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九年级学业水平质量检测数学试题
（满分150分 时间1120分钟）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列四个数中，比 2小的数是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
2.漏斗是一种通过重力将液体或颗粒导入小口容器的实用工具。日常用于灌装油、调料，实验室中分离液体或过滤，工业上则用于分装原料。如图是一种常用不锈钢漏斗，其俯视图是（ ）
3.2025 年清明假期，济南市为丰富假日文旅市场，策划推出 10 条精品赏花线路，让市民游客饱览春日风光，重点监测的 30 家景区共接待游客约 1750000 人次。将 1750000 用科学记数法表示为（ ）
A. 0.175×107 B. 1.75×106 C. 1.75×105 D. 17.5×104
4.若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
5.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A. a 22b D. a+b<0
6.下列运算正确的是（ ）
A. (2a3)2=4a5 B. a3b2÷ab2=a2 C. a2+2a2=3a4 D. a4·a2=a8
7.若关于x的一元二次方程x2 2x k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
8.“趵突泉”、“黑虎泉”、“珍珠泉”、“五龙潭” 是济南市四个有代表性的旅游景点。若小明和小亮各自从这四个景点中随机选择一个景点游览，则他们选择的景点中有 “趵突泉” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D为AC边上一点，且AD=3，以点D为圆心，以DA为半径作弧，交AB于点E，连接DE，再分别以B、E为圆心，以大于BE长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线MN交BC于点F，则BF的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
10.定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离。有下列结论：①⊙A是以A(0,2)为圆心，半径为 1 的圆，则在y轴上到⊙A的距离为 1 的点有 2 个；②若点B到函数y=x+1图象的距离为 1，则所有符合要求的点B都在函数y=x或y=x+2的图象上；③若点C在函数y=(x>0)的图象上，则点C到函数y=(x<0)图象的距离的最小值为2+2；④已知D(1 m,2m+1)，点D到函数y=ax2+2ax的图象距离的最小值为，则a的值为 2或 。其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11. 要使分式有意义，则x的值可以是__________（写出一个符合要求的x的值）。
12. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共 20 个，它们除颜色外没有任何区别。摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是 0.4，则口袋中大约有红球__________个。
13. 光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）。如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB=38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为__________°。
14. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行。轿车出发 2.4h 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶。设货车行驶时间为x(h)，货车、轿车与甲地的距离为y1(km)，y2(km)，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系。两车出发后第二次相距 120km 时，货车的行驶时间为__________h。
15. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60 ，AB=8。点E，F分别是BC，AB边上的动点，且BF=2CE，以EF为边向右作等边△EFG，连接CF，CG，DG。当CG=EG时，DG的值为__________。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分 7 分）计算：+ (2025 π)0 2sin60 +() 2
17. （本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解。
18. （本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，CF交于点G。求证：∠BAG=∠BCG。
19. （本小题满分 8 分）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案。以下是数学兴趣小组提供的设计表。
请根据设计表提供的信息完成下列问题：
（1）求文化长廊的最大宽度CD的长；
（2）求文化长廊的最高点E到地面AB的距离。
（结果精确到 0.1m。参考数据：sin50 ≈0.77，cos50 ≈0.64，tan50 ≈1.19，sin48 ≈0.74，cos48 ≈0.67，tan48 ≈1.11）
20. （本小题满分 8 分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC=BD，连接CD交⊙O于点E，连接AE，BE，EB=ED。
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=5，AE=4，求BC。
21. （本小题满分 9 分）为提升学生数学素养，接轨未来职业需求，某学校开展了以 “生活中的数学” 为主题的知识竞赛。竞赛结束后，数据整理发现所有参赛学生的成绩（满分 100 分）均不低于 60 分。现从该校七、八年级中各随机抽取相同人数的学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A组（60≤x<70），B组（70≤x<80），C组（80≤x<90），D组（90≤x≤100））。根据以下信息，解答问题：
七年级B组的数据（单位：分）如下：79，79，78，78，78，77，76，76，75，74，74，74，73，72，72，71。
（1）求随机抽取的七年级学生数；
（2）在七年级参赛学生成绩扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为__________度；
（3）请补全七年级参赛学生成绩的频数直方图；
（4）抽取的七年级参赛学生成绩的中位数是__________分；
（5）若规定竞赛成绩在 90 分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有 800 人和 880 人。估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数。
22.（本小题满分 10 分）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品。已知购买 3 件A种奖品和 2 件B种奖品共需 220 元；购买 5 件A种奖品和 4 件B种奖品共需 390 元。
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种奖品共 50 件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
23. （本小题满分 10 分）已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=x（x＞0）的图象交于点A(a,4)。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图 1，点P在线段OA的延长线上，过点P作y轴的平行线l，l与y=(x>0)的图象交于点B，与x轴交于点C，连接AB，当△PAB∽△PCO时，求点B的坐标；
（3）如图 2，点A′为反比例函数y=(x>0)上任意一点，过点A′作A’D⊥x轴，垂足为D，过点D作DE∥OA′，与反比例函数交于点E，令=n，求n的值。
24. （本小题满分 12 分）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A( 1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D。
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图 2，连接CB，DB，若抛物线上存在点E，满足∠CBD=∠BDE，求点E的坐标；
（3）如图 3，点F为x轴上一动点，连接CF，DF，当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐标。
25. （本小题满分 12 分）
（1）如图 1，已知△ABC，△ADE，∠BAC=∠DAE=90 ，点D在边AC上，AB=AC，AD=AE，连接BD，CE。线段BD，CE的数量关系为__________；若∠BCE=70 ，则∠BDE=________度；
（2）如图 2，已知△ABC，△ADE，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线BE同侧，若△ABC∽△ADE，请判断∠BCE和∠BDE的数量关系，并说明理由；
（3）如图 3，已知等边△ABC，AB=6，E为AB中点，D为BC边上一动点，连接AD，ED，F为△ABC内一点，连接DF，CF，AF，若△DCF∽△DAE，求AF的最小值。
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列四个数中，比 2小的数是（ D ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
2.漏斗是一种通过重力将液体或颗粒导入小口容器的实用工具。日常用于灌装油、调料，实验室中分离液体或过滤，工业上则用于分装原料。如图是一种常用不锈钢漏斗，其俯视图是（ C ）
3.2025 年清明假期，济南市为丰富假日文旅市场，策划推出 10 条精品赏花线路，让市民游客饱览春日风光，重点监测的 30 家景区共接待游客约 1750000 人次。将 1750000 用科学记数法表示为（ B ）
A. 0.175×107 B. 1.75×106 C. 1.75×105 D. 17.5×104
4.若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（ D ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
5.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ A ）
A. a 22b D. a+b<0
6.下列运算正确的是（ B ）
A. (2a3)2=4a5 B. a3b2÷ab2=a2 C. a2+2a2=3a4 D. a4·a2=a8
7.若关于x的一元二次方程x2 2x k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ A ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
8.“趵突泉”、“黑虎泉”、“珍珠泉”、“五龙潭” 是济南市四个有代表性的旅游景点。若小明和小亮各自从这四个景点中随机选择一个景点游览，则他们选择的景点中有 “趵突泉” 的概率是（ D ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D为AC边上一点，且AD=3，以点D为圆心，以DA为半径作弧，交AB于点E，连接DE，再分别以B、E为圆心，以大于BE长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线MN交BC于点F，则BF的值为（ C ）
A. 2 B. C. D.
10.定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离。有下列结论：①⊙A是以A(0,2)为圆心，半径为 1 的圆，则在y轴上到⊙A的距离为 1 的点有 2 个；②若点B到函数y=x+1图象的距离为 1，则所有符合要求的点B都在函数y=x或y=x+2的图象上；③若点C在函数y=(x>0)的图象上，则点C到函数y=(x<0)图象的距离的最小值为2+2；④已知D(1 m,2m+1)，点D到函数y=ax2+2ax的图象距离的最小值为，则a的值为 2或 。其中，正确结论的个数是（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11. 要使分式有意义，则x的值可以是____3______（写出一个符合要求的x的值）。
12. 在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共 20 个，它们除颜色外没有任何区别。摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是 0.4，则口袋中大约有红球____12______个。
13. 光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）。如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB=38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为_____76_____°。
14. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行。轿车出发 2.4h 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶。设货车行驶时间为x(h)，货车、轿车与甲地的距离为y1(km)，y2(km)，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系。两车出发后第二次相距 120km 时，货车的行驶时间为_____4.6_____h。
15. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60 ，AB=8。点E，F分别是BC，AB边上的动点，且BF=2CE，以EF为边向右作等边△EFG，连接CF，CG，DG。当CG=EG时，DG的值为____2______。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分 7 分）计算：+ (2025 π)0 2sin60 +() 2
=+4﹣1﹣+9
=12
17. （本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解。
解：解不等式①得：x ≤5
解不等式②得： x<4
不等式组的解集为：x<4
不等式组的正整数解为：1,2,3
18. （本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，CF交于点G。求证：∠BAG=∠BCG。
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD =CD
∵E ,F 分别是边CD ,AD 的中点
∴DE =CD=AD= DF
∵∠D =∠D
∴△ADE≌△CDF (SAS)
∴∠DAE =∠DCF
∵四边形ABCD 是菱形
∴∠DAB =∠DCB
∴∠DAB -∠DAE =∠DCB -∠DCF
∴∠BAG=∠BCG
19. （本小题满分 8 分）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案。以下是数学兴趣小组提供的设计表。
请根据设计表提供的信息完成下列问题：
（1）求文化长廊的最大宽度CD的长；
（2）求文化长廊的最高点E到地面AB的距离。
（结果精确到 0.1m。参考数据：sin50 ≈0.77，cos50 ≈0.64，tan50 ≈1.19，sin48 ≈0.74，cos48 ≈0.67，tan48 ≈1.11）
(1）作 DH⊥AB 延长线于 H ,
∵∠ABD =130°
∴∠HBD =50°
在 Rt△DHB 中，∠DHB =90°
∴BH =BDXcos50°≈1.5x0.64=0.96m
∵EF垂直平分AB , EF垂直平分CD , DH⊥AB
∴四边形 DHFG 为矩形，FB =AB=1.5m,CD=2DG
∴DG = FH =FB +BH=1.5+0.96=2.46m
∴CD=2DG=4.92≈4.9m
答：文化长廊的最大宽度 CD 的长为4.9m
(2）在 Rt△DHB 中，∠DHB =90°
∴DH =BD×sin50°≈1.5x0.77=1.155m
∵四边形 DHFG 为矩形
∴DH = GF =1.155m
∴FH // DG
∴∠BDG =180°-∠ABD =50°
∴∠GDE =∠BDE -∠BDG =98°-50°=48°
在 Rt△DGE 中，∠DGE =90°
EG = DG·tan48°≈2.46x1.11=2.7306m
∴EF = EG + GF =2.7306+1.155=3.8856≈3.9m
答：文化长廊的最高点 E 到地面 AB 的距离 EF 为3.9m
20. （本小题满分 8 分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，BC=BD，连接CD交⊙O于点E，连接AE，BE，EB=ED。
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=5，AE=4，求BC。
(1）证明：∵BC = BD
∴∠BCD =∠D
∵ED = EB
∴∠EBD =∠D
∴∠EBD =∠BCD
∵∠BCE ,∠BAE 所对的弧是同弧
∴∠BCE =∠BAE .
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠AEB =90°
∴∠BAE +∠ABE =90°
∴∠EBD +∠ABE =90°
即∠ABD =90°
∴BD 是⊙O 的切线
(2）在 Rt△AEB 中，∠AEB =90°
∵AB =5, AE =4
∴BE =3
作EF ⊥ BD
∵∠ABD =90°
∴AB∥EF
∴∠ABE =∠BEF
∵∠AEB =∠BFE =90°
∴△AEB∽△BFE
∴=
∴BF=
∵ED = EB , EF⊥BD
∴BC = BD =2BF=
21. （本小题满分 9 分）为提升学生数学素养，接轨未来职业需求，某学校开展了以 “生活中的数学” 为主题的知识竞赛。竞赛结束后，数据整理发现所有参赛学生的成绩（满分 100 分）均不低于 60 分。现从该校七、八年级中各随机抽取相同人数的学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A组（60≤x<70），B组（70≤x<80），C组（80≤x<90），D组（90≤x≤100））。根据以下信息，解答问题：
七年级B组的数据（单位：分）如下：79，79，78，78，78，77，76，76，75，74，74，74，73，72，72，71。
（1）求随机抽取的七年级学生数；
（2）在七年级参赛学生成绩扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为__________度；
（3）请补全七年级参赛学生成绩的频数直方图；
（4）抽取的七年级参赛学生成绩的中位数是__________分；
（5）若规定竞赛成绩在 90 分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有 800 人和 880 人。估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数。
解：(1)14+35%=40（人）
答：随机抽取的七年级学生数为40人
(2)54
（3）略
(4)78.5
(5)800×+880×=80+396=476( A )
答：成绩为优秀的学生总人数为476人
22.（本小题满分 10 分）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品。已知购买 3 件A种奖品和 2 件B种奖品共需 220 元；购买 5 件A种奖品和 4 件B种奖品共需 390 元。
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种奖品共 50 件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
解：(1）设 A 的单价为 x 元， B 的单价为 y 元。
根据题意得：
解得
答： A 的单价50元， B 的单价35元．
设购买 A 种奖品 m 件，则购买 B 种奖品（50- m）件，购买总费用w 元
根据题意得：m ≥(50- m )
解得 m ≥
w =50m+35(50- m )=15m+1750
∵15>0
∴w 随 m 的增大而增大
当m =17时，w 取最小值，最小值为2005元．
答:购买 A 种奖品17件时,购买总费用最少;总费用最最少是2005元。
23. （本小题满分 10 分）已知反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=x（x＞0）的图象交于点A(a,4)。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图 1，点P在线段OA的延长线上，过点P作y轴的平行线l，l与y=(x>0)的图象交于点B，与x轴交于点C，连接AB，当△PAB∽△PCO时，求点B的坐标；
（3）如图 2，点A′为反比例函数y=(x>0)上任意一点，过点A′作A’D⊥x轴，垂足为D，过点D作DE∥OA′，与反比例函数交于点E，令=n，求n的值。
(1)将A（a，4）代入 y =x
解得 a=3,
将A（3,4）代入 y=
解得k=12,
∴y=
（2）B（，）
（3）
24. （本小题满分 12 分）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A( 1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D。
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图 2，连接CB，DB，若抛物线上存在点E，满足∠CBD=∠BDE，求点E的坐标；
（3）如图 3，点F为x轴上一动点，连接CF，DF，当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐标。
解：(1)抛物线 y =ax2+ bx +3经过点 A (-1,0), B (3,0)
∴
解得
∴抛物线 y =-x2+2x+3
∴顶点 D (1,4).
（2）E（2，3）或（8，﹣45）
（3）F（﹣3+2，0）
25. （本小题满分 12 分）
（1）如图 1，已知△ABC，△ADE，∠BAC=∠DAE=90 ，点D在边AC上，AB=AC，AD=AE，连接BD，CE。线段BD，CE的数量关系为__________；若∠BCE=70 ，则∠BDE=________度；
（2）如图 2，已知△ABC，△ADE，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线BE同侧，若△ABC∽△ADE，请判断∠BCE和∠BDE的数量关系，并说明理由；
（3）如图 3，已知等边△ABC，AB=6，E为AB中点，D为BC边上一动点，连接AD，ED，F为△ABC内一点，连接DF，CF，AF，若△DCF∽△DAE，求AF的最小值。
（1）相等 110°
（2）∠BCE +∠BDE =180°
证明：∵△ABC∽△ADE
∴∠ACB =∠AED ,∠BAC =∠DAE , =
∴∠BAC +∠CAD =∠DAE + ∠CAD
∴∠BAD =∠CAE ，=
∴△BAD∽△CAE
∴∠ABD =∠ACE
在△BDE中，∠ABD +∠AED +∠BDE =180°
∴∠ACE +∠ACB +∠BDE =180°
∴∠BCE +∠BDE =180°
（3）﹣