资源简介

2024-2025学年度九年级四月份模拟质量监测
数学试题
本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1.下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称 液态氩 液态氧 液态氢 液态氮
沸点/℃ －186 －183 －253 －196
则沸点最低的液体是（ ）
A.液态氩 B.液态氧 C.液态氢 D.液态氮
2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点，且，则的值是（ ）
A． B.
C. D.
6.某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．这周最高气温的平均数是
B.这组数据的中位数是
C.这组数据的众数是
D.周三与周五的最高气温相差
7.一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，将绕点逆时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，且，，则的值为（ ）
A． B.
C. D.
9.已知，则代数式的值是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在中，，，点为边上一点，，点是上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接．现有两个结论：①；②当时，．下面说法正确的是（ ）
A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11.统计显示，2025年全国硕士研究生考试报名人数为388万．其中数388万用科学记数法表示为 ．
12.因式分解的结果是 ．
13.如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件 ，使．
14.如图，点，是函数图象上两点，过点作轴，垂足为，交于点．若的面积为6，点为的中点，则的值为 ．
15.已知直线为正整数，我们把每次增加1同时减少2叫做完成一次直线变换，得到一条新的直线．例如：第一次变换，增加1同时减少2得到直线；第二次变换，增加1同时减少2得到直线；第三次变换，增加1同时减少2得到直线按照此规律变换下去，第次变换，增加1同时减少2得到直线．若，，则直线必经过的一个点的坐标是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本题每小题4分，共8分）
（1）计算：．
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
17.（本小题满分8分）如图，已知．
（1）在的内部求作一点，使点到，两点的距离相等，且到，两边的距离也相等；（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
（2）在（1）作图中，连接，，延长交于点．若，，求的度数．
18.（本小题满分8分）已知：4月22日是世界地球日，某校在“世界地球日”当天举行了丰富多彩的环保活动，其中活动类型有：A．环保主题绘画比赛；B．环保知识竞赛；C．植树活动；D．废旧物品创意改造；E．垃圾分类比赛；F．其他．该校为了解学生对以上环保活动的参与兴趣，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图
（1）参与本次调查的学生共有 人，喜欢废旧物品创意改造活动的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 ．
（2）请补全条形统计图；
（3）全校学生共有2000人，请估计全校喜欢垃圾分类比赛的学生共有多少人？
（4）该校从B类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生代表学校参加县环保知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
19.（本小题满分9分）如图，是的直径，，是位于两侧圆上的点，连接，，作，交延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
20.（本小题满分9分）某公司今年如果用原线下销售方式销售某一产品，每月的销售额可达80万元．为增加该产品销量，公司计划于5月份开始实行线上线下同时销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（7月及以后每月的销售额都相同），而产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象如图2中线段AB所示（80≤y≤180）．
（1）求产品销售成本m（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；
（2）分别求该公司5月，6月的利润；
（3）把5月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上线下同时销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元？
（利润＝销售额－经销成本）
21.（本小题满分9分）综合与实践
一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下：
项目名称 测量底部无法到达的物体高度
问题情境 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形．九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．
数学建模 如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．
测量工具 足够长的卷尺 测角仪
测量步骤 该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图
第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形ABCD）的边长为a米；
第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点E，使EA＝EB，此时用卷尺得点E到雕像底座底面（正方形ABCD）边AB的距离（EF的长）为b米；
第三步，某同学继续站在E处（ME表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端P的仰角为；
第四步，用卷尺测得EM＝c米．
计算结果 根据上面的测量方法，若a＝10，b＝12，c＝1.85，∠＝18°，求PO的长（精确到0.01）．
参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325.
22.（本小题满分12分）【数学经验】
我们在人教版（2013年版）第56页探究出菱形的一个性质：菱形的两条对角线互相垂直．
运用这个性质，在解答例3过程中得到菱形面积的另一种求法．
如图1，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则．
【初步探索】
善于思考的甲同学想：对于两条对角线互相垂直的任意四边形，已知它的两条对角线长，是否也可以求出它的面积呢？并进行了探究．（完成填空，不需要说理）
（1）如图2，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC⊥BD于点O．
①特例验证：若AC＝16，BD＝8，求；
（若能求，则直接写出结果，若不能，请说明理由）
②类似的，若AC＝a，BD＝b，则 ．
③拓展应用：如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在CB，CA上，且AC＋CB＝22，BC＋CD＝48，连接AD，BE，DE．求的值．
【深入探究】
爱动手操作的乙同学把图2按照下面步骤进行操作（如图4）：
第一步，将四边形ABCD沿BD所在直线剪开，得，；
第二步，将沿AC所在直线向右平移，使点A与点C重合；
第三步，将绕点A顺时针旋转，当点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切时停止旋转．
（2）根据乙同学的操作，解答下列问题．
第三步中，若，，求的长．
23.（本小题满分12分）已知抛物线为常数且经过和两点．
（1）若，求当随的增大而减小时，自变量的取值范围；
（2）已知直线与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②若点在直线上，点在抛物线上．
求证：当时，的最小值是．
2024-2025学年度九年级四月份模拟质量监测
九年级数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B C A C B A
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11.； 12.； 13.；（答案不唯一）
14.16； 15.（2，7）．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本题每小题4分，共8分）
解：（1）
＝．…3分（每正确写出一个结果得1分，共3分）
＝…………4分
（2）
解不等式①，得．………5分
解不等式②，得．…………6分
在数轴上表示出解不等式①，②的解集，得
…………7分
所以，原不等式组的解集是．……8分
17.（本小题满分8分）
（1）作图：如图所示．…4分（每正确作出一个图形得2分，共4分）
（2）解：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD．
∴∠BAD＝∠ABD．……5分
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．……6分
∵∠ADE＝∠BAD＋∠ABD＝2∠ABD，
∴∠ABC＝∠ADE＝58°．………7分
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－58°－71°＝51°．…8分
18.（本小题满分8分）
（1）300，36°．……2分（每正确填出1个得1分）
（2）补图：如图所示．…4分（每正确补图1个得1分）
（3）2000×＝100（人）．……6分
（4）三名男生分别记为A，B，C，两名女生分别记为a，b，列表统计如下：
A B C a b
A （B，A） （C，A） （a，A） （b，A）
B （A，B） （C，B） （a，B） （b，B）
C （A，C） （B，C） （a，C） （b，C）
a （A，a） （B，a） （C，a） （b，a）
b （A，b） （B，b） （C，b） （a，b）
由表格可以看出，所有结果共有20种，这些结果出现的可能性相等．
其中两名男生的情况有（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）共6种可能．…7分
∴P（两名男生）＝．………………8分
19.（本小题满分9分）
（1）证明：连接，，则．．．．．．．．．．1分
∵是的直径，
∴．即．
∴．．．．．．．．．．．．2分
∵，
∴．即．．．．．．．．．3分
∴．………4分
∴是的切线．．．．．．．．．．．．5分
（2）解：∵，，
∴．……6分
∴．即．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴．即的直径为9.．．．．．．．9分
20.（本小题满分9分）
解：（1）设．由图2，得．．．．．．．．．．．1分
解得．．．．．．．．．．．2分
∴．．．．．．．．．．．．3分
（2）∵时，，
∴五月份利润为（万元）．………4分
∵时，，
∴六月份的利润为（万元）．……5分
（3）设最早到第个月末，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元．
由题意可知，7月份以后的每月利润为78万元．……6分
∴．………7分
∴．…………8分
∴最早到第5个月末，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出150万元．………9分
21.（本小题满分9分）
解：∵，，
∴，点在的垂直平分线上．………1分
∵点是正方形的中心，
∴点在的垂直平分线上．………2分
∴点，，在同一条直线上．………3分
∴米．…………4分
∴（米）．………5分
过点作于点．
∵，，
∴．
∴四边形是矩形．……………6分
∴米，米．……………7分
在中，．
∴（米）．……8分
∴（米）．………9分
22.（本小题满分12分）
（1）①64；………………1分
②．………………2分
③解：延长BC至点F，使CF＝CD．延长AC至点G，使CG＝CE．
∵∠C＝90°，∴AG⊥BF．
∴，，．……4分
∴
＝
＝……5分
∵AC＋CE＝AC＋CG＝AG＝22，BC＋CD＝BC＋CF＝BF＝48，
∴．……6分
（2）解：∵点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切，
∴＝90°．……………7分
在Rt中，由勾股定理，得
．……………8分
同理：，………9分
．……10分
由第一步、第二步操作可知：．……11分
∴．
＝
＝
＝
＝．
∴．………12分
23.（本小题满分12分）
解：（1）∵抛物线经过和两点，
∴．．．．．．．1分
解得．．．．．．．．．．2分
∴．．．3分
∵，，∴．
∴当随的增大而减小时，自变量的取值范围是．．．．．．．．4分
（2）①∵直线与抛物线有且只有一个交点，
∴当时，方程有两个相等的实数根．．．．．．．5分
整理，得．．．．．．．．．6分
∴．．．．．．．．．．．．．7分
解得．．．．．．．．．．．8分
②证明：∵，
∴，
．．．．．．．．9分
∵点在直线上，点在抛物线上．
∴，．
∴．．．．．．10分
∵，
∴．
∴．．．．．．．11分
∵，
∴当时，的最小值是．．．．．．12分

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