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2023年广大附中大奥班入学数学真卷(一)
1．（2023·广州）如图是一个 棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上。共有　 　种不同的放法。
2．（2023·广州）已知a，b是正整数， 和 都是真分数，且 ，则 　 　。
3．（2023·广州）如图，用一个平面去截一个长方体，截面是一个多边形，这个多边形的边数最多有　 　条。
4．（2023·广州）有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人，这个班共有　 　名同学。
5．（2023·广州）一副扑克牌有四种花色(大小王除外)，每种花色有13张。从中任意抽牌。最少要抽　 　张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。
6．（2023·广州）有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。那么下一次既响铃又亮灯是下午　 　点钟。
7．（2023·广州）用一些棱长是1的小正方体摆放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如图1，从正面看这个立体图形，如图2，则这个立体图形的表面积最多是　 　。
8．（2023·广州）把自然数1~2022 分组，每组内任意3个数的最大公因数为1，则至少需要分成　 　组。
9．（2023·广州）如图，梯形ABCD 的两底. ，O为其内部一点，使得 的面积与 的面积之和是4，E是OC的中点，则梯形ABCD 的面积是　 　。
10．（2023·广州）如图，四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号，以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后再左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……这样一直换下去，第十次交换位子后，小兔坐在第　 　号位子上。
11．（2023·广州）如图是一个对称的图形，黑色部分(四周)面积　 　阴影部分(中间花瓣)面积。(选填“ >”“<”或“=”或“无法判断”)
12．（2023·广州）在方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉　 　枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点。
13．（2023·广州）已知三个三位数 由数字a，b组成，它们的和是2331，则a+b的最大值是　 　。
14．（2023·广州）如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)。小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔。孔跳一步，正好跳回到A孔，那么这个圆圈上共有　 　个孔。
15．（2023·广州）有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘，每盘胜者积1分，败者积0分，如果和棋，每人各积0.5分，比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级，则本次比赛最多有　 　人晋级。
16．（2023·广州）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+ 2017-2018-2019+2020+2021-2022
17．（2023·广州）
18．（2023·广州）
19．（2023·广州）已知：求：S的整数部分。
20．（2023·广州）已知m，n都是正整数，并且 若，求m+n的值。
21．（2023·广州）[x]表示不超过x的最大整数，若 ，试求[100x]的值。
22．（2023·广州）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车每小时50公里。问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？(学生上下车时间不计)
23．（2023·广州）在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的正整数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。
24．（2023·广州）某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？
25．（2023·广州）如图， 的面积之和等于六边形ABCDEF的面积，又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF 的面积的 ，求六边形 的面积与六边形ABCDEF 的面积之比。
26．（2023·广州）请回答： 能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？ 能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请各给出一个例子；如果不能，请说明理由。(备注：例如1，4，9，16，25，36…为完全平方数)
27．（2023·广州）费马小定理：设p 为素数，a为整数，则 特别地，若a不是p的倍数，则 根据上述定理：对任意奇素数p，都有问：是否存在合数n，使得 成立？
答案解析部分
1．【答案】72
【知识点】组合
【解析】【解答】解：根据题意，可得
12×6=72
故答案为：72
【分析】放第一个棋子有12种放法，放第二个棋子时，除去与第一个棋子在同一条棋盘线上的交叉点外还有6种放法，共有12×6=72(种)不同放法。
2．【答案】10
【知识点】放缩法
【解析】【解答】解：当a=4，b=6时
故答案为：10
【分析】由于，且 是正整数且 <5，确定的大致值。如果 =4（因为 =5时，不再为真分数），那么既然，那么的值可以通过方程求解：。因为 是正整数且 <7，，表明 的值应当尽可能接近于7×0.86≈6，故 =6。据此即可求出a+b的值
3．【答案】6
【知识点】几何中的计数问题；立方体的切拼
【解析】【解答】解：长方体的截面中，边数最多的多边形是六边形，即多边形的边数最多有6条。
故答案为：6
【分析】用一个面去截一个长方体，截面有可能是三角形，四边形，五边形，六边形，最多只能在六个面的每条棱上取一点进行截取，所以最多是个六边形。
4．【答案】36
【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】解：设原计划租x条船。
(x+1)×6=(x-1)×9
6x+6=9x-9
3x=15
x=5
(5+1)×6=36(名)
故答案为：36
【分析】在增加一条船的情况下，每条船坐6人，因此总人数为6(x+1)。在减少一条船的情况下，每条船坐9人，因此总人数为9(x-1)。
由于总人数不变，因此有6(x+1)=9(x-1)。解此方程求出租船的数量，然后再代入6(x+1)，即可求解
5．【答案】13
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解：根据抽屉原理，可得
4×3+1=13(张)
故答案为：13
【分析】考虑最差情况：每种花色都摸出了3张，即已经抽出了12张牌，但还没有任何花色达到4张。此时，再任意抽出一张牌，无论这张牌属于哪种花色，都会使得该花色的牌数量达到4张。因此，根据抽屉原理，最少需要抽出的牌数为：4×3+1=13。所以，最少需要抽出13张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。
6．【答案】3
【知识点】最小公倍数的应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
9=3×3，60=2×2×3×5
因此，9和60的最小公倍数是：3×3×2×2×5=180
180÷60=3(小时)
中午12点+3小时=下午3点
故答案为：3
【分析】将9分钟和60分钟进行因数分解。9=3×3，60=2×2×3×5。找到这些因数的最小公倍数，即取所有因数的最大次数相乘，得到的最小公倍数为180（即3×3×2×2×5）。从12点开始，每180分钟（即3小时）后，电子钟既会响铃又会亮灯。下一次既响铃又亮灯的时间是12点后的3小时，即下午3点。
7．【答案】48
【知识点】根据观察到的图形确定几何体
【解析】【解答】解：根据题意，可得
底面+顶面（第一层）：16平方厘米，
侧面（第二层）：16平方厘米，
正面和背面增加的面积：8平方厘米×2=16平方厘米，
总计：16+16+16=48平方厘米
故答案为：48
【分析】第一层：4个小正方体，表面积=16平方厘米（底面+顶面）；第二层：4个小正方体，表面积=16平方厘米（侧面），但需要注意，第二层的顶面会被视为整个立体图形的顶面，因此实际增加的表面积是侧面的面积，即16平方厘米。由于第二层的4个小正方体分别放置在第一层的4个位置上，从正面和侧面观察时，将分别增加8个面（正面和背面各4个面）的面积。因此，整个立体图形的表面积为：底面+顶面（第一层）：16平方厘米，侧面（第二层）：16平方厘米，正面和背面增加的面积：8平方厘米×2=16平方厘米，总计：16+16+16=48平方厘米
8．【答案】506
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
自然数1到2022中，偶数共有：2022÷2=1011（个）
每组最多容纳2个偶数，因此至少需要： 1011÷2 =506（组）
505+1=506(组)
故答案为：506
【分析】 若三个数的最大公因数大于1，则说明这三个数共享一个共同的质因数。因此，每组中不能同时包含三个或更多被同一质数整除的数。若一组中有三个偶数，则它们的最大公因数至少为2，不满足条件。因此，每组最多只能包含两个偶数。自然数1到2022中，偶数共有2022÷2=1011个。每组最多容纳2个偶数，因此至少需要 1011÷2 =506组。其他奇数（非偶数）可以自由分配到各组中，因为它们不会与两个偶数形成三元组的最大公因数大于1的情况。
9．【答案】12
【知识点】梯形的面积；组合图形面积的巧算；三角形的面积
【解析】【解答】解：设O点到AD的垂直距离为h1，则△AOD的面积=
设O点到BC的垂直距离为h2，则△BOC的面积=
∵E是OC的中点，
∴△BOE的面积：三角形BOC的面积=1：2，
S△BOE=
∴
又BC=2AD，代入上式可得：
设为梯形的高为h，可得：AD h=8，
梯形ABCD面积：
=
=
=12
故答案为：12
【分析】 欲求梯形的面积，先求上下底边和高，可设O点到AD的垂直距离为h1，O点到BC的垂直距离为h2，表示出△AOD的面积和△BOE的面积，再代入梯形的面积公式，即可求解．
10．【答案】2
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得
10÷4=2(组)……2(次)
小兔坐在第2号位子上。
小兔坐的位子是(1，2，4，3)4个为一组重复出现的。
故答案为：2
【分析】根据规则，每次交换都是在上一次交换的基础上进行的，先进行上下两排的交换，再进行左右两排的交换，如此循环。接着，确定小兔的初始位置以及每次交换后的位置。最后，根据这些位置的变化规律，推断出第十次交换后小兔所在的位置。
11．【答案】=
【知识点】圆与组合图形；几何容斥原理（图形重叠）
【解析】【解答】解：设四周黑色面积为A，中间阴影面积为B，白色面积为C，大圆面积为S大，小圆面积为S小。
则
×4
即
A+B+C=C+2B
A=B
故答案为：=
【分析】根据大圆的半径等于小圆的直径，即大圆的半径是小圆半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的4倍。据此即可求解
12．【答案】3
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：（答案不唯一）以3行4列为例，去掉去掉（1，3）、（2，2）、（3，2）、（4，1）就可以。
故答案为：4
【分析】正方形的四个顶点为围棋子的共有10个正方形（边长为2格的有6个，边长为3格的有2个，斜着的正方形的有2个），通过观察已知图形，可以得到去掉（2，2）、（3，2），剩下的棋子就不能够成边长为2格和斜着的正方形的四个顶点。再分别去掉边长为3格正方形的一个顶点（共2个顶点）（答案不唯一）。剩下的棋子不能够成正方形的四个顶点。据此可解。
13．【答案】15
【知识点】位值原则；最大与最小
【解析】【解答】解：将这三个数分别表示为：100 +10 + ，100 +10 + ，100 +10 +
即(100a+10b+b)+(100b+10a+b)+(100b+10b+a)=2331
111a+222b=2331
a+2b=21
a，b都是1至9的正整数。
a+b最大是9+6=15。
故答案为：15
【分析】观察题目给出的三个三位数： ， ， 。这三个数是由数字 和 组成的，且它们的和为2331。将这三个数分别表示为：100 +10 + ，100 +10 + ，100 +10 + 。将这三个数相加，得到：100 +10 + +100 +10 + +100 +10 + =2331。将上述等式化简，得到：111 +222 =2331。进一步化简，得到： +2 =21。由于 和 都是个位数，所以它们的取值范围是0到9。通过观察，发现当 =9且 =6时， + 的值最大，为15。因此， + 的最大值是15。
14．【答案】91
【知识点】余数和除数的关系；环形操作周期规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得
2+1=3
4+1=5
6+1=7
3×5=15（个）
15×6+1=91（个）
91÷7=13
答：圆圈上共有91个孔。
故答案为：91
【分析】根据“每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔”说明一步跳3个孔，余1个孔，所以总孔数是3的倍数加1；根据“每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔”说明一步跳5个孔，余1个孔，所以总孔数是5的倍数加1；既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数；然后根据“他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔”说明一步跳7个孔正好，所以总孔数是7的倍数；然后验证再100以内，15的倍数加1能被7整除的数，即可得解．
15．【答案】11
【知识点】体育比赛问题
【解析】【解答】解：16名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2=120场，
而且不论胜败，每场比赛总分增加1分，
所以比赛总分为120分，
最理想的结果是120÷10=12人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，
但这种情况不可能出现（那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分），
那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，
高手之间的比赛全平，每人得0.5×10=5分，
高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级．
综上所述：最多11人晋级；
故答案为：11
【分析】16名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2=120场，而且不论胜败，每场比赛总分增加1分，所以比赛总分为120分，最理想的结果是120÷10=12人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现（那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分）那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得0.5×10=5分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级．
16．【答案】解：1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+ 2017-2018-2019+2020+2021-2022
=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+…+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022)
=0+0+0+…+0+(-1)
=-1
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】对数列进行重组：(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+…+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022)，然后再进行简便运算即可
17．【答案】解：
【知识点】分数的巧算；分数裂项
【解析】【分析】先对括号里面的式子进行运算，然后再进行约分即可
18．【答案】解：
【知识点】分数的巧算；分数裂项
【解析】【分析】对式子进行裂项：，然后再进行运算即可
19．【答案】解：根据题意，可得
2022-2012+1=11
答：S的整数部分是183。
【知识点】估算与比较；等差数列；倒数的认识
【解析】【分析】分母可以写成：，这些项中的每一项都小于，且大于。因此，我们可以得到一个估计的范围，分母的和将大于且小于。考虑到这是一个等差序列的倒数和，可使用首项和末项的平均值来估计这个序列的平均值，即：，因为序列中总共有11项，分母的和大约是：，这样，S可以近似为： ≈，因此，S的整数部分是183。
20．【答案】解：
同理
则
所以13+n为13×13的因数且13+n=132 ，所以n=156，m=12，
m+n=12+156=168。
【知识点】含字母式子的化简与求值
【解析】【分析】对A式子进行运算约分：A=，同理，B=，然后根据A-B=，将A和B代入，求出的值，进而求出，所以13+n为13×13的因数且13+n=132 ，求出n和m的值，即可求出m+n的值
21．【答案】解：91-19+1=73
左边每一项为[x]或[x+1]
73×7<546<73×8
设
7(m-18)+8(91-m)=546
7m-126+728-8m=546
m=56
即6.44≤x<7.44
即7.43≤x<8.43
7.43≤x<7.44 [100x]=743
答：[100x]的值为743
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】先求出该数列的项数：91-19+1=73，观察该数列可知，左边每一项为[x]或[x+1]，可知，73×7<546<73×8，
设 ， ，整理，可得，7(m-18)+8(91-m)=546，求出m的值，将m代入和，可知，，，整理，可得6.44≤x<7.44和7.43≤x<8.43，故7.43≤x<7.44，所以，[100x]=743
22．【答案】解：如图：
设全程AB为"单位1 "，第一班学生步行了全程的x，(第一班学生与第二班学生步行的时间相同，所以第二班学生也走了全程的x）根据题意可得
63x=9
x=
答：第一班步行路程占全程的
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；变速问题（上下坡/走走停停/中途休息）
【解析】【分析】如图：由于两个班的学生都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长。所以设全程AB为1，第一班学生步行的路程AD为x，(第一班学生与第二班学生步行的时间相同，所以第二班学生也走了全程CB的x)，第一班学生步行所用的时间，这段时间内客车一直没有停，用时速40公里跑的路程AC为1一x，用时速50公里所跑的路程CD为1—2x，根据“路程÷速度=时间”表示出这段时间客车行驶的时间，建立等量关系，可列方程为：，解答即可。
23．【答案】解：根据题意，可得
1764=1×2×2×3×3×7×7
两人射5箭有5种可能
7+7+1+4+9=28(环)
7+7+1+6+6=27(环)
7+7+2+2+9=27(环)
7+7+2+3+6=25(环)
7+7+3+3+4=24(环)
28-24=4(环)
答：甲的总环数是24环，乙的总环数是28环。
【知识点】分解质因数；体育比赛问题
【解析】【分析】对1764进行因数分解，得到：1764=4×9×49。由题意知，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数。因此，肯定有两箭是7环。那么剩下的3箭的环数是4×9 = 36。我们可以把36分解为：1×4×9；1×6×6； 2×2×9；2×3×6；和 3×3×4，这5种情况对应的5箭的环数和分别是28，27，27，25和24。此时可以确定，乙的总环数是28环，分数组合是：7，7，1，4，9。甲的总环数是24环，分数组合则为：7，7，3，3，4。所以，甲的总环数是24，乙的总环数是28。
24．【答案】解：总可以使下底面为红色．
如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种．
如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时又分两种情况：
（1）前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种．
（2）前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种．
因此，共可涂成2+2+2=6种不同的积木块．
【知识点】排列组合
【解析】【分析】因为每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面，所以总有两个面是红色，因此确定以红色作为“插板”计数另外两色的排列情况．
25．【答案】解：六边形面积记为S1，图中阴影部分面积和记为S阴。
△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB 面积和记为
六个三角形组成的图形除去阴影部分面积为S3。
根据题意，
计算S2时，加了两次S3
所以
所以
因为
边形ABCDEF
即S1：S六边形ABCDEF =1：3
答：六边形面积与六边形ABCDEF 面积比为1：3。
【知识点】组合图形面积的巧算
【解析】【分析】将六边形的面积记为S1，图中阴影部分面积和记为S阴，△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB 面积和记为，六个三角形组成的图形除去阴影部分面积为S3，，，计算S2时，加了两次S3，所以，，即，因为，将和代入，即可求出六边形 的面积与六边形ABCDEF 的面积之比
26．【答案】解：（1）根据题意，可得
能表示为3个互异的正整数的倒数和(方法不唯一)。
（2）设三个完全平方数为、、，且a因此最小的三个完全平方数的倒数之和为：
>
从42开始：
>
52开始：
<0.125
因此，无法达到目标
因此，无论选择哪些完全平方数，其倒数之和要么超过，要么不足，无法精确等于
【知识点】数字问题；倒数的认识
【解析】【分析】（1）寻找三个互异的正整数，使得它们的倒数之和为：假设三个正整数为 、 、 ，且 < < 。尝试从较小的数开始：设第一个数为16（倒数），则剩余，需分解为两个互异的正整数的倒数之和。选择第二个数为24（倒数），则剩余，第三个数为48。因此，
（2）验证是否存在三个互异的完全平方数，其倒数之和为，设三个完全平方数为、、，且 < < 。完全平方数的倒数随数的增大而快速减小，因此最小的三个完全平方数的倒数之和为：，远大于。但若取更大的数，例如从42开始：，仍大于。
继续增大数的范围：<0.125，无法达到目标。
因此，无论选择哪些完全平方数，其倒数之和要么超过，要么不足，无法精确等于
27．【答案】解：这样的合数n存在，而且有无穷多个。
其中最小的满足条件的合数：n=341=11×31
所以 341符合要求。
设a是一个符合要求的奇合数，则2a-1是一个奇合数，再设 为正奇数，则
所以2a-1也是一个符合要求的数，依此递推，有无穷个满足条件的合数。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据费马小定理，对任意奇素数 ，有2 1≡1(mod )。问题是，是否能找到合数 ，使得2 1≡1(mod )。从最小的非平凡合数开始考察，即从 =4开始（ =1显然不满足条件，而 =2是偶数，不在讨论范围）。通过计算可知，最小的满足条件的合数 是341=11×31。验证这个结论，可以使用费马小定理的逆向思维：由于11和31都是素数，根据费马小定理有210≡1(mod11)和230≡1(mod31)。由于341=11×31，则2340≡1(mod341)，即2340模341余1，验证了341满足条件。
如果一个合数 满足条件，即2 1≡1(mod )，那么我们可以构造新的合数 =2 1，根据费马小定理和指数运算的性质，可以证明
也满足条件，即2 1≡1(mod )。这是因为，如果 是一个奇合数且满足2 1≡1(mod )，那么22 2≡1，(mod2 1)，进而22 2≡1(mod )，说明 =2 1同样满足条件。依此递推，可以构造出无穷多个满足条件的合数。
1 / 12023年广大附中大奥班入学数学真卷(一)
1．（2023·广州）如图是一个 棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上。共有　 　种不同的放法。
【答案】72
【知识点】组合
【解析】【解答】解：根据题意，可得
12×6=72
故答案为：72
【分析】放第一个棋子有12种放法，放第二个棋子时，除去与第一个棋子在同一条棋盘线上的交叉点外还有6种放法，共有12×6=72(种)不同放法。
2．（2023·广州）已知a，b是正整数， 和 都是真分数，且 ，则 　 　。
【答案】10
【知识点】放缩法
【解析】【解答】解：当a=4，b=6时
故答案为：10
【分析】由于，且 是正整数且 <5，确定的大致值。如果 =4（因为 =5时，不再为真分数），那么既然，那么的值可以通过方程求解：。因为 是正整数且 <7，，表明 的值应当尽可能接近于7×0.86≈6，故 =6。据此即可求出a+b的值
3．（2023·广州）如图，用一个平面去截一个长方体，截面是一个多边形，这个多边形的边数最多有　 　条。
【答案】6
【知识点】几何中的计数问题；立方体的切拼
【解析】【解答】解：长方体的截面中，边数最多的多边形是六边形，即多边形的边数最多有6条。
故答案为：6
【分析】用一个面去截一个长方体，截面有可能是三角形，四边形，五边形，六边形，最多只能在六个面的每条棱上取一点进行截取，所以最多是个六边形。
4．（2023·广州）有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人，这个班共有　 　名同学。
【答案】36
【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】解：设原计划租x条船。
(x+1)×6=(x-1)×9
6x+6=9x-9
3x=15
x=5
(5+1)×6=36(名)
故答案为：36
【分析】在增加一条船的情况下，每条船坐6人，因此总人数为6(x+1)。在减少一条船的情况下，每条船坐9人，因此总人数为9(x-1)。
由于总人数不变，因此有6(x+1)=9(x-1)。解此方程求出租船的数量，然后再代入6(x+1)，即可求解
5．（2023·广州）一副扑克牌有四种花色(大小王除外)，每种花色有13张。从中任意抽牌。最少要抽　 　张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。
【答案】13
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】解：根据抽屉原理，可得
4×3+1=13(张)
故答案为：13
【分析】考虑最差情况：每种花色都摸出了3张，即已经抽出了12张牌，但还没有任何花色达到4张。此时，再任意抽出一张牌，无论这张牌属于哪种花色，都会使得该花色的牌数量达到4张。因此，根据抽屉原理，最少需要抽出的牌数为：4×3+1=13。所以，最少需要抽出13张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。
6．（2023·广州）有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。那么下一次既响铃又亮灯是下午　 　点钟。
【答案】3
【知识点】最小公倍数的应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
9=3×3，60=2×2×3×5
因此，9和60的最小公倍数是：3×3×2×2×5=180
180÷60=3(小时)
中午12点+3小时=下午3点
故答案为：3
【分析】将9分钟和60分钟进行因数分解。9=3×3，60=2×2×3×5。找到这些因数的最小公倍数，即取所有因数的最大次数相乘，得到的最小公倍数为180（即3×3×2×2×5）。从12点开始，每180分钟（即3小时）后，电子钟既会响铃又会亮灯。下一次既响铃又亮灯的时间是12点后的3小时，即下午3点。
7．（2023·广州）用一些棱长是1的小正方体摆放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如图1，从正面看这个立体图形，如图2，则这个立体图形的表面积最多是　 　。
【答案】48
【知识点】根据观察到的图形确定几何体
【解析】【解答】解：根据题意，可得
底面+顶面（第一层）：16平方厘米，
侧面（第二层）：16平方厘米，
正面和背面增加的面积：8平方厘米×2=16平方厘米，
总计：16+16+16=48平方厘米
故答案为：48
【分析】第一层：4个小正方体，表面积=16平方厘米（底面+顶面）；第二层：4个小正方体，表面积=16平方厘米（侧面），但需要注意，第二层的顶面会被视为整个立体图形的顶面，因此实际增加的表面积是侧面的面积，即16平方厘米。由于第二层的4个小正方体分别放置在第一层的4个位置上，从正面和侧面观察时，将分别增加8个面（正面和背面各4个面）的面积。因此，整个立体图形的表面积为：底面+顶面（第一层）：16平方厘米，侧面（第二层）：16平方厘米，正面和背面增加的面积：8平方厘米×2=16平方厘米，总计：16+16+16=48平方厘米
8．（2023·广州）把自然数1~2022 分组，每组内任意3个数的最大公因数为1，则至少需要分成　 　组。
【答案】506
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
自然数1到2022中，偶数共有：2022÷2=1011（个）
每组最多容纳2个偶数，因此至少需要： 1011÷2 =506（组）
505+1=506(组)
故答案为：506
【分析】 若三个数的最大公因数大于1，则说明这三个数共享一个共同的质因数。因此，每组中不能同时包含三个或更多被同一质数整除的数。若一组中有三个偶数，则它们的最大公因数至少为2，不满足条件。因此，每组最多只能包含两个偶数。自然数1到2022中，偶数共有2022÷2=1011个。每组最多容纳2个偶数，因此至少需要 1011÷2 =506组。其他奇数（非偶数）可以自由分配到各组中，因为它们不会与两个偶数形成三元组的最大公因数大于1的情况。
9．（2023·广州）如图，梯形ABCD 的两底. ，O为其内部一点，使得 的面积与 的面积之和是4，E是OC的中点，则梯形ABCD 的面积是　 　。
【答案】12
【知识点】梯形的面积；组合图形面积的巧算；三角形的面积
【解析】【解答】解：设O点到AD的垂直距离为h1，则△AOD的面积=
设O点到BC的垂直距离为h2，则△BOC的面积=
∵E是OC的中点，
∴△BOE的面积：三角形BOC的面积=1：2，
S△BOE=
∴
又BC=2AD，代入上式可得：
设为梯形的高为h，可得：AD h=8，
梯形ABCD面积：
=
=
=12
故答案为：12
【分析】 欲求梯形的面积，先求上下底边和高，可设O点到AD的垂直距离为h1，O点到BC的垂直距离为h2，表示出△AOD的面积和△BOE的面积，再代入梯形的面积公式，即可求解．
10．（2023·广州）如图，四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号，以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后再左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换……这样一直换下去，第十次交换位子后，小兔坐在第　 　号位子上。
【答案】2
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得
10÷4=2(组)……2(次)
小兔坐在第2号位子上。
小兔坐的位子是(1，2，4，3)4个为一组重复出现的。
故答案为：2
【分析】根据规则，每次交换都是在上一次交换的基础上进行的，先进行上下两排的交换，再进行左右两排的交换，如此循环。接着，确定小兔的初始位置以及每次交换后的位置。最后，根据这些位置的变化规律，推断出第十次交换后小兔所在的位置。
11．（2023·广州）如图是一个对称的图形，黑色部分(四周)面积　 　阴影部分(中间花瓣)面积。(选填“ >”“<”或“=”或“无法判断”)
【答案】=
【知识点】圆与组合图形；几何容斥原理（图形重叠）
【解析】【解答】解：设四周黑色面积为A，中间阴影面积为B，白色面积为C，大圆面积为S大，小圆面积为S小。
则
×4
即
A+B+C=C+2B
A=B
故答案为：=
【分析】根据大圆的半径等于小圆的直径，即大圆的半径是小圆半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的4倍。据此即可求解
12．（2023·广州）在方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉　 　枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点。
【答案】3
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：（答案不唯一）以3行4列为例，去掉去掉（1，3）、（2，2）、（3，2）、（4，1）就可以。
故答案为：4
【分析】正方形的四个顶点为围棋子的共有10个正方形（边长为2格的有6个，边长为3格的有2个，斜着的正方形的有2个），通过观察已知图形，可以得到去掉（2，2）、（3，2），剩下的棋子就不能够成边长为2格和斜着的正方形的四个顶点。再分别去掉边长为3格正方形的一个顶点（共2个顶点）（答案不唯一）。剩下的棋子不能够成正方形的四个顶点。据此可解。
13．（2023·广州）已知三个三位数 由数字a，b组成，它们的和是2331，则a+b的最大值是　 　。
【答案】15
【知识点】位值原则；最大与最小
【解析】【解答】解：将这三个数分别表示为：100 +10 + ，100 +10 + ，100 +10 +
即(100a+10b+b)+(100b+10a+b)+(100b+10b+a)=2331
111a+222b=2331
a+2b=21
a，b都是1至9的正整数。
a+b最大是9+6=15。
故答案为：15
【分析】观察题目给出的三个三位数： ， ， 。这三个数是由数字 和 组成的，且它们的和为2331。将这三个数分别表示为：100 +10 + ，100 +10 + ，100 +10 + 。将这三个数相加，得到：100 +10 + +100 +10 + +100 +10 + =2331。将上述等式化简，得到：111 +222 =2331。进一步化简，得到： +2 =21。由于 和 都是个位数，所以它们的取值范围是0到9。通过观察，发现当 =9且 =6时， + 的值最大，为15。因此， + 的最大值是15。
14．（2023·广州）如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)。小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔。孔跳一步，正好跳回到A孔，那么这个圆圈上共有　 　个孔。
【答案】91
【知识点】余数和除数的关系；环形操作周期规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得
2+1=3
4+1=5
6+1=7
3×5=15（个）
15×6+1=91（个）
91÷7=13
答：圆圈上共有91个孔。
故答案为：91
【分析】根据“每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔”说明一步跳3个孔，余1个孔，所以总孔数是3的倍数加1；根据“每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔”说明一步跳5个孔，余1个孔，所以总孔数是5的倍数加1；既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数；然后根据“他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔”说明一步跳7个孔正好，所以总孔数是7的倍数；然后验证再100以内，15的倍数加1能被7整除的数，即可得解．
15．（2023·广州）有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘，每盘胜者积1分，败者积0分，如果和棋，每人各积0.5分，比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级，则本次比赛最多有　 　人晋级。
【答案】11
【知识点】体育比赛问题
【解析】【解答】解：16名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2=120场，
而且不论胜败，每场比赛总分增加1分，
所以比赛总分为120分，
最理想的结果是120÷10=12人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，
但这种情况不可能出现（那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分），
那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，
高手之间的比赛全平，每人得0.5×10=5分，
高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级．
综上所述：最多11人晋级；
故答案为：11
【分析】16名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2=120场，而且不论胜败，每场比赛总分增加1分，所以比赛总分为120分，最理想的结果是120÷10=12人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现（那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分）那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得0.5×10=5分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级．
16．（2023·广州）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+ 2017-2018-2019+2020+2021-2022
【答案】解：1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+ 2017-2018-2019+2020+2021-2022
=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+…+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022)
=0+0+0+…+0+(-1)
=-1
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】对数列进行重组：(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+…+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022)，然后再进行简便运算即可
17．（2023·广州）
【答案】解：
【知识点】分数的巧算；分数裂项
【解析】【分析】先对括号里面的式子进行运算，然后再进行约分即可
18．（2023·广州）
【答案】解：
【知识点】分数的巧算；分数裂项
【解析】【分析】对式子进行裂项：，然后再进行运算即可
19．（2023·广州）已知：求：S的整数部分。
【答案】解：根据题意，可得
2022-2012+1=11
答：S的整数部分是183。
【知识点】估算与比较；等差数列；倒数的认识
【解析】【分析】分母可以写成：，这些项中的每一项都小于，且大于。因此，我们可以得到一个估计的范围，分母的和将大于且小于。考虑到这是一个等差序列的倒数和，可使用首项和末项的平均值来估计这个序列的平均值，即：，因为序列中总共有11项，分母的和大约是：，这样，S可以近似为： ≈，因此，S的整数部分是183。
20．（2023·广州）已知m，n都是正整数，并且 若，求m+n的值。
【答案】解：
同理
则
所以13+n为13×13的因数且13+n=132 ，所以n=156，m=12，
m+n=12+156=168。
【知识点】含字母式子的化简与求值
【解析】【分析】对A式子进行运算约分：A=，同理，B=，然后根据A-B=，将A和B代入，求出的值，进而求出，所以13+n为13×13的因数且13+n=132 ，求出n和m的值，即可求出m+n的值
21．（2023·广州）[x]表示不超过x的最大整数，若 ，试求[100x]的值。
【答案】解：91-19+1=73
左边每一项为[x]或[x+1]
73×7<546<73×8
设
7(m-18)+8(91-m)=546
7m-126+728-8m=546
m=56
即6.44≤x<7.44
即7.43≤x<8.43
7.43≤x<7.44 [100x]=743
答：[100x]的值为743
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】先求出该数列的项数：91-19+1=73，观察该数列可知，左边每一项为[x]或[x+1]，可知，73×7<546<73×8，
设 ， ，整理，可得，7(m-18)+8(91-m)=546，求出m的值，将m代入和，可知，，，整理，可得6.44≤x<7.44和7.43≤x<8.43，故7.43≤x<7.44，所以，[100x]=743
22．（2023·广州）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车每小时50公里。问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？(学生上下车时间不计)
【答案】解：如图：
设全程AB为"单位1 "，第一班学生步行了全程的x，(第一班学生与第二班学生步行的时间相同，所以第二班学生也走了全程的x）根据题意可得
63x=9
x=
答：第一班步行路程占全程的
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；变速问题（上下坡/走走停停/中途休息）
【解析】【分析】如图：由于两个班的学生都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长。所以设全程AB为1，第一班学生步行的路程AD为x，(第一班学生与第二班学生步行的时间相同，所以第二班学生也走了全程CB的x)，第一班学生步行所用的时间，这段时间内客车一直没有停，用时速40公里跑的路程AC为1一x，用时速50公里所跑的路程CD为1—2x，根据“路程÷速度=时间”表示出这段时间客车行驶的时间，建立等量关系，可列方程为：，解答即可。
23．（2023·广州）在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的正整数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。
【答案】解：根据题意，可得
1764=1×2×2×3×3×7×7
两人射5箭有5种可能
7+7+1+4+9=28(环)
7+7+1+6+6=27(环)
7+7+2+2+9=27(环)
7+7+2+3+6=25(环)
7+7+3+3+4=24(环)
28-24=4(环)
答：甲的总环数是24环，乙的总环数是28环。
【知识点】分解质因数；体育比赛问题
【解析】【分析】对1764进行因数分解，得到：1764=4×9×49。由题意知，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数。因此，肯定有两箭是7环。那么剩下的3箭的环数是4×9 = 36。我们可以把36分解为：1×4×9；1×6×6； 2×2×9；2×3×6；和 3×3×4，这5种情况对应的5箭的环数和分别是28，27，27，25和24。此时可以确定，乙的总环数是28环，分数组合是：7，7，1，4，9。甲的总环数是24环，分数组合则为：7，7，3，3，4。所以，甲的总环数是24，乙的总环数是28。
24．（2023·广州）某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？
【答案】解：总可以使下底面为红色．
如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种．
如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时又分两种情况：
（1）前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种．
（2）前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种．
因此，共可涂成2+2+2=6种不同的积木块．
【知识点】排列组合
【解析】【分析】因为每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面，所以总有两个面是红色，因此确定以红色作为“插板”计数另外两色的排列情况．
25．（2023·广州）如图， 的面积之和等于六边形ABCDEF的面积，又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF 的面积的 ，求六边形 的面积与六边形ABCDEF 的面积之比。
【答案】解：六边形面积记为S1，图中阴影部分面积和记为S阴。
△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB 面积和记为
六个三角形组成的图形除去阴影部分面积为S3。
根据题意，
计算S2时，加了两次S3
所以
所以
因为
边形ABCDEF
即S1：S六边形ABCDEF =1：3
答：六边形面积与六边形ABCDEF 面积比为1：3。
【知识点】组合图形面积的巧算
【解析】【分析】将六边形的面积记为S1，图中阴影部分面积和记为S阴，△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB 面积和记为，六个三角形组成的图形除去阴影部分面积为S3，，，计算S2时，加了两次S3，所以，，即，因为，将和代入，即可求出六边形 的面积与六边形ABCDEF 的面积之比
26．（2023·广州）请回答： 能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？ 能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请各给出一个例子；如果不能，请说明理由。(备注：例如1，4，9，16，25，36…为完全平方数)
【答案】解：（1）根据题意，可得
能表示为3个互异的正整数的倒数和(方法不唯一)。
（2）设三个完全平方数为、、，且a因此最小的三个完全平方数的倒数之和为：
>
从42开始：
>
52开始：
<0.125
因此，无法达到目标
因此，无论选择哪些完全平方数，其倒数之和要么超过，要么不足，无法精确等于
【知识点】数字问题；倒数的认识
【解析】【分析】（1）寻找三个互异的正整数，使得它们的倒数之和为：假设三个正整数为 、 、 ，且 < < 。尝试从较小的数开始：设第一个数为16（倒数），则剩余，需分解为两个互异的正整数的倒数之和。选择第二个数为24（倒数），则剩余，第三个数为48。因此，
（2）验证是否存在三个互异的完全平方数，其倒数之和为，设三个完全平方数为、、，且 < < 。完全平方数的倒数随数的增大而快速减小，因此最小的三个完全平方数的倒数之和为：，远大于。但若取更大的数，例如从42开始：，仍大于。
继续增大数的范围：<0.125，无法达到目标。
因此，无论选择哪些完全平方数，其倒数之和要么超过，要么不足，无法精确等于
27．（2023·广州）费马小定理：设p 为素数，a为整数，则 特别地，若a不是p的倍数，则 根据上述定理：对任意奇素数p，都有问：是否存在合数n，使得 成立？
【答案】解：这样的合数n存在，而且有无穷多个。
其中最小的满足条件的合数：n=341=11×31
所以 341符合要求。
设a是一个符合要求的奇合数，则2a-1是一个奇合数，再设 为正奇数，则
所以2a-1也是一个符合要求的数，依此递推，有无穷个满足条件的合数。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据费马小定理，对任意奇素数 ，有2 1≡1(mod )。问题是，是否能找到合数 ，使得2 1≡1(mod )。从最小的非平凡合数开始考察，即从 =4开始（ =1显然不满足条件，而 =2是偶数，不在讨论范围）。通过计算可知，最小的满足条件的合数 是341=11×31。验证这个结论，可以使用费马小定理的逆向思维：由于11和31都是素数，根据费马小定理有210≡1(mod11)和230≡1(mod31)。由于341=11×31，则2340≡1(mod341)，即2340模341余1，验证了341满足条件。
如果一个合数 满足条件，即2 1≡1(mod )，那么我们可以构造新的合数 =2 1，根据费马小定理和指数运算的性质，可以证明
也满足条件，即2 1≡1(mod )。这是因为，如果 是一个奇合数且满足2 1≡1(mod )，那么22 2≡1，(mod2 1)，进而22 2≡1(mod )，说明 =2 1同样满足条件。依此递推，可以构造出无穷多个满足条件的合数。
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