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济南市宝华中学 2024 - 2025 学年度第二学期期中质量监测八年级数学试题
本试卷共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分。同学们，请认真审题，在答题卡上规范作答。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.随着 Ai 技术的普及，出现了很多 “现象级” Ai 应用，以下是一些常见 Ai 应用的 logo 图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. AO=BO B. AB=AD C. ∠DAC=∠BCA D. ∠ADC=∠BCD
3.若aA. a 7b+1 C. a 2b
4.下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A. 3a2 4a B. a2 4 C. a2+b2 D. a2 a+
5.下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分）
判断题，对的打 “√”，错的打 “×”
①代数式，都是分式（×） ②当y≠2时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则x=±3（√） ④式子=从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A. 40 B. 60 C. 80 D. 100
6.若正多边形的一个外角是72 ，则这个正多边形是（ ）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
7.如图，在△ABC中，∠CAB=65 ，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A. 35 B. 40 C. 50 D. 65
8.如图，一次函数y= x+3与y=mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点(1,2)，则关于x的不等式 x+3>mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板。” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板。” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A. = B. = C. = D. =
10.如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′．已知AB=2．给出下列四个结论：
①CN+NB′为定值；②当∠NB′C=30 时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M=22.5 ；④当AB′最短时，MN=，其中正确的结论是（ ）
A. ①②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①②
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.因式分解：x2 4x= ．
12.如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB=14，图中阴影部分的面积为 84，DH=4，则CF的长为____ ．
13.若分式方程=+5有增根，则a= ．
14.三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个 “移动副” 和多个 “转动副” 组成的连杆机构，如图 1 是三折伞一条骨架的结构图，当 “移动副”（标号 1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕 “转动副”（标号 2 - 9）转动；图 2 是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=9cm，DE=2cm，DN=1cm，已知关闭折伞后，点A，E，H三点重合，点B与点M重合．当∠BAC=60 时，点H到伞柄AB的距离为 cm．
15.如图，已知P是线段AB上的动点（P不与点A，B重合），AB=6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分）
16.（每小题 4 分，共 16 分）
（1）因式分解： 2a3+12a2 18a （2）因式分解：9a2(x y)+4b2(y x)
（3）计算：+ （4）计算：﹣x+1
17.（每小题 4 分，共 8 分）
（1）解不等式：﹣＞1 （2）解方程：+=﹣1
18.（6 分）求不等式组的非负整数解．
19.（6 分）先化简，再求值：÷（1﹣），然后从 3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
20.（6 分）如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E．证明：AB=DE．
21.（6 分）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=10，AO=8，BO=6，求证□ABCD是菱形．
22.（8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，△ABC叫做格点三角形（三角形的顶点都是格点），请按要求完成：
（1）先将△ABC竖直向上平移 6 个单位，再水平向右平移 3 个单位得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2；
（3）将△ABC沿直线B1C2翻折，得到△A3B3C，请在网格中画出△A3B3C；
（4）线段BC沿着由B到B1的方向平移至线段B1C1，求线段BC扫过的面积．
23.（10 分）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025 年被称为人形机器人的 “量产元年”。目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续 11 年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破 19 万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进。某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同。
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共 20 台，要求每小时搬运材料不得少于
2900kg，则至少购进A型机器人多少台？
24.（12 分）借助 “形” 可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合 “数” 又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法！请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【课本链接】
（1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得(a+b)2=____ ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得a2+b2=____ ；
【知识应用】
（2）根据图②所得的公式，若a+b=10，ab=5，则a2+b2=____ ；
（3）若x满足(11 x)(x 8)=2，求(11 x)2+(x 8)2的值．
【拓展延伸】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AB=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，
AC=7，直接写出种草区域的面积和．
25.（12 分）在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，AB=6，AC=8，如图 1，将△DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；将△ABC沿折痕DE剪开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与AC交于点P．
（1）在图 1 中，求证：AD=BD；
（2）在图 2 中，△DEC绕点D旋转的过程中，猜想MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，
①如图 3，当GF∥BC时，求AM的长；
②当GF经过点B时，直接写出AM的长．
答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.随着 Ai 技术的普及，出现了很多 “现象级” Ai 应用，以下是一些常见 Ai 应用的 logo 图案，其中是中心对称图形的是（ D ）
A. B. C. D.
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ C ）
A. AO=BO B. AB=AD C. ∠DAC=∠BCA D. ∠ADC=∠BCD
3.若aA. a 7b+1 C. a 2b
4.下列多项式中，不能因式分解的是（ C ）
A. 3a2 4a B. a2 4 C. a2+b2 D. a2 a+
5.下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ B ）
姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分）
判断题，对的打 “√”，错的打 “×”
①代数式，都是分式（×） ②当y≠2时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则x=±3（√） ④式子=从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A. 40 B. 60 C. 80 D. 100
6.若正多边形的一个外角是72 ，则这个正多边形是（ C ）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
7.如图，在△ABC中，∠CAB=65 ，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ C ）
A. 35 B. 40 C. 50 D. 65
8.如图，一次函数y= x+3与y=mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点(1,2)，则关于x的不等式 x+3>mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ C ）
A. B.
C. D.
9.欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板。” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板。” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ A ）
A. = B. = C. = D. =
10.如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′．已知AB=2．给出下列四个结论：
①CN+NB′为定值；②当∠NB′C=30 时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M=22.5 ；④当AB′最短时，MN=，其中正确的结论是（ A ）
A. ①②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①②
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.因式分解：x2 4x= x（x﹣4） ．
12.如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB=14，图中阴影部分的面积为 84，DH=4，则CF的长为__7__ ．
13.若分式方程=+5有增根，则a= 2 ．
14.三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个 “移动副” 和多个 “转动副” 组成的连杆机构，如图 1 是三折伞一条骨架的结构图，当 “移动副”（标号 1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕 “转动副”（标号 2 - 9）转动；图 2 是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=9cm，DE=2cm，DN=1cm，已知关闭折伞后，点A，E，H三点重合，点B与点M重合．当∠BAC=60 时，点H到伞柄AB的距离为 24 cm．
15.如图，已知P是线段AB上的动点（P不与点A，B重合），AB=6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分）
16.（每小题 4 分，共 16 分）
（1）因式分解： 2a3+12a2 18a （2）因式分解：9a2(x y)+4b2(y x)
=﹣2a（a2﹣6a+9） =（x﹣y）（9a2﹣4b2）
=﹣2a（a﹣3）2 =（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（3）计算：+ （4）计算：﹣x+1
= =﹣
=
17.（每小题 4 分，共 8 分）
（1）解不等式：﹣＞1 （2）解方程：+=﹣1
2x﹣3x+3＞6 解：4﹣x（x+2）=2x﹣x2
x＜﹣3 x=1
经检验x=1是原方程的根
18.（6 分）求不等式组的非负整数解．
解不等式①得x≥﹣2
解不等式②得x＜3.5
不等式组的解集为﹣2≤x＜3.5
非负整数为0，1，2，3
19.（6 分）先化简，再求值：÷（1﹣），然后从 3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
解原式=×
=
将x=3代入得
20.（6 分）如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AD中点，延长BF交CD延长线于点E．证明：AB=DE．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB // CD ,
∴∠A =∠EDF ,∠ABF =∠DEF
∵F是AD中点，
∴AF = DF
在△ABF 和△DEF 中，
∴△ABF≌△DEF ( AAS ),
∴AB = DE .
21.（6 分）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=10，AO=8，BO=6，求证□ABCD是菱形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∵62+82=102
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB =90°
∴AC⊥BD
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形．
22.（8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，△ABC叫做格点三角形（三角形的顶点都是格点），请按要求完成：
（1）先将△ABC竖直向上平移 6 个单位，再水平向右平移 3 个单位得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2；
（3）将△ABC沿直线B1C2翻折，得到△A3B3C，请在网格中画出△A3B3C；
（4）线段BC沿着由B到B1的方向平移至线段B1C1，求线段BC扫过的面积．
(1)略
(2)略
(3)略
(4)18
23.（10 分）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025 年被称为人形机器人的 “量产元年”。目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续 11 年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破 19 万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进。某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同。
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共 20 台，要求每小时搬运材料不得少于
2900kg，则至少购进A型机器人多少台？
(1）设 B 型机器人每小时搬运 xkg 材料，则 A 型机器人每小时搬运（ x +30）千克材料
∴=
解得 x =120,
经检验， x =120是所列方程的解，
当 x =120时， x +30=150,
答： A 型机器人每小时搬运150kg材料， B 型机器人每小时搬运120kg材料；
(2）设购进 A 型机器人 a 台，则购进 B 型机器人(20- a ）台
150a-120(20- a )≥2900
解得： a ≥
∵a 是整数
∴a>17
∴a 的最小值为 a =17
答：至少购进 A 型机器人17台．
24.（12 分）借助 “形” 可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合 “数” 又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法！请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【课本链接】
（1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得(a+b)2=____ ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得a2+b2=____ ；
【知识应用】
（2）根据图②所得的公式，若a+b=10，ab=5，则a2+b2=____ ；
（3）若x满足(11 x)(x 8)=2，求(11 x)2+(x 8)2的值．
【拓展延伸】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AB=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，
AC=7，直接写出种草区域的面积和．
(1)( a+ b)2=a2+2ab+b2
a2+b2=(a+b)2-2ab
(2)a + b =10, ab =5
a2+b2=( a +6)2-2ab=100-2x5=90
(3）设m=11-x ,n=x -8，则m +n=11-x + x-8=3,mn =2.
所以m2+n2=( m + n )2-2mn=32-2x2=9-4=5
所以（11-x)2+( x-8)2的值是5;
（4）12
25.（12 分）在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，AB=6，AC=8，如图 1，将△DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；将△ABC沿折痕DE剪开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与AC交于点P．
（1）在图 1 中，求证：AD=BD；
（2）在图 2 中，△DEC绕点D旋转的过程中，猜想MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，
①如图 3，当GF∥BC时，求AM的长；
②当GF经过点B时，直接写出AM的长．
(1）证明：∵△DEC 沿着 DE 进行翻折，使点 C 与点 A 重合
∴AD = CD
∴∠DAC =∠ACD
∵∠BAC =90°,
∴∠ACD +∠B =90°, ∠DAC + ∠BAD =90°
∴∠B =∠BAD
∴AD = BD
FM = ME
理由如下：连接 DM ,
∵DF = DE ,∠DFG =∠CED =∠AED =90°，DM = DM ,
∴△DFM≌△DEM (HL)
∴FM = ME ;
(3)①作 MW⊥BC 于W
∴∠MWC =∠MWD =90°
∵∠BAC =90°, AB =6, AC =8
∴AB =10,
∵FG // BC ,∠DFG =90°,
∴∠FDG =180°-∠DFG =90°
∴四边形DWM 是矩形，
∴MW = DF = DE ,
∵∠DEC =∠CWM =90°, ∠C =∠C ,
∴△CWM≌△CED
∴CM = CD =BC =5
∴AM = AC - CM =8-5=3;
②