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安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024 2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
3．函数，的最小值为（ ）
A． B．0 C．5 D．+4
4．已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知函数的部分图象如图所示，且为其导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在等差数列中，，则（ ）
A．45 B．9 C．18 D．36
7．若数列是公比为的等比数列，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．若不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ）
A． B．和的等比中项为
C．当时， D．
10．已知函数的导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．是函数的极小值点
C．
D．
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．
C．函数只有1个零点
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
三、填空题（本大题共3小题）
12．设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则 .
13．已知某等比数列的首项为5，其前三项和为15，则该数列前六项的和为 .
14．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)当时，求函数的单调区间.
16．已知函数在处取得极小值.
(1)求a，b的值;
(2)当时，求的最大值.
17．已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足，求数列的前n项的和.
18．已知正项数列满足，且（）.
(1)求的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立 若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】，则，得，
则.
故选C.
2．【答案】C
【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则，
由.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由在上单调递增，
所以.
故选B.
4．【答案】A
【详解】因为，，
当时，则，
即切点坐标为，切线斜率，
由题意可得：，解得.
故选A.
5．【答案】D
【详解】由图知，在上单调递减，且递减速度逐渐变慢，在上单调递增，且递增速度逐渐变快，
在上，则，在上，则，
所以.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，.
.
故选C.
7．【答案】D
【详解】因为数列是公比为的等比数列，则，
即，所以.
又因为，，则.
.
（当且仅当，即时等号成立.）
则的最小值为.
故选D.
8．【答案】C
【详解】令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因不等式有解，则，得，
则实数m的取值范围为.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，由题意可得，故A正确；
对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误；
对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】AB
【详解】由导函数的图象可知，在的左侧，；在的右侧，，
由极值点的定义可知是函数的极大值点，
同理可知是函数的极小值点，故A，B均正确；
由函数极值的定义可知，是极大值，是极小值，
而极值是局部的最大最小值，无法比较的大小，故C，D均错误；
故选AB.
11．【答案】BCD
【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，
因为，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，且在上单调递增，
所以，故B正确；
对于选项C：令，解得，
所以函数只有1个零点，故C正确；
对于选项D：令，则，
若，，方程成立；
若，则，
构建，则，
当时，；当或时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，且，
当趋近于，趋近于0，
可得的图象如图所示：
当时，则与有3个交点，
即方程有3个根；
综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】11
【详解】设的公差为，则，
又是等差数列，，所以，则，且，
所以，可得，故，
所以，则.
13．【答案】或
【详解】设等比数列公比为，前项和为，根据题意，
所以，
由，得 ，即，
解得或，
当时，，
当时，.
14．【答案】
【详解】函数，求导得，
由函数在上单调递减，得，，
而函数在上单调递增，则恒成立，因此，
所以实数a的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为和.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，则，所以.
（2）由（1）知x，则，
令，得或.
当和时，，所以在和上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
16．【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）因为，则，
由题意可得：，解得，
当时，则，，
当或时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在处取得极小值，符合题意，
所以.
（2）因为，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
且，即，
所以当时，求的最大值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为成等比数列，则，
且，则，即，解得或（舍去），
所以.
（2）设数列的前n项的和为，
因为，则，
所以.
18．【答案】(1)；
(2)存在.
【详解】（1）∵，
∴，则，
∴，又数列为正项数列，
∴，即，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，则；
（2）∵，则，
故
∴，
则，故恒成立，
∴，解得，
∴存在满足条件.
19．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）当时，定义域为，
则，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由恒成立，即恒成立，
即恒成立，
令，则定义域为，
则，
令，恒成立，
在上单调递增，又，，
，使得，即，，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，
且当时，，当时，，
由此可得图象如下图所示，
因直线恒过定点，且斜率为，
若恒成立，结合图象可知：必有，解得，
实数的取值范围为.

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