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2024-2025学年第二学期学科素养调研
九年级数学试卷
一、单选题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分.
1．实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名．数据120亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
8．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线 ”甲乙的作法如图：
甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误．
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误
10．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分）
11．分解因式：-8= ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是 ．
13．如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为 .
14.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 .
15．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．
(第13题图) (第14题图)
解答题(一):本大题共 3小题，每小题 7 分，共 21 分.
16．先化简，再求值： ，其中x=+1．
17．如图，在△ABC中，，点D在的延长线上．
(1)作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)求证：．
18．口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年某市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年全市范围内以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积．
解答题(二)：本大题共3小题，每小题 9分，共 27 分.
19．为落实“首课思政”育人工作，某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：
根据以上信息回答下列问题：
（1）求值，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数；
（3）学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？
20．经过改造升级的岐江道首期工程对外开放以来深受市民喜爱，岐江道工程先行段全场15公里，一路风景宜人，从南区沿江路延伸至中山人才公园途经岐江桥、兴中广场青溪路、沿江路.思思想去绿道骑自行车游玩，打算购置了一辆自行车．自行车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即．
(1)求下管的长．
(2)当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据）
21．下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“相似扇形”的研究报告 先锋小组 研究对象：相似扇形 研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究内容： 【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______． …… 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下： 如图2，已知扇形与扇形，，只要说明， 即可判断扇形与扇形是相似扇形． ……
任务：
(1)补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______；
(2)根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程；
(3)如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，请求出的长．（用含l的代数式表示）
解答题三:本大题共 2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式．
(2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标．
(3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，正方形的对角线上有两点，，且，连接，，，．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由．
发现探索：（2）如图2，隐去对角线，将图1中的四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，连接，．若，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
深入探索：（3）在（2）的条件下，请求出当点落在直线上时的度数．
《2024-2025学年第二学期学科素养调研》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B C D A A A C
11．2（x+2）(x-2) 12． 13．33° 14． 15．
三、解答题
16．
解：
----------------------------------------------------------------（3分）
-----------------------------------------------------------------------------（5分）
当x＝+1时，
原式＝＝．------------------------------------------------------------------------（7分）
17．【解】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：

则即为所求．----------------------------------------------------------------（3分）
（2）证明：∵，
∴，----------------------------------------------------------------（4分）
∵的平分线，
∴-----------------------------------------------------------------（5分）
∵，，
∴，---------------------------------------------------------------（6分）
∴．----------------------------------------------------------------------（7分）
18．解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则----------------------------------------------------------（1分）
，---------------------------------------------------------------------（4分）
解得：，---------------------------------------------------------------------（5分）
经检验：是原方程的根，且符合题意；-----------------------------------（6分）
∴，
答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷．----------------------------------------------------------------（7分）
19．（1）解：（1）课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为，
其所占的百分比为，
课外阅读时间为2小时的有15人，
；----------------------------------------------------------------------（2分）
补全条形统计图如图所示：
----------------------------------------------（4分）
课外阅读3小时的人数为：人，
（2）扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数为；----（6分）
（3）解：（人）----------------------------------------------（8分）
答：估算该校达到学校要求标准的学生有800人．-----------------------------（9分）
20．（1）解：如图所示：
设下管的长为，则，------------------------------（1分）
，
在中，由勾股定理可得，则，---（3分）
，----------------------------------------------------------------------（4分）
答：下管的长为；------------------------------------------------------（5分）
（2）解：由题意得：，，----------------------（6分）
在中，，
，---------------------------------------------（7分）
，----------------------------（8分）
答：此时应将座管调为．---------------------------------------------（9分）
21．(1)，；--------------------------------------------------（2分）
(2)解：∵，
∴，------------------------------------------------（4分）
解得：，
∴扇形与扇形是相似扇形．---------------------- ---（5分）
（3）解：∵扇形与扇形相似，
∴，
∵，，
∴，---------------------- --------------------------（6分）
∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，------------------------------------------------------------（7分）
∴，
设，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），------------------------------------（8分）
∴，
∵的长为l，
∴,
∴；-------------------------------------------------（9分）
22．
22．
（1）解：当时，，
解得，．--------------------------------------------------（1分）
点A在点B的左侧，
A，B两点的坐标分别为，．
当时，，
点C的坐标为．--------------------------------------------------（2分）
设直线的函数表达式为，
把，代入，得，
解得，
直线的函数表达式为．--------------------------------------------（4分）
（2）解：如图，过点M作轴交于点E，
点B的坐标为，点C的坐标为，
，．
在中，根据勾股定理可得．
为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E，
点M的坐标为，点E的坐标为，
．-----------------------------------（5分）
轴，
，
．----------------------------------------------（6分）
在中，，，
，--------（7分）
当时，线段最长，
点M的坐标为-----------------------------------------------------------------（8分）
（3）解：存在，点P的坐标为或
如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N，
，
∵，
∴，
∵，
∴，----------------------------------------------------------------（9分）
设，
点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，，
，，-----------------------------------------------------（10分）
，，
在中，根据勾股定理得，
即，
解得，----------------------------------------------------------------（11分）
，-
，------------------------------------------------------（12分）
当时，，
，
∴点P的坐标为或．-----------------------------------------------（13分）
23．解：四边形是菱形，理由为：-----------------------------------------------（1分）
如图1，连接交于O，
∵四边形是正方形，
∴，，，----------------------------------------------（2分）
∵，
∴，
∴，------------------------------------------------------------------------（3分）
∴四边形是平行四边形，--------------------------------------------------（4分）
又，
∴四边形是菱形；-----------------------------------------------------------（5分）
（2）猜想：，理由：----------------------------------------------------（6分）
如图2，连接、，连接交于O，
由旋转性质得，，，
∴，
∴，
∴，--------------------------------------------------------------（7分）
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，-------------------------------------------------------（8分）
∴，
∴，则，------------------------------------（9分）
∴，
∴；---------------------------------------------------------（10分）
（3）的度数为或
根据题意，可分两种情况：
①当点在延长线上时，如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是菱形；
由旋转性质得，，，
∴，-------------------（11分）
∴，
∴--------------------------------------------（12分）
②当点在延长线上时，如图，连接，
同理，由旋转性质得，，，
∴----------（13分）
∴，
∴；
综上，当点落在直线上时，的度数为或．----------------（14分）

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