分别标有数字2,3,4的卡片,背面都一样,背面朝上洗匀,从中随机摸两次(第一次摸出卡片后记下数字,再放回洗匀),两次数字之和为奇数的概率是
A. B. C. D.
9.若a,b是一元二次方程x2+x=2的两根,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象大致为
如图,在正方形ABCD中,AB=2,M,N分别为边AD,CD的中点,E为AB边上一动点,以点E为圆心,AB的长为半径画弧,交BC于点F,P为EF的中点,Q为线段MN上任意一点,则PQ长度的最小值为
A. B.-1
C.2-2 D.-2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.不等式7-2x>1的解集是　　　　.
12.如图,一束平行光线照射在等边三角形上,若∠1=40°,则∠2的度数为　　　　.
13.如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,F是的中点,连接AD,AF,CF.若FC=CD,则∠D的度数是　　　　.
14.如图,A,B是反比例函数y=图象上的两点,过点A作AC⊥y轴,垂足为C,AC交OB于点D.若D为OB的中点,△AOD的面积为1.
(1)△ADB的面积是　　　　.
(2)k的值为　　　　.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:(-2024)0+|2-|-2sin 45°.
16.某项环保工程,先由甲队单独施工10天完成后,再增加乙队共同施工8天即可完成.求乙队单独完成此项工程的天数.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在10×10的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,3),B(-3,4),C(-2,1).
(1)将△ABC先向右平移6个单位长度,再向下平移2个单位长度,请在图中画出平移后的△A1B1C1.
(2)作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A2B2C2.
(3)若△ABC内存在一个格点P,使得PA2∥B2C2,请直接写出点P的坐标.
18.观察下列等式.
①×1×2=12.
②×2×3=12+22.
③×3×4=12+22+32.
……
(1)请写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　.
(2)猜想第n(n为正整数)个等式,并计算12+22+32+…+202的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.《周髀算经》是中国古代数学著作中最早涉及解三角形的专著之一,其中记载为了掌握“农时”,古人开始观象授时,其中一种办法叫“圭表测影(如图1)”,即“表”垂直于地面,“圭”横放于地面,通过“表影”长短判断季节.如图2,为了测量某古塔的高度,小明将一根2 m长的竹竿(MN=2 m)立在M处,当塔顶点A,竹竿顶点N以及地面点C在同一条直线上时,测得∠NCM=30°,然后小明将竹竿向前移动30 m到点M'(MM'=30 m),当点A,N',C'共线时,测得∠N'C'M'=53°,求古塔AB的高度.(结果精确到1 m,参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
图1　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,过点D作☉O的切线DE交AC于点E.
(1)求证:DE=AE.
(2)已知AD=6,过点O作OF⊥BD于点F,若P为DF上一动点,且OP=DE=5,求PD的长.
六、(本题满分12分)
21.为弘扬国学文化,某校开展了国学知识讲座.为了解学生的掌握情况,在七年级进行了一次国学知识测试并按成绩x(x为整数)分评定为A,B,C,D四个等级:A.90≤x≤100;B.80≤x<90;C.60≤x<80;D.x<60.从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析,绘制成如下的统计图表(部分信息缺失).
七年级国学知识测试成绩统计表
等级 频数(人数) 频率
A 30
B 60 40%
C m
D n
　　　　七年级国学知识测试成绩等级
　　　　　分布扇形统计图
　　　　　
请根据所给信息,回答下列问题:
(1)本次抽查的样本容量为　　　　,扇形统计图中A等级所在扇形的圆心角度数为　　　　°.
(2)本次抽查的成绩的中位数落在　　　　等级中.(填A,B,C,D)
(3)该校决定对D等级的学生再次进行国学知识普及教育,已知m是n的5倍,那么该校七年级的450名学生中,需再次接受国学知识普及教育的学生约有多少人
七、(本题满分12分)
22.如图,已知A,B,C三点的坐标分别为(0,4),(-3,0),(2,0),抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)过点C作线段AB的平行线,交抛物线于点D,连接AD,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(3)M为线段CD上一动点,过点M作y轴的平行线,交该抛物线于点N,当线段MN最长时,求点M的坐标.
八、(本题满分14分)
23.在△ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,∠ADE=∠B,DE与AC交于E点.
(1)如图1,若DE∥AB,EF⊥AD于点F.
①求证:AB2=BD·BC.
②求的值.
(2)如图2,若GA⊥AD,GD=GC,已知AB=10,BC=16.求BD的长.
参考答案
1.D　2.C　3.D　4.A　5.B　6.B　7.B　8.C　9.B
10.B　提示:∵AB=EF=2,∴BP=1.
当B,P,D三点共线时,PQ最小,
∴PQ的最小值为BD-BP-QD=2-1-=-1.故选B.
11.x<3　12.160°　13.72°
14.(1)1　(2)　提示:(2)设点B的坐标为2m,,则点D的坐标为m,,
∴点A的纵坐标为,横坐标为=4m,
∴AD=4m-m=3m.
∵△AOD的面积为1,
∴=1,
解得k=.故答案为.
15.解:原式=1+(-2)-2×
=1+2-2-
=-1. 8分
16.解:由题意得甲的工作效率为÷10=. 1分
设乙单独完成此项工程需要x天,
则+×8=1-,
解得x=20,
经检验:x=20符合题意.
答:乙队单独完成此项工程需要20天. 8分
17.解:(1)如图,△A1B1C1为所求. 3分
(2)如图,△A2B2C2为所求. 6分
(3)P(-2,3). 8分
18.解:(1)第5个等式:×5×6=12+22+32+42+52. 3分
(2)第n个等式为·n·(n+1)=12+22+32+…+n2. 6分
12+22+32+…+202
=×20×21
=2870. 8分
19.解:∵∠N'C'M'=53°,∴∠C'N'M'=∠C'AB=37°.
设AB=x.
在Rt△ABC'中,
由tan∠C'AB=,可得C'B=tan∠C'AB·AB=tan 37°·AB≈0.75x.
在Rt△C'N'M'中,
由tan∠C'N'M'=,可得C'M'=tan∠C'N'M'·M'N'=tan 37°×2≈1.5(m). 6分
在Rt△CNM中,
由tan∠MCN=得CM===2(m).
又∵tan∠C=,∴=,
图1
解得x≈33.
答:古塔AB的高度约为33 m. 10分
20.解:(1)证明:如图1,连接OD.
∵DE是☉O的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ADE+∠BDO=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
又∵OB=OD,
∴∠B=∠BDO,
∴∠ADE=∠A,
∴DE=AE. 4分
图2
(2)如图2,连接CD.
∵BC为☉O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠ADE+∠EDC=90°.
∵∠A=∠ADE,
∴∠EDC=∠ACD,
∴CE=DE=AE=5,AC=2AE=10.
∵AD=6,
∴CD=8.
∵OF⊥BD,
∴F为BD的中点.
∵O是BC的中点,
∴OF=CD=4.
又∵PO=DE=5,
∴FP=3.
∵∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠B=∠ACD,
∴△BFO∽△CDA,
∴=,即BF===FD,
∴PD=DF-PF=-3=,
即PD的长为. 10分
21.解:(1)150;72. 4分
(2)B. 6分
(3)由题意得
解得m=50,n=10,
450×=30(人).
答:该校七年级的450名学生中,需再次接受国学知识普及教育的学生约有30人. 12分
22.解:(1)将点A(0,4),C(2,0)代入y=x2+bx+c,
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x+4. 4分
(2)四边形ABCD是菱形. 5分
理由:设直线AB的解析式为y=kx+a,
∴解得
∴直线AB的解析式为y=x+4.
∵CD∥AB,
设直线CD的解析式为y=x+t,
∴×2+t=0,解得t=-,
∴直线CD的解析式为y=x-,
联立y=x2-x+4与y=x-,解得x=2或5,
∴D(5,4).
∵A(0,4),
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵A,B,C三点的坐标分别为(0,4),(-3,0),(2,0),
∴AB=BC=5,
∴四边形ABCD是菱形. 8分
(3)设Mm,m-,则Nm,m2-m+4,
∴MN=m--m2-m+4=-m2+m-=-m-2+,
∴当m=时,线段MN最长,
∴点M的坐标为,2. 12分
23.解:(1)①证明:∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE.
∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=∠BAD,
∴△ABD∽△BCA,
∴=,
∴AB2=BD·BC. 4分
图1
②如图1,作EI⊥CD于点I.
∵DE∥AB,AB=AC,∴∠EDC=∠B=∠C,∠ADE=∠BAD.
∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠EDC=∠C,∠B=∠BAD,
∴AD=BD,ED=EC.
∵DE平分∠ADC,∴EF=EI.
在Rt△DEF与Rt△DEI中,
∴Rt△DEF≌Rt△DEI(HL).
∵CD=2DI,∴=. 8分
图2
(2)如图2,作AM⊥BC于点M,GH⊥CD于点H,作AN⊥GH,交HG的延长线于点N,易得四边形AMHN是矩形.
∵GA⊥AD,∠MAN=90°,
∴∠GAM+∠DAM=90°,∠GAM+∠NAG=90°,
∴∠DAM=∠NAG.
∵∠AMD=∠ANG=90°,
∴△ADM∽△AGN,
∴=.
∵∠ADE=∠B,∠GAD=∠AMB=90°,
∴△ADG∽△MBA,
∴=,即=,
∴=.
∵AB=10,BC=16,
∴BM=BC=8,AM=6,
∴==,
∴AN=AM=.
∵GD=GC,GH⊥DC,
∴CH=DH=8-=,
∴CD=2CH=7,BD=16-7=9. 14分

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